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导数及其应用高考题



考点一:导数的运算及几何意义 1. (2014· 全国高考)曲线 y=xex-1 在点(1,1)处切线的斜率等 于( ) A.2e C.2 解析:选 C B.e D.1 由题意可得 y′=ex-1+xex-1,所以曲线在点 (1,1)处切线的斜率等于 2. 2. (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0) 处的切线方程为 y=2x,则 a=( A.0 C.2 B.1 D.3 ) 解析:选 D 1=2,所以 a=3. 1 y ′ = a- ,由题意得 y′|x=0=2,即 a- x+1 3.(2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y b =ax +x(a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切 2 线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. b b 解析:y=ax +x的导数为 y′=2ax- 2, x 2 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2 b ? ?4a+2=-5, 由题意得? ?4a-b=-7, 4 2 ? 答案:-3 ? ?a=-1, 解得? ? ?b=-2, 则 a+b=-3. 考点二:导数与函数的单调性 1.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈ R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(-1,0) 解析:选 A ) B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞) f?x? 设 y=g(x)= x (x≠0),则 g′(x)= xf′?x?-f?x? ,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,∴g′(x)<0, x2 ∴g(x)在(0,+∞)上为减函数,且 g(1)=f(1)=-f(-1)= 0.∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,∴g(x)的图象的示意图如 图所示. 当 x>0 时,由 f(x)>0,得 g(x)>0,由图知 0<x<1, 当 x<0 时,由 f(x)>0,得 g(x)<0,由图知 x<-1, ∴使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 2. (2014· 新课标全国卷Ⅱ)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1, +∞ )单调递增,则 k 的取值范围是( A.(-∞,-2] C.[2,+∞) 解析:选 D ) B.(-∞,-1] D.[1,+∞) 1 因为 f(x)=kx-ln x,所以 f′(x)=k-x.因为 1 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当 x>1 时,f′(x)=k-x 1 ≥0 恒成立,即 k≥x在区间(1,+∞)上恒成立.因为 x>1,所 1 以 0<x<1,所以 k≥1.故选 D. 3.(2015· 安徽高考)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图 所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 解析:选 A 法一:由图象知 f(0)=d>0.因为 x<x1 时, f′(x)>0 且 f′(x)=3ax2+2bx+c=0 有两个不相等的正实根, 2b b 所以 a>0,- =- >0,所以 b<0.又 f′(0)=c>0,所以 a>0, 6a


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