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高三数学文科模拟题



高三文科数学模拟试题
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)
1.若集合 S

? {a, b, c}( a 、b、c ? R )中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是( ...
B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 ( B. f ( x ? 1) = 2 x ? 1(2 ? x ? 4) D.

f ( x ? 1) = ? 2 x ? 1(2 ? x ? 4) ( y 1 1 x O 1 x ) )



A.锐角三角形

2. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1(1 ? x ? 3) ,则 A. f ( x ? 1) = 2 x ? 2(0 ? x ? 2) C. f ( x ? 1) = 2 x ? 2(0 ? x ? 2)

3. 已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ? x ? ? a x 与函数 g ? x ? ? ? log b x 的图象可能是 y 1 x -1 A. O B. y 1 O 1 x y 1 O

C.

D. )

4. 已知双曲线的两条渐进线方程为 y ? ? A.
4y2 x2 ? ?1 27 12

3 x ,且双曲线经过点 (2,3) ,则双曲线方程为( 4

B.

x2 4y2 ? ?1 12 27

C.

4y2 x2 x2 4y2 ? ? 1或 ? ?1 27 12 12 27

D.

x2 y2 ? ?1 16 9

5.设 a b c 分别是Δ ABC 的三个内角 ABC 所对的边,则 a2=b(b+c)是 A=2B 的 A.充要条件 C.必要而不充分条件 6.已知函数 y ? ? sin A.9 7. 已知数列 A. 36 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件





?
3

x 在区间 ? 0, t ? 上至少取得 2 个最大值,则正整数 t 的最小值是(
B.10 C.11
?



D.12 ( )

?an ? 中, a

1

= 2, nan ?1 ? (n ? 1)an ? 2 , n ? N ,则 a11 = B. 38 C. 40 D. 42

8. 已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与△ABC 的位置关系是( A.点 P 在线段 AB 上 9.已知函数 f ( x) ?
1 3 A. [ , ] 4 4
4



B.点 P 在线段 BC 上
4 2 2

C.点 P 在线段 AC 上 )

D.点 P 在△ABC 外部

sin x ? cos x ? sin x cos x 的值域为( 2 ? sin 2 x

1 3 B. [ , ) 4 4

C. [ , ) ? ( , ]

1 5 4 8

5 3 8 4

1 3 D.. ( , ] 4 4

10.已知条件 p: k= 3 ,条件 q:直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 相切,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件





C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

?31? x ( x ? 0) ? , 则方程 f(x)=2 的实数根的个数是 11.已知 f ( x ) ? ? 2 ? x ? 4 x ? 3( x ? 0) ?
A 0 B 1 C 2 D 3 12.设函数 f 是定义在正整数有序对的集合上,并满足:① f ( x, x) ? x, ② f ( x, y) ? f ( y, x), ③ ( x ? y) f ( x, y) ? yf ( x, x ? y), 则 f (12,16) + f (16,12)

1 , 3 , 5

的值是 ( ) A. 96 B. 64 C. 48 D. 24 二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.如图是甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,则平均得分高的是________运动员. 14. 根据如图所示的算法流程图,可知输出的结果 i 为_______________. 15.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆) ,根据图中标出的尺寸(单位:㎝) , 2 可得这个几何体的表面积是 cm 。 16.若曲线 y=f(x)上存在三点 A、B、C,使 AB ? BC ,则称点曲线有“中位点” ,下列曲线:①y=cosx, ②y?

??? ?

??? ?

1 3 2 ,③ y ? x ? x ? 2 ,④y=cosx+x2,⑤ y ? x ? 1 ? x ? 2 ,有“中位点”的有 x

(写出所有满足要求的序号) 开始 i s 1 1 i s s≤6 N 输出 i 结束 (第 14 题图) 三.解答题 17. 设 a ? (cos? , (? ? 1) sin ? ), b ? (cos ? , sin ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ? ? ) 是平面上的两个向量,且 Y i +1 s+1 50 32 875421 944 1 甲 0 1 2 3 4 5 乙 8 247 199 36 2

(第 13 题图)

a ? b与a ? b 互相垂直(1)求λ 的值; (2)若 a ? b ?

