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(试题2)2.2直线、平面平行的判定及其性质


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第 1 题. 已知 α ∩ β = a , β ∩ γ = m , γ ∩ α = b ,且 m//α ,求证: a//b .

答案:证明:

β ∩ γ = m m//α m//a a//b . 同理 m//b α ∩ β = a

γ
b

α
a

β

m

第 2 题. 已知: α ∩ β = b , a//α , a//β ,则 a 与 b 的位置关系是( A. a//b C. a , b 相交但不垂直 答案:A. B. a ⊥ b D. a , b 异面



第 3 题. 如图, 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是 PA ,BD 上的点且 PE∶EA = BF ∶FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P E D F B

C

A

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M .连结 PM ,

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∵ AD//BC ,∴

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BF MF PE BF PE MF = ,又由已知 = ,∴ = . FD FA EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM ,又 EF PBC , PM 平面 PBC , ∴ EF// 平面 PBC .

第 4 题. 如图,长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, E1 F1 是平面 A1C1 上的线段,求证: E1 F1// 平 面 AC .

D1 A1 E1 D A

F1 B1

C1

C B

答案:证明:如图,分别在 AB 和 CD 上截取 AE = A1 E1 , DF = D1 F1 ,连接 EE1 , FF1 ,

EF .

∵长方体 AC1 的各个面为矩形, ∴ A1 E1 平行且等于 AE , D1 F1 平行且等于 DF ,
故四边形 AEE1 A1 , DFF1 D1 为平行四边形.

∴ EE1 平行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 . ∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,
四边形 EFF1 E1 为平行四边形, E1 F1//EF .

∵ EF 平面 ABCD , E1 F1 平面 ABCD , ∴ E1 F1// 平面 ABCD .
D1 A1 E1 D A
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F1 B1 F E
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C1

C B
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第 5 题. 如图, 在正方形 ABCD 中,BD 的圆心是 A , 半径为 AB ,BD 是正方形 ABCD 的 对角线,正方形以 AB 所在直线为轴旋转一周.则图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋转所得几何体的 体积之比为 .

A
Ⅰ Ⅱ Ⅲ

D

B
答案: 1∶1∶1

C

第 6 题. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 13 , 平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离都 是 13 , M , N 分别是 PA , DB 上的点,且 PM ∶MA = BN ∶ND = 5∶8 . (1) 求证:直线 MN// 平面 PBC ; (2) 求线段 MN 的长.

P

M D N A C E

B

(1) 答案:证明:连接 AN 并延长交 BC 于 E ,连接 PE ,

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BN NE = . ND AN BN PM NE PM ∵ = ,∴ = . ND MA AN MA ∴ MN //PE ,又 PE 平面 PBC , MN 平面 PBC , ∴ MN // 平面 PBC . (2) 解:由 PB = BC = PC = 13 ,得 ∠PBC = 60 ; BE BN 5 5 65 由 = = ,知 BE = × 13 = , AD ND 8 8 8 91 8 由余弦定理可得 PE = ,∴ MN = PE = 7 . 8 13
则由 AD//BC ,得

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第 7 题. 如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .

P

M

B A C D
答 案 : 证 明 : 连 接 AC 、 BD 交 点 为 O , 连 接 MO , 则 MO 为 △BDP 的 中 位 线 ,

∴ PD//MO . ∵ PD 平面 MAC , MO 平面 MAC ,∴ PD// 平面 MAC . P

M

B A C
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O
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D

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第 8 题. 如图,在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是棱 BC ,C1 D1 的中点,求证:

EF // 平面 BB1 D1 D .

D1 A1

F

C1 B1

D A B E

C

答案:证明:如图,取 D1 B1 的中点 O ,连接 OF , OB ,

1 1 ∵ OF 平行且等于 B1C1 , BE 平行且等于 B1C1 , 2 2 ∴ OF 平行且等于 BE ,则 OFEB 为平行四边形, ∴ EF // BO .
∵ EF 平面 BB1 D1 D , BO 平面 BB1 D1 D ,

∴ EF // 平面 BB1 D1 D .

D1 A1 O

F

C1 B1

D
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C E B
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A
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第 9 题. 如图,在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,试作出过 AC 且与直线 D1 B 平行的截面, 并说明理由.

D1 A1 B1

C1

D A B

C

答案: 如图, 解: 连接 DB 交 AC 于点 O , D1 D 的中点 M , 取 连接 MA ,MC , 则截面 MAC 即为所求作的截面.

D1 A1 M D A O B B1

C1

C

∵ MO 为 △D1 DB 的中位线,∴ D1 B//MO .

∵ D1 B 平面 MAC , MO 平面 MAC , ∴ D1 B// 平面 MAC ,则截面 MAC 为过 AC 且与直线 D1 B 平行的截面.

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第 10 题. 设 a , b 是异面直线, a 平面 α ,则过 b 与 α 平行的平面( A.不存在 B.有 1 个 C.可能不存在也可能有 1 个 D.有 2 个以上 答案:C.

