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七宝中学高二期末综合复习五及答案



高二期末综合复习五
1. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆; 4 ? k k ?1 x2 y 2 x2 ②双曲线 ? ? 1 和椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35 ③设 A、B 为两个定点, k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;
①当

1 ? k ? 4 时,曲线 C: ④过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB , O 为坐标原点,若 OA ? OB ? 2OP ,则动 点 P 的轨迹为不含点 A 圆;其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号). 2. 设过点 P 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点, 点 Q 与点 P 关于

y 轴 对 称 , O 为 坐 标 原 点 , 若 BP ? 2 PA 且 OQ ? AB ? 1 , 则 点 P 的 轨 迹 方 程
是 3. 4. 5. . 已知 P 是双曲线 3x2 ? y 2 ? 12 的上点, A 是双曲线的左顶点, F 是双曲线的右焦点, 当 ? APF 为锐角时,点 P 的横坐标的取值范围是 . 曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 (?2 ? x ? 2) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 两个公共点时, 实数 k 的取值 范围是 . 设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点,FA 与

x 轴正向的夹角为 60 ,则 OA 为
6. 7.



过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,则

1 1 = ? | AF | | BF |

.

从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是

. [3b2, 4b2 ] ,则这一椭圆的焦距与长轴之比的取值范围是 m n 4 8. 已知 m, n, s, t ? R ,m ? n ? 2 , ? ? 9 , 其中 m、n 是常数, 且 s ? t 的最小值是 , s t 9 2 2 满足条件的点 (m, n) 是圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 中一条弦的中点,则此弦所在的直线方 程为 9. .
2 2 方程 | x ? 4 ? y | ? | y ? 4 ? x |? 0 对应的曲线是

y

y

y

y

(

)

0
A

2 x

0
B

2x

0
C

2x

0
D

2 x

b 10. 已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为 y ? ? x( a、b ? 0) ,若双曲线上有 a 一点 M ( x0,y0 ) ,使 b | x0 |? a | y0 | ,则双曲线的焦点 ( ) A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.当 a ? b 时在 x 轴上 D.当 a ? b 时在 y 轴上
11. 从双曲线

x2 y 2 2 2 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 引圆 x ? y ? a 的切线,切点为 T ,延 a 2 b2 y P 长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,

O 为坐标原点,则 MO ? MT 与 b ? a 的大小关系为
A. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a B. MO ? MT ? b ? a D.不确定

(

)

bT a Fc 0

F x '

12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y中 , 直 线 l 的 方 程 为 x ? ?1 A M ? l于 M ,

| AM |? ?, | AO |?

1 ? ? (? ? 0) ,则点 A 的轨迹是 2

(

)

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 13. 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 C 的顶点在原点, 经过点 A(2, 2) ,其焦点 F 在 x 轴 上.(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F ,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,| ME |? 2 | DM | , 记D和 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式. y

A

E x

OF M D

14. 已知以向量 v ? (1, ) 为方向向量的直线 l 过点 (0, ) ,抛物线 C:y 2 ? 2 px( p ? 0) 的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 A、B 是抛物线 C 上两个动点, 过 A 作平行于 x 轴的直线 m , 直线 OB 与直线 m 交 于点 N ,若 OA ? OB ? p 2 ? 0 ( O 为原点, A、B 异于原点),试求点 N 的轨迹方程.

1 2

5 4

15 . 已 知 焦 点 为 F , ? 5), F2(0, 5) 的 双 曲 线 C 在 第 一 象 限 内 部 分 记 为 T , 点 1(0

Pn (n , yn )( n? 、 1、 2 在 ) T 上, Pn 到直线 l: y ? 2 x ? k 的距离为 d n ,且 lim d n ? 5 。(1)
n ??

设双曲线半虚轴长为 b ,试用 b 表示 d n ; (2)求双曲线 C 的方程及 k 值; (3)线段 Pn Pn?1

、 2、 ?) ,试证 ?xn ? 成等差数列并求其通项公式. 的垂直平分线与 x 轴交于点 ( xn ,0)(n ? 1

答案:
1 四个关于圆锥曲线的命题中:

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆; 4 ? k k ?1 x2 y 2 x2 ②双曲线 ? ? 1 和椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35 ③设 A、B 为两个定点, k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;
①当 1 ? k ? 4 时,曲线 C: ④过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB , O 为坐标原点,若 OA ? OB ? 2OP ,则动 点 (写出所有真命题的序号). ②④ P 的轨迹为不含点 A 圆;其中真命题的序号为 2 设过点 P 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴 对 称 , O 为 坐 标 原 点 , 若 BP ? 2 PA 且 OQ ? AB ? 1 , 则 点 P 的 轨 迹 方 程

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2 3 已知 P 是双曲线 3x ? y 2 ? 12 的上点, A 是双曲线的左顶点, F 是双曲线的右焦点,当 5 ? APF 为锐角时,点 P 的横坐标的取值范围是 ? 2) ( , ? ?) . (??, 2
是 . 4 曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 (?2 ? x ? 2) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 两个公共点时,实数 k 的取值范

5 3 , ] 12 4 5 设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x
围是 . ( 轴正向的夹角为 60 ,则 OA 为 .

