河南师范大学附属中学2015-2015学年高一上学期实验班第九次周周练数学试题

2015-2016 学年河师大附中高一实验班数学试题（九） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题)两部分.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 温馨提示： 考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框） 内作答，超 出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( , A.

1 2 ) ,则 log2 f (2) 的值为( A ) 2 2
D. ? 2

1 2

B. ?

1 2

C. 2

2.如图所示，直观图四边形 A?B?C ?D? 是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么 原平面图形的面积是（ A ）

A． 2 ? 2

B． 2 ? 1

C．

2 2

D． 2 2

3.已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ，则 a, b, c 的大小关系是( B ) A． a ? b ? c B． a ? c ? b C． c ? a ? b D． b ? c ? a

4.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 7 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 ，若 A ? B ? A ，则（ D ） A. ?3 ? m ? 4 B. ? 3 ? m ? 4 C. 2 ? m ? 4 A ) D. m ? 4

?

?

?

?

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

A．16＋8π 6.函数 f ( x) ? (a ? 1) （C ）

B．8＋8π
5?ax

C．16＋16π

D．8＋16π

? a ? 1且a ? 2? 在 ?1,2? 上为单调递减函数，则实数 a 的取值范围是
C． ( 2, ]

A． (2,??) 7.函数 f ( x) ? ? A． (??,0]

B． (1,2)

5 2

D． (1,5)

? ? 2a ? ln x ( x ? 1) 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是( B ) 2 ? a ? 1 ? x ( x ? 1 ) ?
B. (??,1] C. [0,??) D. [1,??)

8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( B ) A． ?a
2

B.

7?a 2 3

C.

11?a 2 3

D． 5?a

2

9.函数 f ( x) ? ?

?2 x 2 ? 8ax ? 3, x ? 1 ?log a x, x ? 1
B. ? ,1? ?2 ?

在 R 上单调递减，则 a 的取值范围是（ C ）

A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

?1 ?

C. ? , ? ?2 8?

?1 5?

D. ? ,1? ?8 ?

?5 ?

10.已知函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 1 ，若实数 a , b 满足 f (a) ? f (b ? 1) ? 0 ，则 a ? b 等于 （ C ） B. 0 C. 1 D.不确定

?

?

A. ?1

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ C ）

A. 1

10

B. 2

5

C.

30 10

D.

2 2

12.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B1C1 的中点．那么正方体的过

P 、 Q 、 R 的截面图形是（
A.三角形 B.四边形

D ） C.五边形 D.六边形

第 II 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡的相应位置） 13.一个几何体的三视图如下左图所示，则这个几何体的表面积与其外接球表面 积之比为____

3 ___.

?

14.如上右图是一正方体的表面展开图,B、N、Q 都是所在棱的中点.则在原正方体中,①AB 与 CD 相交；②MN∥PQ；③AB∥PE；④MN 与 CD 异面； ⑤MN∥平面 PQC.所给关系判断正确的是 ① ②④⑤ .

3 15.若不等式 x - 2x loga x ? 0 在 x ? ? 0,

纟 2 1 ú ? 2 ú 恒成立，则实数 a 的最小值为_ 4 __. 棼

16.设定义域为 R 的函数

f ( x) ? x2 ? 4 , 若关于 x 的函数 y ? f 2 ( x) ? 4 | f ( x) | ?c 有 8 个不同

的零点，则实数 c 的取值范围是___（0，4）___. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分） 0.027
? 1 3

1 1 ? (? )?2 ? 2560.75 ? 3?1 ? ( )0 ; 6 2 =32
=1

（Ⅱ） (log3 3)2 ? [log3 (1 ? 2 ? 3) ? log3 (1 ? 2 ? 3)] ? log4 3.

18.（本小题满分 12 分）某特许专营店销售第一届全国青年运动会纪念章，每枚进价 5 元， 同时每销售一枚这种纪念章还需向组委会交特许经营管理费 2 元.预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一个月内可销售 2000 枚，经过市场调研发现每枚纪念章的价格在 20 元 的基础上每减少一元则增加销售 400 枚，而每增加一元则减少销售 100 枚.现设每枚纪念章的 销售价格为 x (x∈N)元. （Ⅰ）写出该特许专营店一个月内销售这种纪念章所获得的利润 y (元)与每枚纪念章的销售 价格 x (元)的函数关系式，并写出这个函数的定义域； （Ⅱ）当每枚纪念章的销售价格 x 为多少元时，该特许专营店一个月内利润 y （元）最大？ 并求利润的最大值. 解答:（Ⅰ）由题意可得：

? ?( x ? 7) ? 2000 ? 400( 20 ? x )? ( x＜20) y?? (x∈N) ( x ? 7 ) 2000 ? 100 ( x ? 20 ) ( x ? 20 ) ? ? ? ?
且由题意有： x ? 7 ? 0 ? x ? 7 ，同时， 2000 ? 100( x ? 20) ? 0 ? x ? 40 。 所以，函数的定义域为： {x 7 ? x ? 40, x ? N}。 （Ⅱ）由（Ⅰ）有： y ? ?

