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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.1(一)


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1.1.1(一)

1.1.1 正弦定理(一)
学习要求
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1.掌握正弦定理的内容. 2.了解正弦定理的证明方法. 3.能初步运用正弦定理解三角形. 学法指导 1.学习本节内容时,要善于运用平面几何知识以及平面向量知 识证明正弦定理. 2.应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转 化.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1(一)

π A B C π 2 1.在△ABC中,A+B+C=____, + + =____. 2 2 2 π a b 本 2.在Rt△ABC中,C= ,则 =________, =________. sin B sin A 2 c c 课
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3.一般地,把三角形的三个角A,B,C及其对边a,b,c叫

元素 做三角形的________.已知三角形的几个元素求其他元素 解三角形 的过程叫做__________.
4.正弦定理:在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦

a b c = = sin A sin B sin C 的比相等,即________________________.

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1.1.1(一)

探究点一 正弦定理的提出和证明 a b 问题 在直角三角形和等边三角形中,容易验证 = sin A sin B 本 课 c 时 = 成立,这一结论对更一般锐角三角形和钝角三角形 sin C 栏
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还成立吗?

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探究1 在锐角△ABC中,根据右图证明: a b c = = . sin A sin B sin C
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1.1.1(一)

证明 根据三角函数的定义, CD CD sinA= ,sinB= . b a a b ∴CD=bsinA=asinB.∴ = . sin A sin B
b c 同理,在△ABC中, = . sin B sin C a b c ∴ = = 成立. sin A sin B sin C

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探究2 在钝角△ABC中(不妨设A为钝角),根据 a b c 右图证明: = = . sin A sin B sin C

1.1.1(一)

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证明 过C作CD⊥AB,垂足为D,D是BA延长线 CD 上一点,根据正弦函数的定义知: =sin∠CAD b CD =sin(180° -A)=sinA, =sinB. a a b ∴CD=bsinA=asinB.∴ = . sin A sin B b c a b c 同理, = .故 = = . sin B sin C sin A sin B sin C a b c 小结 综上可知,对于任意三角形,均有 = = , sin A sin B sin C
此即正弦定理.

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探究点二 问题 正弦定理的几何解释

1.1.1(一)

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如图所示,在 Rt△ABC 中,斜边 c 等于 a b Rt△ABC 外接圆的直径 2R,故有 = = sin A sin B c =2R,这一关系对任意三角形也成立吗? sin C

探究 1 如图所示,锐角三角形 ABC 和它的外接圆 O,外接圆 a b c 半径为 R,等式 = = =2R 成立吗? sin A sin B sin C

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1.1.1(一)

证明
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如图,因为△ABC 为锐角三角形,连接 BO

交圆 O 于 D, 连接 CD.因为∠A=∠D, 则在△BCD a a b c 中, = =2R.同理, = =2R, sin A sin D sin B sin C a b c 所以 = = =2R 成立. sin A sin B sin C

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探究2 如图所示,钝角三角形ABC,A为钝角,圆 a b O是它的外接圆,半径为R,等式 = = sin A sin B c =2R还成立吗? sin C 证明 如图, 当△ABC 为钝角三角形时, 连接 BO 交圆 O 于 D,
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连接 CD,

a a a ∠A=180° -∠D,所以 = = =2R.同理, sin A sin?180° -D? sin D b c = =2R, sin B sin C a b c 所以 = = =2R仍成立. sin A sin B sin C

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小结

a b c 综上所述,对于任意△ABC, = = =2R sin A sin B sin C

恒成立.

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典型例题

1.1.1(一)

例1 在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于 A.1∶2∶3
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(

)

B.2∶3∶4 D.1∶ 3∶2

C.3∶4∶5

解析 ∵A+B+C=π,A∶B∶C=1∶2∶3,
π π π ∴A= ,B= ,C= , 6 3 2 1 3 ∴sinA= ,sinB= ,sinC=1. 2 2

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a b c 设 = = =k(k>0),则 sin A sin B sin C k 3 a=ksinA= ;b=ksinB= k;c=ksinC=k; 2 2 1 3 ∴a∶b∶c= ∶ ∶1=1∶ 3∶2,故选D. 2 2 答案 D

1.1.1(一)

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小结 正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便,需要进 行边角转化时,首先要考虑通过正弦定理来实现.

