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全国新课标试卷2016届高三下学期考前冲刺(三)数学(文)试题 Word版含答案



全国卷文科数学模拟试题三 第Ⅰ卷
一 选择题:本题共 12 题,每小题 5 分,共 60.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一个是正确的. 1.已知全集为 R,集 A ? ? x ? A.
x ? ? ? ?1? ? ? ? 1? , B ? ?x x ? 2?, A ? C RB ? (   ) ? ?2? ? ? ?

?0, 2?<

br />
B.

?0, 2?

C. ?1, 2 ?

D. ?1, 2?

2 2.已知各项不为 0 的等差数列 {an }, 满足2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0, 数列 {bn } 是等比数列,

且 b7 ? a7 , 则b6 b8 =( A.2

) B.4 C.8 D.16 )

3.已知复数 z1 ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i, 若 A.

z1 为实数,则实数 m 的值为( z2
C.—

8 3

B.

3 2

4.将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移

? 个单位,所得图像的解析式是( 4

8 3

D.—

3 2



A.y ? cos 2 x ? sin 2 x B.y ? cos 2 x ? sin 2 x C.y ? sin 2 x ? cos 2 x D.y ? cos x sin x

5.若椭圆 ( )

x2 y 2 x2 y 2 3 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的渐近线方程为 的离心率为 ,则双曲线 2 a 2 b2 a 2 b2
开始

A. y ? ?

1 x 2

B. y ? ?2 x

C. y ? ?4 x

D. y ? ?

1 x 4

输入 p

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

6.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出 的 n , S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 5, S ? 30 B. n ? 4, S ? 45 D. n ? 5, S ? 45

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

7.如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图, 其 中成绩分组区间是: [40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) , [80,90) ,[90,100] ,则图中 x 的值等于 ? (A) 0.754 ? (C) 0.018 (B) 0.048 ? (D) 0.012

2 ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是( x A. (1,3) B. (1, 2) C. (0,3) D. (0, 2)
x 8. 函数 f ( x ) ? 2 ?



9. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直 角 三角形的直角边长都为 1,那么这个几何体的表面积为 ( ) A.

1 6

B.

3 2

C.

3 3 ? 2 4

D.

3 3 ? 2 2

正视图

侧视图

10.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 则下面说法中不正确的是 ( A . ?an?2 ? an ? 是等比数列



俯视图

? B .对于 k ? ? , k ? 1 ,

ak ?1 ? ak ?1 ? 2ak
C.对于 n ? ? ,都有 an an?2 ? 0 D.若 a2 ? a1 ,则对于任意 n ? ? ,都有 an?1 ? an 11.已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 到其准线的距离是 8 ,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A
2

?

?

在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为( ) A 32 B 16 C 8 D 4

12. 点 A 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 A 到图形 C 的距离 . 已知点 A(1, 0) ,圆

C x2 + 2 x + y 2 = 0 , 那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹是( )
(A)双曲线的一支 (C)抛物线 (B)椭圆 (D)射线

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 第 21 必考题,每个试题考生都必须作答。第 22,23,24 考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知等差数列 ?an ?的公差为 ?2 , a3 是 a1 与 a4 的等比中项,则首项 a1 ? _,前 n 项和

Sn ?

2 ? 8;. ? n ? 9n n ? N

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.若关于 x , y 的不等式组 ? x ? 1 ? 0, ( a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2, ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
则 a 的值为 .3 15.已知圆 C 过点 ? ?1,0? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长 为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为_________ 16 某民营企业生产甲、乙两种产品,根据以往经验和市场调查,甲产品的利润与投入资 金成正比,乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比,已知甲、乙产品分别投入 资金 4 万元时,所获得利润(万元)情况如下: 投入资金 4 甲产品利润 1 乙产品利润 2.5

该企业计划投入资金 10 万元生产甲、乙两种产品,那么可获得的最大利润(万元)是

三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1), n ? (cos ,cos 2 ) , f ( x) ? m ? n . 4 4 4

? x ) 值; 3 (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求函数 f ( A) 的取值范围.
(I)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

?

