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一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5 三角函数的图像和性质课时规范训练



【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三 角形 3.5 三角函数的图像和性质课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1-cos x 1.(2016·襄阳模拟)函数 y= 的最小正周期是( sin x A. π 2 B.π D.4π 2sin
2

)

C.2π

x
2

1-cos x 解析:∵y= = sin x π ∴T= =2π . 1 2 答案:C

=tan . x x 2 2sin ·cos 2 2

x

2.(2014·高考大纲全国卷)设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( A.a>b>c C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b

)

sin 35° 解析:∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°= , cos 35° 又 0<cos 35°<1,∴c>b>a. 答案:C π? ? 3.(2014·高考陕西卷)函数 f(x)=cos?2x- ?的最小正周期是( 6? ? A. π 2 B.π D.4π )

C.2π

2π 2π 解析:最小正周期为 T= = =π .故选 B. ω 2 答案:B

? ? π π ?? 4.函数 f(x)=sin x+ 3cos x?x∈?- , ??的值域是________. ? ? 2 2 ??
π π ? π? ? π π? 解析:f(x)=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ?,又 x∈?- , ?,所以- ≤x+ 3? 6 3 ? ? 2 2? 5π ≤ ,所以-1≤f(x)≤2. 6
1

答案:[-1,2] 5.(2015·高考浙江卷)函数 f(x)=sin x+sin xcos x+1 的最小正周期是________, 最小值是________. 解析:f(x)=sin x+sin xcos x+1 = π? 1-cos 2x 1 3 2 ? + sin 2x+1= + sin?2x- ?. 4? 2 2 2 2 ?
2 2

π? 2π 3 2 3- 2 ? 故最小正周期 T= =π .当 sin?2x- ?=-1 时, f(x)取得最小值为 - = . 4? 2 2 2 2 ? 答案:π 3- 2 2

6.(2015·高考陕西卷)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y =3sin?

?π x+φ ?+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为________. ? ?6 ?

解析:分析三角函数图像,根据最小值求 k,再求最大值.根据图像得函数的最小值为 2,有-3+k=2,k=5,最大值为 3+k=8. 答案:8

?π ? 2 7.(2015·高考重庆卷)已知函数 f(x)=sin? -x?sin x- 3cos x. ?2 ?
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论 f(x)在?

?π ,2π ?上的单调性. 3 ? ?6 ?

?π ? 2 解:(1)f(x)=sin? -x?sin x- 3cos x ?2 ?
=cos xsin x- 3 (1+cos 2x) 2

π? 1 3 3 3 ? = sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- , 3? 2 2 2 2 ? 2- 3 因此 f(x)的最小正周期为 π ,最大值为 . 2 π ?π 2π ? (2)当 x∈? , ?时,0≤2x- ≤π ,从而 3 ? 3 ?6
2

π π π 5π 当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增, 3 2 6 12 当 π π 5π 2π ≤2x- ≤π ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 3 12 3

?π 5π ? ?5π ,2π ?上单调递减. 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增;在? ? 3 ? ? 6 12 ? ? 12
3 ? π? 2 8.(2014·高考天津卷)已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3? 4 ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
解:(1)由已知,有

f(x)=cos x·? sin x+

?1 ?2

3 3 ? 2 cos x?- 3cos x+ 4 2 ?

1 3 3 2 = sin x·cos x- cos x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π? 1 ? = sin?2x- ?. 3? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π? ? π ? π π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数, 12? ? 4 ? 12 4 ?

f?- ?=- ,f?- ?=- ,f? ?= , 4 12 4
1 1 ? π π? 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 4 4 2 ? ? [B 级 能力突破]

? π? ? ?

1 4

? π? ? ?

1 2

?π ? 1 ? ? 4

?π ? 1 .(2016·三明模拟 ) 已知函数 f(x) = 2sin(ω x + φ ) 对任意 x 都有 f ? +x? = ?6 ? ?π ? ?π ? f? -x?,则 f? ?等于( ?6 ? ?6?
A.2 或 0 C.0 ) B.-2 或 2 D.-2 或 0

3

解析:由 f?