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1.1.1(一)

跟踪训练1 在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)= 4∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于 A.6∶5∶4
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(

)

B.7∶5∶3 D.4∶5∶6

C.3∶5∶7

解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
b+c c+a a+b b+c c+a a+b ∴ 4 = 5 = 6 .令 4 = 5 = 6 =k(k>0),

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? ?a=7k 2 ? ? 5 ,解得?b= k 2 ? ? 3 ?c=2k ?

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?b+c=4k ? 则?c+a=5k ?a+b=6k ?
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.

∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
答案 B

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a-ccos B sin B 例2 在△ABC中,求证: = . sin A b-ccos A a b c 证明 因为 = = =2R, sin A sin B sin C 所以 2Rsin A-2Rsin Ccos B sin?B+C?-sin Ccos B 左边= = 2Rsin B-2Rsin Ccos A sin?A+C?-sin Ccos A sin Bcos C sin B = = =右边. sin Acos C sin A
所以等式成立.

1.1.1(一)

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小结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角 的关系之间的相互转化的功能更加强大,更加灵活.

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跟踪训练2 在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分 a b 2c 7 . 别为a,b,c,则 + + = sin A 2sin B sin C
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解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2,
a b c ∴ = = =2R=2, sin A sin B sin C a b 2c ∴ + + =2+1+4=7. sin A 2sin B sin C

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例3 在△ABC中,已知a=2 2,A=30° ,B=45° ,解三角形.
a b c 解 ∵ = = , sin A sin B sin C
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2 asin B 2 2sin 45° 2 2× 2 ∴b= = sin 30° = =4. 1 sin A 2

∵C=180° -(A+B)=180° -(30° +45° )=105° , asin C 2 2sin 105° 2 2sin 75° ∴c= = sin 30° = 1 sin A 2 =4 2sin(30° +45° )=2+2 3.

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1.1.1(一)

小结 情况:

已知两角与任一边,利用正弦定理解三角形,有以下两种

(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三
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角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边; (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三 个角,再由正弦定理求另外两边.

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跟踪训练3 在△ABC中,a=5,B=45° ,C=105° ,解三角形.

解 由三角形内角和定理知A+B+C=180° , 所以A=180° -(B+C)=180° -(45° +105° )=30° .
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a b c 由正弦定理 = = , sin A sin B sin C sin B sin 45° 得b=a· =5· 30° =5 2; sin sin A +45° ? sin C sin 105° sin ?60° c=a· =5· =5· sin 30° sin 30° sin A sin 60° 45° cos +cos 60° 45° sin =5· sin 30° 5 = ( 6+ 2). 2

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1.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的 边,若∠A=105° ,∠B=45° ,b=2 2,则c等于( B )
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A.1

B.2

C. 2

D. 3

解析 ∵∠A=105° ,∠B=45° ,∴∠C=30° .由正弦定理得 bsin C 2 2sin 30° c= = sin 45° =2. sin B

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2.在△ABC中,已知∠A=150° ,a=3,则其外接圆的半 径R的值为
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( A ) C.2 D.不确定

A.3

B. 3

解析

a 3 在△ABC中,由正弦定理得 = =6=2R, sin A sin 150°

∴R=3.

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3.在△ABC中,sinA=sinC,则△ABC是 A.直角三角形
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( B )

B.等腰三角形 D.钝角三角形

C.锐角三角形

解析

由sinA=sinC知a=c,

∴△ABC为等腰三角形.

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4.在△ABC中,∠A=60° ,a=4 = 45° .
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3 ,b=4

2 ,则∠B

2 解析 由正弦定理,得sinB= , 2 ∵a>b,∴∠A>∠B. ∴∠B只有一解.∴∠B=45° .

1.1.1(一)

1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题:
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(1)已知两角和任一边,求其它两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角. 2.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化: 一方面可以化边为角,转化为三角函数问题来解决;另 一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决.



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