18. (本小题满分 12 分) 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误 0 天数 Y 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3, 0.7,0.9,求: (1)工程延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 2 6 10 X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90o , AB=AC=a , A 1
1 AA1 ? b , 点 E , F 分别 在棱 BB1 , CC1 上 ,且 BE ? BB1 , 3 1 b C1 F ? CC1 .设 ? ? . 3 a

C1 B1 F

(1)当 ? =3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 ? 的值.

A

E C B (第 19 题图)

1 2 20.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? R . 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (0,1] 上的最大值是 ?1 ,求 a 的值.

21. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的左、右顶点分别为 A , B , F1 为左焦点,且 a 2 b2

AF1 ? 2 ,又椭圆 C 过点 (0, 2 3) .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x +y ? 16 上(点 A, B 除外) ,设直线 PB , QB 的斜率分别
2 2

为 k1 , k2 ,若 k1 ?

3 k 2 ,证明: A , P , Q 三点共线. 4

(本小题满分 10)请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所 做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22. 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,AB 是⊙O 的弦,D 是半径 OA 的中点,过 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E,交⊙O 于 F,且 CE=CB。 (1)求证:BC⊙O 是的切线; (2)连接 AF、BF,求∠ABF 的度数。 (23)选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;

(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与 最小值. 24.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0

全国卷文科数学模拟试题三参考答案
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5 BDDBA 6-10 CCCDD 11-12 AD

二、 13.

填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

8,? n2 ? 9n , n ? N?

14. 3

15.

?x ? 3?2 ? y 2 ? 4

16.

65 16

三、解答题:本大题共 6 小题,共 84 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

x x x 3 x 1 x 1 3 sin cos ? cos 2 = sin ? cos ? 4 4 4 2 2 2 2 2 ? ? 1 x ? 1 x ? 1 2 x = sin( ? ) ? ∵ f ( x) ? 1 ∴ sin( ? ) ? ∴ cos( x ? ) ? 1 ? 2sin ( ? ) = 3 2 6 2 2 6 2 2 6 2 (2)∵ (2a ? c)cos B ? b cos C , 由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A ? B ? C ? ? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0 1 ? 2? ∴ cos B ? , ∵ 0 ? B ? ? ∴ B ? ∴0 ? A ? 3 3 2 ? A ? ? 1 A ? ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 6 2 6 2 2 2 6 A ? 1 3 ∴ 1 ? sin( ? ) ? ? 2 6 2 2 3 A ? 1 ∴ f ( A) ? sin( ? ) ? ? (1, ) 2 6 2 2
17(1) f ( x) ? m ? n ? 18.解 (1)由条件和概率的加法有:P(X<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900) =P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为:

?? ?

Y P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率加法,得 P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)= P(300≤X<900) 0.6 6 = = . 0.7 7 P(X≥300)

6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7

19. (本小题满分 12 分) 解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . (1) 设 a=1, 则 AB=AC=1,AA1 ? 3, 各点的坐标为 A(0,0,0) , E (1, 0,1) ,A1 (0,0,3) ,F (0,1, 2) .

??? ? ???? ? AE ? (1,0,1) , A1F ? (0,1, ?1) . ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ∵ AE ? A , AE ? A1 F ? ?1 , 1F ? 2
??? ? ???? ? AE ? A1 F ?1 1 ∴ cos AE , A1F ? ??? ?? . ? ???? ? ? 2 2? 2 AE A1 F ?? ? ???
??? ? ???? ? ∴向量 AE 和 A1 F 所成的角为 120o ,

z A1 B1 C1 F

A ∴异面直线 AE 与 A1 F 所成角为 600 .……5 分
b 2b (2)∵ E (a,0, ) , F (0, a, ) , 3 3 ??? ? ? b ??? 2b ∴ AE ? (a,0, ), AF ? (0, a, ) . 3 3

E C B x (第 19 题图) y

设平面 AEF 的法向量为 n1 ( x, y, z ) ,

??? ? ??? ? bz 2bz 则 n1 ? AE ? 0 ,且 n1 ? AF ? 0 .即 ax ? ? 0 ,且 ay ? ?0. 3 3
令 z ? 1 ,则 x ? ? ∴ n1 ? (?
b 2b ,y?? . 3a 3a

b 2b ? 2? , ? ,1) = (? , ? ,1) 是平面 AEF 的一个法向量. 3a 3a 3 3

同理, n2 ? (

2b b 2? ? , ,1) = ( , ,1) 是平面 A1 EF 的一个法向量. 3a 3a 3 3

∵平面 AEF ⊥平面 A1 EF ,

2? 2 2? 2 3 ? ? 1 ? 0 .解得, ? ? . 2 9 9 3 ∴当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时, ? ? . 2 20.(本小题满分 12 分)
∴ n1 ? n2 ? 0 .∴ ? (Ⅰ)解: f ?( x) ?