?π +x?=f?π -x?知,函数图像关于 x=π 对称,f?π ?是函数 f(x)的最大 ? ?6 ? ?6? 6 ?6 ? ? ? ? ?

值 2 或最小值-2. 答案:B π? ? 2.已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?,y=f(x)的部分图像如图所示, 2? ?

?π ? 则 f? ?=( ?24?
A.2+ 3 C. 3 3

) B. 3 D.2- 3

π? π π ?3 解析:由图形知,T= =2? π - ?= ,∴ω =2. 8? 2 ω ?8 3 π π 由 2× π +φ =kπ ,k∈Z,|φ |< ,知 φ = . 8 2 4 π? ? 由 Atan?2×0+ ?=1,知 A=1, 4? ? π? ? ∴f(x)=tan?2x+ ?, 4? ? π ?π ? ? π π? ∴f? ?=tan?2× + ?=tan = 3. 3 ?24? ? 24 4 ? 答案:B π? ? 3. (2016·湖北武汉模拟)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?与直线 y 2? ? π =3 的交点的横坐标构成以 π 为公差的等差数列,且 x= 是 f(x)图像的一条对称轴,则 6 下列区间中不是函数 f(x)的单调递增区间的是( )

? π ? A.?- ,0? ? 3 ?
C.?

5π ? ? 4π B.?- ,- ? 6 ? ? 3 π? ? 5π D.?- ,- ? 3? ? 6

?2π ,7π ? ? 6 ? ? 3

解析:由题意得 A=3,T=π ,∴ω =2.

?π ? ?π ? ∴f(x)=3sin(2x+φ ),又 f? ?=3 或 f? ?=-3, 6 ? ? ?6?
π π π ∴2× +φ =kπ + ,k∈Z,φ = +kπ ,k∈Z, 6 2 6 π? π π ? 又∵|φ |< ,∴φ = ,∴f(x)=3sin?2x+ ?, 6? 2 6 ?

4

π π π 令- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 3 6 5 ? ? 4 故当 k =- 1 时, f(x) 的增区间为 ?- π ,- π ? ,当 k = 0 时, f(x) 的增区间为 6 ? ? 3

?-π ,π ?,当 k=1 时,f(x)的增区间为?2π ,7π ?,故选 D. ? 3 6? ?3 ? 6 ? ? ? ?
答案:D 4.(2016·黄冈模拟)已知过原点的直线与函数 y=|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个 ?1+α ?sin 2α 交点,α 是交点中横坐标的最大值,则 的值为________. 2α 解析:y=|sin x|(x≥0)的图像如图,
2

若过原点的直线与函数 y=|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点,则第三个交点的

?π 3π ? 横坐标为 α ,且 α ∈? , ?,又在区间(π ,2π )上,y=|sin x|=-sin x,则切点坐 2 ? ?2
标为(α ,-sin α ),又切线斜率为-cos α ,则切线方程为 y+sin α =-cos α (x-α )

y=-xcos α +α cos α -sin α ,
又直线过原点,把(0,0)代入上式得,α =tan α . ?1+α ?sin 2α ?1+tan α ?2sin α cos α 2 2 ∴ = =(1+tan α )cos α 2α 2tan α
2 2

? sin2α ?cos2α =cos2α +sin2α =1. =?1+ ? ? cos α ?
答案:1 5.(2015·高考天津卷)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.若函数 f(x) 在区间(-ω ,ω )内单调递增,且函数 y=f(x)的图像关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为 ________. π? ? 解析:f(x)=sin ω x+cos ω x= 2sin?ω x+ ?, 4? ? 因为 f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,且函数图像关于直线 x=ω 对称, π π 2 所以 f(ω )必为一个周期上的最大值,所以有 ω ·ω + =2kπ + ,k∈Z,所以 ω 4 2 π = +2kπ ,k∈Z. 4
5

2

2π ω π π 2 2 又 ω -(-ω )≤ ,即 ω ≤ ,所以 ω = ,所以 2 2 4 ω= π . 2 π 2

答案:

6.(2016·河南洛阳模拟)设函数 f(x)=|cos x|+|sin x|,下列四个结论正确的是 ________. 3π ①f(x)是奇函数;②f(x)的图像关于直线 x= 对称; 4

? π? ③当 x∈[0,2π ]时,f(x)∈[1, 2];④当 x∈?0, ?时,f(x)单调递增. 2? ?
解析: 对于①, f(-x)=|cos(-x)|+|sin(-x)|=|cos x|+|sin x|, ∴f(-x)=f(x) 是偶函数,①不正确;对于②,注意到 f?