第 11 题. 如图,在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,求证:平面 A1 BD// 平面 CD1 B1 .

D1 A1

C1 B1

C A D B

答案:证明:

B1 B ∥ A1 A B1 B ∥D1 D A1 A ∥D1 D

四边形 BB1 D1 D 是平行四边形

D1 B1//DB DB 平面A1 BD D B 平面A BD 1 1 1 D1 B1//平面A1 BD 同理B1C //平面A1 BD D1 B1 ∩ B1C = B1
平面B1CD1//平面A1 BD .

第 12 题. 如图, M 、 N 、 P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB , BC , CD 上的点,且 AM ∶MB = CN ∶NB = CP∶PD . 求证: (1) AC // 平面 MNP , BD// 平面 MNP ;

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(2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC .

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A

M

E

B N C
答案:证明: (1)

D P

AM CN = MN //AC MB NB AC 平面MNP AC //平面MNP . MN 平面MNP CN CP = PN //BD NB PD BD 平面MNP BD//平面MNP . PN 平面MNP
(2)

设平面MNP ∩ 平面ACD = PE AC 平面ACD PE//AC, AC //平面MNP
即平面MNP与平面ACD的交线//AC .

第 13 题. 如图,线段 AB , CD 所在直线是异面直 线, E , F ,G , H 分别是线段 AC ,CB , BD , DA 的中点. (1) 求证: EFGH 共面且 AB ∥ 面 EFGH , CD ∥ 面 EFGH ; (2) 设 P ,Q 分别是 AB 和 CD 上任意一点,求

A E M C Q F B N G P D H

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证: PQ 被平面 EFGH 平分.

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答案:证明: (1)∵ E , F , G , H 分别是 AC , CB , BD , DA 的中点. ,

∴ EH //CD , FG//CD ,∴ EH //FG .因此, E , F , G , H 共面. ∵ CD//EH , CD 平面 EFGH , EH 平面 EFGH , ∴ CD// 平面 EFGH .同理 AB// 平面 EFGH .
(2)设 PQ ∩ 平面 EFGH = N ,连接 PC ,设 PC ∩ EF = M .

△PCQ 所在平面 ∩ 平面 EFGH = MN ,

∵ CQ// 平面 EFGH , CQ 平面 PCQ ,∴ CQ//MN .
∵ EF 是 △ ABC 是的中位线,
∴ M 是 PC 的中点,则 N 是 PQ 的中点,即 PQ 被平面 EFGH 平分.

第 14 题. 过平面 α 外的直线 l ,作一组平面与 α 相交,如果所得的交线为 a , b , c ,… , 则这些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点 答案:D.

第 15 题. a , b 是两条异面直线, A 是不在 a , b 上的点,则下列结论成立的是( A.过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 B.过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b C.过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b D.过 A 有无数个平面平行于 a 和 b 答案:A.



12, 第 16 题. 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ,BD 的长分别是 8, 过 AB 的中点 E 且平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为 . 答案:20.

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第 17 题. 在空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别为 AB , BC , CD , DA 上的 一点, EFGH 为菱形, AC// 平面 EFGH ,BD// 平面 EFGH ,AC = m ,BD = n , 且 若 . 则 AE:BE = 答案: m∶n .

第 18 题. 如图,空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成 60 的角,且 AD = BC = a ,平行 于 AD 与 BC 的截面分别交 AB 、 AC 、 CD 、 BD 于 E 、 F 、 G 、 H . (1)求证:四边形 EGFH 为平行四边形; (2) E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大?最大面积是多少?

A E F B H G C D

答案: (1)证明:∵ BC // 平面 EFGH , BC 平面 ABC , 平面 ABC ∩ 平面 EFGH = EF ,

∴ BC //EF .同理 BC //GH , ∴ EF //GH ,同理 EH //FG , ∴四边形 EGFH 为平行四边形. (2)解:∵ AD 与 BC 成 60 角,

∴ ∠HGF = 60 或 120 ,设 AE : AB = x ,∵

EF AE = = x, BC AB

BC = a ,∴ EF = ax ,由
得 EH = a (1 x ) .

EH BE = = 1 x , AD AB

∴ S四边形EFGH = EF × EH × sin 60

= ax × a (1 x) ×

3 2

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= 3 2 3 2 1 1 a ( x 2 + x) = a ( x ) 2 + . 2 2 2 4
1 3 2 时, S最大值 = a , 2 8

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当x=

即当 E 为 AB 的中点时,截面的面积最大,最大面积为

3 2 a . 8

第 19 题. P 为 △ ABC 所在平面外一点,平面 α // 平面 ABC , α 交线段 PA , PB , PC 于 A'B'C ' , PA'∶A'A = 2∶3 ,则 S△ AB'C' ∶S△ ABC = ' 答案: 4∶25 .

第 20 题. 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是 AB ,PC 的中点. 求证: MN // 平面 PAD .