ax 2 ? 1 , x ? (0, ??) . x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,从而函数 f ( x) 在 (0,??) 上单调递增. 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 此时, f ( x) 与 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)
1 (0, ? ) a
?
0

?

1 1 ,舍去 x ? ? ? . a a

1 a

1 ( ? , ??) a
?

?



1 f( ? ) a



所以, f ( x) 的单调增区间是 (0, ?

1 1 ) ;单调减区间是 ( ? , ? ?) . a a
a . 2

(Ⅱ)① 当 a ? 0 时,由(Ⅰ)得函数 f ( x) 在 (0,1] 上的最大值为 f (1) ? 令

a ? ?1 ,得 a ? ?2 ,这与 a ? 0 矛盾,舍去 a ? ?2 . 2

② 当 ?1 ? a ? 0 时, ? 令

1 a ? 1, 由 (Ⅰ) 得函数 f ( x) 在 (0,1] 上的最大值为 f (1) ? . 2 a
③ 当 a ? ?1 时,

a ? ?1 ,得 a ? ?2 ,这与 ?1 ? a ? 0 矛盾,舍去 a ? ?2 . 2

0? ?

1 1 ? 1,由(Ⅰ)得函数 f ( x) 在 (0,1] 上的最大值为 f ( ? ) . a a 1 ) ? ?1 ,解得 a ? ?e ,适合 a ? ?1 . a

令 f( ?

综上,当 f ( x) 在 (0,1] 上的最大值是 ?1 时, a ? ?e .

21(本小题满分 12 分) 解:(1)由已知可得 a ? c ? 2 , b ? 2 3 ,又 b2 ? a 2 ? c2 ? 12 , 解得 a ? 4 .故所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

(2)由(Ⅰ)知 A(?4 , 0) , B(4 , 0) .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 所以 kPA ? k1 ?

y1 y y2 ? 1 ? 2 1 .因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上, x1 ? 4 x1 ? 4 x1 ? 16
12 ?

3 2 x1 3 x y 3 ?? . ? ? 1 ,即 y12 ? 12 ? x12 .所以 k PA ? k1 ? 2 4 所以 x1 ? 16 4 4 16 12
2 1 2 1

又因为 k1 ?

3 k 2 ,所以 kPA ? k2 ? ?1 . 4
2 2

(1)

由已知点 Q( x2 , y2 ) 在圆 x ? y ? 16 上, AB 为圆的直径, 所以 QA ? QB .所以 kQA ? k2 ? ?1 . (2)

由(1)(2)可得 kPA ? kQA .因为直线 PA , QA 有共同点 A , 所以 A , P , Q 三点共线. 22. (本小题满分 10 分) (1)证:连接 OB。 ∵OA=OB,∴∠A=∠OBE。 ∵CE=CB,∴∠CEB=∠EBC,∵∠AED =∠EBC,∴∠AED = ∠EBC, 又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°,∴BC⊙O 是的切线;

(2)∵CD 垂直平分 OA,∴OF=AF,又 OA=OF,∴OA=OF=AF, ∴∠O=60°,∴∠ABF=30°。

23.解: (1)曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? y ? 3sin ?

直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0

(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ? ,3sin ? ) 到 l 的距离为

d?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | 5

则 | PA |?

4 d 2 5 ? | 5sin(? ? ? ) ? 6 | ,其中 ? 为锐角,且 tan ? ? ? 3 sin 30 5

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

22 5 5

24.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?

4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

得 x ? 5?

2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ; 2 3 2
4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

当 ?7 ? x ? 得x??

1 2 1 2 4 ,即 ? ? ? ?x? ; 2 4 2 4 3

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得x ? 6?

2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2
1 2 2 ? ? x ? 5? 2 4 2

所以解为 ?



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