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2015年高考真题——理科数学(浙江卷)



2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
2 1、已知集合 P ? {x x ? 2 x ? 0}, Q ? {x 1 ? x ? 2} ,则 (?R P) ? Q ? (



A. [0,1)

B. (0, 2]

C. (1, 2)

D. [1, 2]

2、某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A. 8cm
3

B. 12cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

3、已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等 比数列,则( ) A. a1d ? 0, dSn ? 0 C. a1d ? 0, dSn ? 0 B. a1d ? 0, dSn ? 0 D. a1d ? 0, dSn ? 0

4、命题“ ?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n 的否定形式是( ) A. ?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n C. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0
2

B. ?n ? N * , f (n) ? N * 或 f (n) ? n D. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 或 f (n0 ) ? n0

5、如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C ,其 中点 A, B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积 之比是( ) A.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1
D.

B.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1
2 2 2

2

C.

6.设 A, B 是有限集,定义 d ( A, B) ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ,其中 card ( A) 表示有限 集 A 中的元素个数, 命题①:对任意有限集 A, B , “ A ? B ”是“ d ( A, B) ? 0 ”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A, B, C , d ( A, C ) ? d ( A, B) ? d ( B, C ) ,

A. 命题①和命题②都成立 C. 命题①成立,命题②不成立

B. 命题①和命题②都不成立 D. 命题①不成立,命题②成立 )

7、存在函数 f ( x ) 满足,对任意 x ? R 都有( A. f (sin 2 x) ? sin x C. f ( x2 ?1) ? x ?1

B. f (sin 2x) ? x2 ? x D. f ( x2 ? 2x) ? x ?1

8、如图,已知 ?ABC , D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将 ?ACD 折成 ?A?CD ,所成二面角 A? ? CD ? B 的平面角为 ? ,则( ) A. ?A?DB ? ? B. ?A?DB ? ? C. ?A?CB ? ? D. ?A?CB ? ?

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9、双曲线

x2 ? y 2 ? 1的焦距是 2

,渐近线方程是



2 ? ? x ? ? 1, x ? 1 10、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? 2 2 ?lg( x ? 1), x ? 1 ?
11、 函数 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? 1的最小正周期是
2

, f ( x ) 的最小值是



, 单调递减区间是



12、若 a ? log2 3 ,则 2 ? 2
a

?a

?



13、 如图, 三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 , 点 M , N 分别是 AD, BC 的中点,则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值 是 . .

14、若实数 x , y 满足 x 2 ? y 2 ? 1,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y 的最小值是 15、已知 e1 , e2 是空间单位向量, e1 ? e 2 ?

? ? ? ? ? 1 5 ,若空间向量 b 满足 b ? e1 ? 2, b ? e 2 ? ,且对 2 2 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ???? ? 于任意 x, y ? R , b ? ( xe1 ? ye2 ) ? b ? ( x0 e1 ? y0 e2 ) ? 1( x0 , y0? R) ,则 x0 ? ,

? ?

? ?

y0 ?

,b ?

?



三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 14 分) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A=

? 2 2 1 2 ,b ? a = c . 2 4

1、 2、

求 tanC 的值; 若 ? ABC 的面积为 7,求 b 的值。

17、 (本题满分 15 分) 如图,在三棱柱 ?? C - ?1?1C1 中, ? BAC= 90 ,AB=AC=2, A 1 A=4, A 1 在底面 ABC 的
o.

射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点.

? 平面 A1B C1 ; A.证明: A 1D
B.求二面角 A 1 -BD- B 1 的平面角的余弦值.

18、 (本题满分 15 分) 已知函数 f(x)= x +ax+b(a,b ? R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。
2

第一节 第二节

证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; 当 a,b 满足 M(a,b) ? 2,求|a|+|b|的最大值.

19、 (本题满分 15 分) 已知椭圆

1 x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

16.求实数 m 的取值范围; 17.求 ? AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

20、 (本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 = 四、证明:1 ?

1 * 2 且 an ?1 = an - an (n ? N ) 2

an ; ? 2 (n ? N * ) an ?1
S 1 1 * ? n? (n ? N ). 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

2 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?



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