?3π -x?=?cos?3π -x??+?sin?3π -x??=|sin ? ? ? 2 ?? ? ? 2 ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ??
3π 对称,②正确;对于③④,注意 4

x|+|cos x|=f(x),因此函数 f(x)的图像关于直线 x=

? π ? ? ? π ?? ? ? π ?? 到 f?x+ ?=?cos?x+ ??+?sin?x+ ??=|sin x|+|cos x|=f(x),因此函数 f(x)是 2? ? ? 2 ?? ? ? 2 ?? ?
以 π ? π? 为周期的函数,当 x ∈ ?0, ? 时, f(x) = |sin x| + |cos x| = sin x + cos x = 2 2? 2 ?

? π? ?π ? ?π ? sin?x+ ?的值域是[1, 2], 故当 x∈[0,2π ]时, f(x)∈[1, 2], 又 f? ?= 2>1=f? ?, 4 4 ? ? ? ? ?2? ? π? 因此 f(x)在?0, ?上不是增函数,故③正确,④不正确.综上所述,其中正确的结论是② 2? ?
③. 答案:②③ π? ? 2 7.(2016·潍坊模拟)已知函数 f(x)=sin ?2ω x- ?-4sin ω x+2(ω >0),其图像与 6

?

?

x 轴相邻两个交点的距离为 .
(1)求函数 f(x)的解析式; (2) 若将 f(x) 的图像向左平移 m(m>0) 个长度单位得到函数 g(x) 的图像恰好经过点

π 2

?-π ,0?,求当 m 取得最小值时,g(x)在?-π ,7π ?上的单调递增区间. ? 3 ? ? 6 12 ? ? ? ? ?
π? ? 2 解:(1)函数 f(x)=sin?2ω x- ?-4sin ω x+2= 6? ?

6

3 1 1-cos 2ω x 3 3 sin 2ω x - cos 2ω x - 4× +2= sin 2ω x + cos 2ω x = 3 2 2 2 2 2 π? ? sin?2ω x+ ?(ω >0), 3? ? π 根据函数 f(x)的图像与 x 轴相邻两个交点的距离为 ,可得函数 f(x)的最小正周期为 2 π 2π 2× = ,得 ω =1, 2 2ω π? ? 故函数 f(x)= 3sin?2x+ ?. 3? ? π? ? (2)将 f(x)的图像向左平移 m(m>0)个长度单位得到函数 g(x)= 3sin?2?x+m?+ ? 3? ? = π? ? 3sin?2x+2m+ ?的图像, 3? ?

? π ? 根据 g(x)的图像恰好经过点?- ,0?, ? 3 ?
π? π? ? 2π ? 可得 3sin?- +2m+ ?=0,即 sin?2m- ?=0, 3 3 3? ? ? ? π kπ π 所以 2m- =kπ (k∈Z),m= + (k∈Z), 3 2 6 π 因为 m>0,所以当 k=0 时,m 取得最小值,且最小值为 . 6 2π ? ? 此时,g(x)= 3sin?2x+ ?. 3 ? ? π 2π π 7π π 令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ - ,k∈Z,故函数 2 3 2 12 12

g(x)的单调递增区间为?kπ -

? ?

7π π ,kπ - ? ,k∈Z. 12 12? ?

π? ? π 7π ? ? π 7π ? ? π 结合 x∈?- , ?,可得 g(x)在?- , ? 上的单调递增区间为?- ,- ?和 12? ? 6 12 ? ? 6 12 ? ? 6

?5π ,7π ?. ? 12 12 ? ? ?

7



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