4 4 , tan ? ? , 求 tan? 的值. 5 3

18、某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会,拟邀请 50 名使用不同版本的一线教师参加,使用不同 版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 10 北师大版 5

(1)假设使用北师大版的 5 名教师中有 3 名男教师,2 名女教师,若随机选出 2 名用北师大版的教师发言, 求恰好是一男一女的概率 P 1 (2)从这 50 名教师中随机选出 2 名教师发言,求第一位发言的教师所使用版本是北师大版的概率 P 2

19. 本题满分 12 分) ( 某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R (x) =3700x + 45x2 – 10x3 (单位:万元),成本函数为 C(x)=460 x +5000(单位:万元).又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为:Mf(x)= f(x+1)-f(x).求: (1)利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本) (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

20.(本题满分 12 分) 如图,已知 ABC—A1B1C1 是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是 2,D 为侧棱 CC1 的中点,E 为底面一边 A1B1 的中点. (Ⅰ)求证:AB⊥DE; (Ⅱ)求三棱锥 A1 ? ABD 的体积,并求直线 A1B1 到与它平行的平面 DAB 的距离。

21. .( 本 题 12 分 ) 椭 圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a 2 b2

PF1 ? F 1 ,2 |PF ? F 1|

4 14 PF ? | ,| 2 3 3

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 M:x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

22.(本题 14 分) 已知数列 ? an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 S n?1 ? 2S n ? n +5 (I)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列;
2 n (II) f ( x) ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x , 令 求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 并比较 2 f ?(1) 与 23n 2 ? 13n 的

大小.

高三文科数学模拟试题答案
一:BBBAA CDCAA CA 二、12.甲 13.7 14. 3? ? 4 1.解:本题考查集合的元素的互异性. 2.解:本题主要考查对函数定义域的理解 15.①③⑤

4.解 1:已知双曲线的渐进线求双曲线,根据题意可设

x2 4
2

?

y2 3
2

? ? ,代入点(2,3)可得 ? ? ?

3 ,选 A. 4

解 2: (选标准(x 型或 y 型),依题意作出准确的图形,可判断一定是 y 型,所以设
? a 3 ? 2 27 ? ? ? ?a ? 双曲线为 2 ? 2 ? 1 ,依题意可得: ? 9 b 44 ? ? 4 a b ? ? 2 ? 1 ? b 2 ? 12 ? ?a2 b ?

y2

x2

3 7 6.解:函数的周期为 6,依题意可知 t ? 1 T ? t ? ? 6 4 4 t ? 10.5 ,所以正整数 t 的最小值为 11. 8. 解

1
A(01)



PA ? PB ? PC ? AB ? PA ? PB ? PC ? AB ? 0 ? ( PA ? PC) ? ( PB ? BA) ? 0 ? ( PA ? PC) ? PA ? 0 ? PC ? ?2 PA

? AP ?

1 PC ,所以点 P 在线段 AC 上. 2
B(1,0)

解 2:从结论分析,结果与三角形的形状无关,所以举一个特殊的三角形----等腰直角三角形. C(0,0) 建立如图所示的直角坐标系,设 P(x,y)
? 1 ? 3x ? 1, ?x ?0 ? ? 2 PA ? PB ? PC ? AB ? (? x,1 ? y) ? (1 ? x,? y) ? (? x,? y) ? (1,?1) ? (1 ? 3x,1 ? 3 y) ? (1,?1) ? ? ?? 1 ? 3 y ? ?1 ? y ? ? 3 ? ?
所以点 P 在线段 AC 上.

注:向量的问题常常可以从两个角度分析:①向量的运算(有时要用平行四边形或三角形法则作图) ; ②建系,转化为坐标运算. 9.解: f ( x) ?
(sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 2 x cos2 x 1 ? sin 2 x cos2 x 1 1 1 ? ? (1 ? sin x cos x) ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin x cos x 2(1 ? sin x cos x) 2 4 2

( sin 2 x ? 2)

1 3 1 3 1 3 所以函数 f(x)的值域为 [ , ] 且 y ? 1 ,但 1 ? [ , ] 所以值域还是 [ , ] . 4 4 4 4 4 4 三、

17 .解(1)

2 2 2 2 ? (a ? b) ? (a ? b) ?| a | 2 ? | b | 2 ? c o 2 ? ? (? ? 1) 2 s i n ? ? c o 2 ? ? s i n ? ? (? ? 1) 2 s i n ? ? s i n ? , s s

2 2 ? (? ? 1) 2 s i n ? ? s i n ? ? 0 , ? ? 2或? ? 0(舍),即当? ? 2时, a ? b与a ? b垂直??????? (6分)

(2)当 a ? b与a ? b 垂直时,

a ? b ? c o ? c o s ? s i n s i n ? c o s ( ? ? ) ? c o s (? ? ) ? ,? 0 ? ? ? ? ? ? ,则 ? s ? ? ? ? ?
tan( ? ? ) ? tan ? ? 3 3 7 ? sin(? ? ? ) ? ? , tan( ? ? ) ? ? ? tan? ? tan[( ? ? ) ? ? ] ? ? ? ? 5 4 1 ? tan( ? ? ) tan ? 24 ?