? ?( x ? 7) ? 2000 ? 400( 20 ? x )? (7 ? x＜20) (x∈N) ( x ? 7 ) 2000 ? 100 ( x ? 20 ) ( 20 ? x ? 40 ) ? ? ? ?

①当 7 ? x＜20 (x∈N)时， y ? ( x ? 7) 2000 ? 400(20 ? x)

?

?

? ?400( x ?16)2 ? 32400
所以当 x ? 16 时，在此段有最大利润 32400 元。 ②又当 20 ? x ? 40 (x∈N)时， y ? ( x ? 7) 2000 ?100( x ? 20)

?

?

? ?100( x ?

47 2 ) ? 27225 2

所以当 x ? 23 或 x ? 24 时，在此段有最大利润 27200 元。 综合①②可知，当 x ? 16 时，该特许专营店一个月内利润最大，这个最大值为 32400 元。 19.（本小题满分 12 分）一个多面体的三视图如下图所示. （I）写出该几何体的结构特征，并画出直观图； （II）求该多面体的表面积. 21 ? 3

20． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 所 示 ABCD ? A1 B1C1 D1 是 底 面 为 正 方 形 的 长 方 体, ?AD1 A1 ? 60o , AD1 ? 4 ,点 P 是 AD1 的中点,求异面直线 AA1 与 B1 P 所成角的正切值.

解:过点 P 作 PE ? A1 D1 ,垂足为 E ,连结 B1 E (如图),则 PE ∥ AA1 ,??B1 PE 是异面直线

AA1 与 B1 P 所成的角.
在 Rt△ AA1 D1 中 ∵ ?AD1 A1 ? 60? ∴ ?A1 AD1 ? 30?

1 1 AD1 ? 2 , A1 E ? A1 D1 ? 1 , 2 2 1 ? B1 E ? B1 A12 ? A1 E 2 ? 5 .又 PE ? AA1 ? 3 . 2 A1 B1 ? A1 D1 ?
? 在 Rt△B1 PE 中, tan ?B1 PE ?

B1 E 5 15 ? ? PE 3 3

? 异面直线 AA1 与 B1 P 所成的角的正切值为为

15 . 3

21.（本小题满分 12 分）在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ， BC ? CC1 ? AB =2 , M 分别是 CC1 的中点，G 是棱 AB 上的动点.试确定 G 点的位置,使 CG //平面 AB1 M 并给出证 明.

当 G 是棱 AB 的中点时, CG //平面 AB1 M 证明如下: 连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM , GC , 则 HG 为 ?AB1 B 的中位线 ∴ GH ∥ BB1 , GH ?

1 BB1 2
∴ CC1 ∥ BB1 , CC1 ? BB1 ∵ M 为 CC1 的中

∵由已知条件 , B1 BCC1 为正方形 点,∴ CM ?

1 CC1 2

∴ MC ∥ GH ,且 MC ? GH ∴四边形 HGCM 为平行四边形∴ GC ∥ HM 又 ∵ GC ? 平面AB1 M , HM ? 平面AB1 M

∴ CG //平面 AB1 M 。 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2x x ? a ，其中 a ? R ．
2

（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）若不等式 4 ? f ( x) ? 16 在 x ? [1, 2] 上恒成立，求 a 的取值范围．

? ?( x ? a)2 ? a 2 ? 解： （Ⅰ） f ( x) ? ? a 2 a2 3( x ? ) ? ? 3 3 ?

( x ? a) ( x ? a)

当 a ? 0 时， f ( x) 在 ( ??, a ) 和 ( a, ??) 上均递增，∵ f (a) ? a2 ，则 f ( x) 在 R 上递增 当 a ? 0 时， f ( x) 在 ( ??, a ) 和 ( , ??) 上递增，在在 (a, ) 上递减 （Ⅱ）由题意只需 f min ( x) ? 4, f max ( x) ? 16 首先，由（Ⅰ）可知， f ( x) 在 x ? [1, 2] 上恒递增 则 fmin ( x) ? f (1) ? 1 ? 2 1 ? a ? 4 ，解得 a ? ? 其次，当 a ? 当a ? ?

a 3

a 3

1 5 或a ? 2 2

5 5 时， f ( x) 在 R 上递增，故 f max ( x) ? f (2) ? 4a ? 4 ? 16 ，解得 ? a ? 5 2 2

1 1 时， f ( x) 在 [1, 2] 上递增，故 f max ( x) ? f (2) ? 12 ? 4a ? 16 ，解得 ?1 ? a ? ? 2 2 1 5 综上： ?1 ? a ? ? 或 ? a ? 5 2 2