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抛物线与直线的交点问题



抛物线与直线的交点问题
1、 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=m(坐标系中的水平直线)的交点问题: ①把 y=m 代入 y=ax2+bx+c 得 ax2+bx+c=m,即 ax2+bx+(c-m)=0 2 此时方程的判别式△=b -4a(c-m)。 △>0,则抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=m 有两个交点; △=0 时有一个交点; △<0 时无交点。

②特殊情形: 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=0(x 轴)的交点问题: 令 y=0,则 ax2+bx+c=0 2 此时方程的判别式△=b -4ac △>0,则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点; △=0 时有一个交点; △<0 时无交点。 2、抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=kx+b 的交点问题: 令 ax2+bx+c=kx+b,整理方程得:ax2+(b-k)x+(c-b)=0 此时方程的判别式△=(b-k)2-4a(c-b) △>0,则抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=kx+b 有两个交点; △=0 时有一个交点; △<0 时无交点。 总结:判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。 3、 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=0(x 轴)的交点位置问题: 若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2,则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为(x1,0) 、 (x2,0) 2 ① 若 x1x2>0、x1+x2>0,则抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的两个交点在原点右侧 ② 若 x1x2>0、x1+x2<0,则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点在原点左侧 ③ 若 x1x2<0,则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分居于原点两侧 4、 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=0(x 轴)的两个交点距离公式 若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2,则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点(x1,0) 、 (x2,0)的距离为 ︱x1-x2︱=

b 2 ? 4ac a
练习

1 .一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的两根是- 3 和 1 ,那么二次函数 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的交点是 ____________. 2.已知二次函数 y=kx2-7x-7 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围为( 7 A.k>-4 7 B.k<-4且 k≠0 7 C.k≥-4 7 D.k≥-4且 k≠0 ). )

3.若抛物线 y=x2-8x+c 顶点在 x 轴上,则 c 的值等于( A.4 B.8 C.-4

D.16 ). D.a<0, b2-4ac<0

4.二次函数 y=ax2+bx+c 的值恒为负值的条件是(

A.a>0, b2-4ac<0 B.a<0, b2-4ac>0 C.a>0, b2-4ac>0 5.直线 y=3x-3 与抛物线 y=x2-x+1 的交点的个数是______

6.若抛物线 y=(m-1)x2+2mx+m+2 恒在 x 轴上方,则 m_______. 7.抛物线顶点 C(2, S△ABC = . ),且与 x 轴交于 A 、B 两点,它们的横坐标是方程 2x2-7x+1=0的两根,则

8.直线 y=2x 1 与抛物线 y=x2 的公共点坐标是______________. 9、不等式 x2-9>0的解集为_________________;x2>2x+1 的解集为_____________. 10.利用二次函数的图象求一元二次方程 x2+2x-10=3 的根.

11.在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为 A(1,-4),且过点 B(3,0). (1)求该二次函数的解析式; (2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后 所得图象与 轴的另一个交点的坐标.

12.已知抛物线 y=x2+ax+a-2. (1)证明:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点; (2)求这两个交点间的距离;(用关于 a 的表达式来表达) (3)a 取何值时,两点间的距离最小?

13.已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3(m+1)交 x 轴于 A(x1,0),B(x2,0)两点,交 y? 轴正半轴于 C 点,且 x1<x2,│x1│>│x2│,OA2+OB2=2OC+1. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在与抛物线只有一个公共点 C 的直线?如果存在,求符合条件的直线的表达式;如果不存 在,请说明理由.



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