4 5

?
2

?? ? ? ? 0

18、解: (略解)从使用北师大版的 5 名教师中任选 2 名共有 10 种情况,满足题意的有 6 种情况,所以 (1) 所求的概率为: P ?

6 3 ? 10 5

(要用列出各种情况得方法来解答)

????6 分

( 2 ) 只 考 虑 首 位 发 言 教 师 的 情 况 : 共 有 50 种 , 符 合 题 意 的 有 5 种 , 所 以 所 求 的 概 率 为

P2 ?

5 1 ? 50 10

????12 分

19. 解:(1)P(x)= R(x)– C(x)= – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000, (x?N 且 x?[1, 20]); 2 分 MP(x)= P(x + 1) – P(x) = – 30x2 + 60x +3275 (x?N 且 x?[1, 20]). 4分 2 (2) P′(x) = – 30x + 90x + 3240 = – 30(x +9)(x – 12)(x?N 且 x?[1, 20]) 5 分 当 1< x < 12 时, P`(x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 7分 即, 年建造 12 艘船时, 公司造船的年利润最大. 8分 2 (3) 由 MP(x ) = – 30( x – 1) + 3305 (x?N 且 x?[1, 20]). ∴当 1< x ? 20 时,MP (x)单调递减. 10 分 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.12 分 20.解(Ⅰ)取 AB 中点 F,连 EF,DF,则 EF⊥AB,又易知 DA=DB,∴DF⊥AB, 则 AB⊥平面 DEF,∴AB⊥DF---------------------------------------------4 分 (Ⅱ) V A1 ? ABD ? VD ? A1BA ?

1 2 ? h ? S ?ABA1 ? 3 ------------------------8 分 3 3

可知,DA=DB= 5 ,所以, S ?ABD ? 2,设直线 A1B1 到与它平行的平面 DAB 的距离 d.

? V A1 ? ABD ? VD ? A1BA ?
21.(共 12 分)

2 3 3

,? ? d ? S ?ABD ?

1 3

1 2 ?d ?2 ? 3,? d ? 3 ------12 分 3 3

解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b2=a -c2=4, 所以椭圆 C 的方程为
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? =1. 9 4

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). 、 2 已知圆的方程为(x+2) +(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.

x1 ? x2 18k 2 ? 9k 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以 ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2
所以直线 l 的方程为 y ?

解得 k ?

8 , 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4

2

2



x2 y ? 2 ? 1, 9 4
由①-②得

2

2



( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4
所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2,



因为 A、B 关于点 M 对称, 代入③得

y1 ? y 2 8 8 = , 即直线 l 的斜率为 , x1 ? x 2 9 9

所以直线 l 的方程为 y-1=

8 (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.) 9

22.解:由已知 S n ?1 ? 2S n ? n ? 5 ,可得 n ? 2, Sn ? 2 Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

Sn?1 ? Sn ? 2 ? Sn ? Sn?1 ? ? 1 即 an?1 ? 2an ? 1 从而 an?1 ? 1 ? 2 ? an ? 1? ????4 分
当 n ? 1 时 S2 ? 2S1 ? 1 ? 5 所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ? 1 ? 2 ? a1 ? 1? ??5 分 故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , n ? N * 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而

an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ? 1? 是等比数列;??6 分 an ? 1

n 2 n n?1 (II)由(I)知 an ? 3 ? 2 ? 1 ,因为 f ( x) ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? ? ? nan x
2 n 从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 3 ? 2 ? 1 ? ? ? n(3 ? 2 ? 1)

?

?

= 3 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n - ?1 ? 2 ? ? ? n ? = 3 ? n ? 1? ? 2n?1 ? 由上 2 f ?(1) ? 23n 2 ? 13n ? 12 ? n ? 1? ? 2 n - 12 2n 2 ? n ? 1 =

?

?

n(n ? 1) ? 6 ??????10 分 2

?

?

?

?

12 ? n ? 1? ? 2n ? 12 ? n ? 1? (2n ? 1) =12 (n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1) ? ① ? ?
当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ?(1) ? 23n ? 13n ;
2

当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ?(1) ? 23n ? 13n
2

当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又由函数 y ? 2 与y ? 2 x ? 1 可 2 ? 2n ? 1
x

n

所以 ? n ? 1? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ?(1) ? 23n 2 ? 13n ??????????14 分 ? ?



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