P

N

D

C

A M B

答案:证明:如图,取 CD 的中点 E ,连接 NE , ME ∵ M , N 分别是 AB , PC 的中点,

∴ NE //PD , ME //AD , 可证明 NE // 平面 PAD , ME // 平面 PAD . 又 NE ∩ ME = E , ∴平面 MNE // 平面 PAD , 又 MN 平面 MNE ,∴ MN // 平面 PAD .

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P

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N

D E A M B

C

第 21 题. 已知平面 α // 平面 β , AB , CD 是夹在两平行平面间的两条线段, A , C 在 α 内, B , C 在 β 内,点 E , F 分别在 AB , CD 上,且 AE∶EB = CF ∶FD = m∶n . 求证: EF// 平面 α . 答案:证明:分 AB , CD 是异面、共面两种情况讨论. (1) 当 AB , CD 共面时,如图( a )

∵α //β ,∴ AC //BD ,连接 E , F .
∵ AE∶EB = CF∶FD ,∴ EF //AC //BD 且 EF α , AC α ,∴ EF // 平面 α .

A E

C

α

F Dβ
图( a )

B

A G E H B
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C

α

F D β
图( b )
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(2) 当 AB , CD 异面时,如图( b ) ,过点 A 作 AH //CD 交 β 于点 H . 在 H 上 取 点 G , 使 AG∶GH = m∶n , 连 接 EF , 由 ( 1 ) 证 明 可 得 GF //HD , 又

AG∶GH = AE∶EB 得 EG//BH .∴平面 EFG// 平面 β // 平面 α .
又 EF 面 EFG ,∴ EF // 平面 α .

第 22 题. 已知 α ∩ β = a , β ∩ γ = m , γ ∩ α = b ,且 m//α ,求证: a//b .

答案:证明:

β ∩ α = m m//α m//a a//b . α ∩ β = a 同理 m//b

γ
b

α
a

β

m

第 23 题. 三棱锥 A BCD 中, AB = CD = a ,截面 MNPQ 与 AB 、 CD 都平行,则截面

MNPQ 的周长是(
A. 4a C. B. 2a

) .

3a 2

D.周长与截面的位置有关

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答案:B.

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第 24 题. 已知: α ∩ β = b , a//α , a//β ,则 a 与 b 的位置关系是( A. a//b C. a 、 b 相交但不垂直 答案:A. B. a ⊥ b D. a 、 b 异面

) .

第 25 题. 如图, 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,E 、F 分别是 PA 、BD 上的点且 PE : EA = BF : FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P E D C A F B

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M . 连结 PM ,

BF MF = , FD FA PE BF PE MF 又由已知 = ,∴ = . EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM , 又 EF PBC , PM 平面 PBC , ∴ EF// 平面 PBC .

∵ AD//BC ,∴

第 26 题. 如图,长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, E1 F1 是平面 A1C1 上的线段,求证: E1 F1// 平面 ABCD .

D1 A1 E1 D A

F1 B1

C1

C B

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答案:证明:如图,分别在 AB 和 CD 上截得 AE = A1 E1 , DF = D1 F1 ,连接 EE1 , FF1 ,

EF .
∵长方体 AC1 的各个面为矩形,

∴ EE1 平行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 . ∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,
四边形 EFF1 E1 为平行四边形,

E1 F1//EF . ∵ EF 平面 ABCD , E1 F1 平面 ABCD , ∴ E1 F1// 平面 ABCD . D1 A1 E1 D A E F B B1 C F1 C1

第 27 题. 已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 , 求证:平面 AB1 D1// 平面 C1 BD .

D1 A1 B1

C1

D A

C B

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答案:证明:因为 ABCD A1 B1C1 D1 为正方体, 所以 D1C1//A1 B1 , D1C1 = A1 B1 . 又 AB//A1 B1 , AB = A1 B1 , 所以 D1C1//AB , D1C1 = AB , 所以 D1C1 BA 为平行四边形. 所以 D1 A//C1 B .由直线与平面平行的判定定理得

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D1 A// 平面 C1 BD .
同理 D1 B1// 平面 C1 BD ,又 D1 A ∩ D1 B1 = D1 , 所以,平面 AB1 D1// 平面 C1 BD .

第 28 题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这 个平面. 如图,已知直线 a , b 平面 α ,且 a//b , a//α , a , b 都在 α 外. 求证: b//α .

β
a

b

α

c

答案:证明:过 a 作平面 β ,使它与平面 α 相交,交线为 c . 因为 a//α , a β , α ∩ β = c , 所以 a//c .

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因为 a//b , 所以 b//c . 又因为 c α , b α , 所以 b//α .

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第 29 题. 如图,直线 AA' , BB' , CC' 相交于 O , AO = A'O , BO = B'O , CO = C'O . 求证: ABC// 平面 A'B'C' .

C' B' O A C B A'

答案:提示:容易证明 AB//A'B' , AC//A'C' . 进而可证平面 ABC// 平面 A'B'C' .

第 30 题. 直线 a 与平面 α 平行的充要条件是( A.直线 a 与平面 α 内的一条直线平行 B.直线 a 与平面 α 内两条直线不相交 C.直线 a 与平面 α 内的任一条直线都不相交 D.直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行 答案:C.



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