21 p 2

6 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,则

1 1 = ? | AF | | BF |
5 3 , ] 3 2

. 1

7 从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是

[3b2, 4b2 ] ,则这一椭圆的焦距与长轴之比的取值范围是
8 已知 m, n, s, t ? R , m ? n ? 2 ,

[

m n 4 ? ? 9 ,其中 m、n 是常数,且 s ? t 的最小值是 , s t 9 2 2 满足条件的点 (m, n) 是圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 中一条弦的中点,则此弦所在的直线方 程为 ; x? y?2? 0
D)

二、选择题
2 2 9 方程 | x ? 4 ? y | ? | y ? 4 ? x |? 0 对应的曲线是(

y

y

y

y 0
D

0
A

2

x

0
B

2x

0
C

2x

2 x

b 10 已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为 y ? ? x( a、b ? 0) ,若双曲线上有一 a 点 M ( x0,y0 ) ,使 b | x0 |? a | y0 | ,则双曲线的焦点 ( B ) A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.当 a ? b 时在 x 轴上 D.当 a ? b 时在 y 轴上

11 从双曲线

x2 y 2 2 2 2 延长 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 引圆 x ? y ? a 的切线,切点为 T , a 2 b2 y P FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,

O 为坐标原点,则 MO ? MT 与 b ? a 的大小关系为( B )
A. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a B. MO ? MT ? b ? a D.不确定

bT a Fc 0

F x '
C )

12 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 x ? ?1

AM ? l 于 M , | AM |? ?, | AO |?

1 ? ? (? ? 0) ,则点 A 的轨迹是 2

(

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 13 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2, 2) ,其焦点 F 在 x 轴 上.(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F ,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点, | ME |? 2 | DM | , 记 D 和 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式. 解:(1) y 2 ? 2 x ; (2) 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ; (3)当直线 DE 的斜率不存在时, | ME |?| DM | ,不合题意,

y A E x

? y2 ? 2x 设 D( x1,y1 ),E( x2,y2 ) ,于是由 ? , ? y ? k ( x ? m) 1 ? 1 ? 2k 2 m 2 得 ky ? 2 y ? 2km ? 0 ,显然 k ? 0 , y1,2 ? , k
由 | ME |? 2 | DM | 得 1 ? 1 ? 2k 2 m ? 2(1 ? 1 ? 2k 2 m ) ,从而 k ?
2

OF M D
4 , m

于是 | DE | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ?
2 2 2

1 9 )( y1 ? y2 ) 2 ? ( m 2 ? 4m) 2 k 4

3 m 2 ? 4m (m ? 0) 2 1 5 14 已知以向量 v ? (1, ) 为方向向量的直线 l 过点 (0, ) ,抛物线 C:y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 2 4 顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 A、B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m ,直线 OB 与直线 m 交
∴ f ( m) ? 于点 N ,若 OA ? OB ? p 2 ? 0 ( O 为原点, A、B 异于原点),试求点 N 的轨迹方程.

1 5 x? 2 4 过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ?2 x 1 解①②得 x ? ? . 2
解 (1)由题意可得直线 l : y ?

① ②

∵抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上.

p 1 ? ? ?2, p ? 2 2 2 2 ∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x . (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , N ( x, y) ,
∴?

由 OA ? OB ? p 2 ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 4 ? 0 . 又 y1 ? 4x1 , y2 ? 4 x2 . 解得 y1 y 2 ? ?8 直线 ON : y ? ③ ④
2 2

y2 4 x ,即 y ? x y2 x2

由③.④及 y ? y1 得, 点 N 的轨迹方程为 x ? ?2 ( y ? 0) . 15 已 知 焦 点 为 F , ? 5), F2(0, 5) 的 双 曲 线 C 在 第 一 象 限 内 部 分 记 为 T , 点 1(0

Pn (n ,yn )n (? 、 1、 2 在 )T 上, Pn 到直线 l : y ? 2 x ? k 的距离为 d n ,且 lim d n ? 5 。(1)
n ??

设双曲线半虚轴长为 b ,试用 b 表示 d n ; (2)求双曲线 C 的方程及 k 值; (3)线段 Pn Pn?1 的垂直平分线与 x 轴交于点 ( xn ,0)(n ? 1 、 2、 ?) ,试证 ?xn ? 成等差数列并求其通项公式. 解:(1)设双曲线方程为

y2 x2 ? ? 1, 5 ? b2 b2 2 yn y2 x2 n2 * T : ? ? 1 T : ? ? 1(n ? N *,yn ? 0) ,∴ 则P 在 上,即 ( n , y )( n ? N ) n n 5 ? b2 b2 5 ? b2 b2

(n2 ? b2 )(5 ? b2 ) , b | 2bn ? (n2 ? b2 )(5 ? b2 ) ? kb | 于是 dn ? ; 5b 4b2 n2 ? (5 ? b2 )n2 ? (5 ? b2 )b2 (2) lim[2bn ? (n2 ? b2 )(5 ? b2 )] ? lim n?? n?? 2bn ? (n2 ? b2 )(5 ? b2 ) | kb | 该极限存在的充要条件是 4b 2 ? 5 ? b 2 ,即 b2 ? 1 ,此时 lim d n ? ? 5 ? k ? ?5 , n ?? 5b y2 ? x 2 ? 1 , k ? ?5 ; 双曲线的方程是 4 2n ? 1 yn ? yn ?1 , ) ,由直线的点法向式方程知,线段 Pn Pn?1 的中垂 (3) 线段 Pn Pn?1 的中点 ( 2 2 y ? yn ?1 2n ? 1 )[(n ? 1) ? n] ? ( y ? n )( yn ?1 ? yn ) ? 0 ,令 y ? 0 ,得 线方程为 ( x ? 2 2 2 ? y2 2 n ? 1 yn y 2 ? 4n 2 ? 4 2 2 ? yn xn ? ? ?1 n ,又 yn 2 2 ?1 ? yn ? 8n ? 4 , ? 4( n ? 1) ? 4 n ?1 2 2 2n ? 1 5 5 ? 4n ? 2 ? 5n ? ,即 {xn } 成等差数列, xn ? 5n ? ∴ xn ? 2 2 2 yn ?

?



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