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对数的基本性质


对数的基本性质
如果an = x, a > 0, ≠ 1 , 那么 n 叫做以 a 为底的 x 的对数, 记做n = log a x, 其中 a 叫做对数的底数,x 叫做真数,n 叫做“以 a 为底 n 的对数” 。 1.我们称以 10 为底的对数叫做常用对数,记做 lg。 2.我们称以无理数e e = 2.71828 … 为底的对数叫做自然对数,记做 ln。 3.0 没有对数(以 0 为底数) 。 4.log a 1 = 0, log a a = 1 *5.在实数范围内,负数没有对数;在复数范围内,负数有对数。 6.对数的函数图像

对数的基本运算: 1.对数恒等式,alog a N = N 2.log a M × N = log a M + log a N 3.log a M ÷ N = log a M ? log a N, ( 由公式 2 推导 ) 4.log a M n = n × log a M, ( 可推导:log a N = log a N ?1 = ?log a N ) 5.log a n M = n × log a M 6.log a b × log b a = 1 7.换底公式,log a b = log c b ÷ log c a 8.基本性质 5 的推广,log a n bm = 对数基本性质的证明 1.证明对数恒等式: = 设 an = N, → log a N = n, → alog a N = N
m n 1 1

× log a b

2.证明: × = + 设 log a M × N = b; log a M = c; log a N = d 则 ab = M ? N; ac = M; ad = N 那么 M × N = ac × ad = a c+d = ab 那么 b = c + d,代入得 log a M × N = log a M + log a N 3.基本性质 3 由基本性质 2 推导而得,证明过程相同。 4.证明: = × 设 log a M n = b; log a M = c 则 ab = M n ; ac = M 那么 M n = ac
n

= an ?c = ab

那么 b = n ? c,代入得 log a M n = n ? log a M 5.证明: = × 设 log a n M = b; log a M = c 则 (an )b = M; ac = M 那么 an ?b = ac 那么 b = n c,代入得 log a n M = n ? log a M 6.证明: × = 设 log a b = N; log b a = M 那么 aN = b; bM = a 那么 bM
N 1 1

= b, 即 bM ?N = b

那么 M × N = 1,代入得 log a b × log b a = 1 7.证明换底公式: = ÷ 设 log c b = N; log c a = M 则 c N = b; c M = a 则 log a b = log
cM N

c N = M log c c = N ÷ M

代入得 log a b = log c b ÷ log c a 8. =


× 的证明过程,略。


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