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三角函数应用举例


三角函数型应用题
1. 如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ? ABCD ? 的池底水平铺设污水净化管道 ( Rt?FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别 落在线段 BC , AD 上.已知 AB ? 20 米, AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? .(1)试将污水净化管道的长度 L 表 示为 ? 的函数,并写出定义域; (2)若 sin ? ? cos ? ? 污水净化效果最好?并求出此时管道的长度. (3)问:当 ? 取何值时, 2 ,求此时管道的长度 L ;

EH ?
解: (1)

10 10 FH ? cos ? , sin ?
由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 ,

EF ?

10 sin? cos?

AF ?

10 ? 10 3 tan ?

? ? 10 10 10 ? ? 3 ? ?[ , ] L ? ? ? ? ?[ , ] ? tan ? ? 3 6 3 cos ? sin ? sin ? ? cos ? , 6 3 . 3 ,
(2) sin? ? cos? ? 2 时,

sin? cos? ??

1 2 , L ? 20( 2 ? 1) ;

L?
(3)

10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? 10( ) cos ? sin ? sin ? ? cos ? = sin ? ? cos ?

设 sin ? ? cos ? ? t

t 2 ?1 ? ? ? ?[ , ] sin ? ? cos ? ? 6 3 , 2 由于 则

t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [ 4 所以
L? 20 t ?1

?

3 ?1 , 2] 2

[


3 ?1 , 2] 2 内单调递减,

t?
于是当

? ? 3 ?1 ? ? ,? ? 6 3 时 , L 的最大值 20( 3 ? 1) 米. 2 时
? ? ?? 6或 3 时所铺设的管道最短,为 20( 3 ? 1) 米.

答:当

??

2.某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD,AB=50 米,BC= 25 3 米,为了便于居民平时休闲散步, 该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到小区整体规划, 要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且∠EOF=90° ,如图所示. (1)设∠BOE= ? ,试将 ?OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 400 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低? 并求出最低总费用. D

C E

F

?
解:(1)∵在 Rt△BOE 中,OB=25, ∠B=90° ,∠BOE= ? ,∴OE= 在 Rt△AOF 中,OA=25, ∠A=90° ,∠AFO= ? ,∴OF= 又∠EOF=90° ,∴EF= ? OE 2 ? OF 2 ? ( ∴ l ? OE ? OF ? EF ? O 25 A .…………2 分 cos ? B

25 .……………………4 分 sin ?

25 2 25 2 25 ) ?( ) = , cos ? sin ? cos? sin ?

25 25 25 ? ? cos? sin ? cos? sin ? 25(sin ? ? cos? ? 1) 即l ? . …………………………………………6 分 cos? sin ? π 当点 F 在点 D 时,这时角 ? 最小,求得此时 ? = ; 6 π 当点 E 在 C 点时,这时角 ? 最大,求得此时 ? = . 3 π π 故此函数的定义域为 [ , ] .……………………………………………………………8 分 6 3
(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求 ?OEF 的周长 l 的最小值即可.

25(sin ? ? cos? ? 1) π π , ? ?[ , ] cos? sin ? 6 3 2 t ?1 设 sin ? ? cos? ? t ,则 sin ? ? cos? ? , 2 25(sin ? ? cos ? ? 1) 25(t ? 1) 50 ? 2 ? ∴l ? ……………………………………………12 分 t ?1 cos ? sin ? t ?1 2
由(1)得, l ?

3 ?1 3 ?1 5π π 7π ? t ? 2 ,∴ ? t ?1 ? 2 ?1 , ? ? ? ? ,得 2 2 12 4 12 1 从而 2 ? 1 ? ? 3 ? 1,……………………………………………………………15 分 t ?1 π 当 ? ? ,即 BE=25 时, lmin ? 25( 2 ? 1) , 4
由, 所以当 BE=AE=25 米时,铺路总费用最低,最低总费用为 10000( 2 ? 1) 元.…………16 分

3. 如图,ABCD 是块边长为 100 m 的正方形地皮,其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山,其余部分都是平 地,一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点 P 在 弧 ST 上,相邻两边 CQ、CR 落在正方 形的边 BC、CD 上,求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值。 D S P 解:设 ?PAB ? ? (0? ? ? ? 90?), 延长 RT 交 AB 于 M A T Q B R C

AM ? 90cos? , MP ? 90sin ? ? PQ ? MB ? 100? 90cos? .

PR ? MR ? MP ? 100 ? 90 sin ? ? S矩形PQRC ? PQ ? PR ? (100? 90cos? )(100? 90sin ? )
? 10000? 9000 (sin? ? cos? ) ? 8100sin ? cos?
令 t ? sin ? ? cos? (1 ? t ?

(0? ? ? ? 90?),

2 ), sin ? cos? ?

t 2 ?1 2

S 矩形PQRC ? 10000? 9000 t ? 8100?
故当 t ?

t 2 ?1 10 ? 4050 (t ? ) 2 ? 950 -10 2 9

10 2 时,S 的最小值为 950m ,当 t ? 2 时 S 的 (14050? 9000 2 )m 2 9

4. 如图, 在半径为 3 、 圆心角为 60 的扇形的弧上任取 一点 P , 作扇 形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上,点 N , M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y ,按下列要求写出函数的关系式: (1)①设 PN ? x ,将

y 表示成 x 的函数关系式;②设 ?POB ? ? ,将 y 表 示成 ? 的函数关系式;请你选用(1)中的一个函数关
系式,求出 y 的最大值.

A

P

Q

解 :( 1 ) ① 因 为 ON ? 3 ? x2



OM ?

3 x , 3
, 所

所以 B 以 N M O

M N? 3 ? 2 x ?

3 3

x ,

?

2



y ? x( 3 ? x 2 ?

3 3 x), x ? (0, ) .????? 4 分 3 2

②因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos? , OM ?

3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ? ????????? 6 分 所以 y ? 3sin ? ( 3 cos? ? sin ? ) ,即 y ? 3sin ? cos? ? 3sin 2 ? , (? ? (0, (2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin 2 ? ? 3 sin(2? ?

?
3

)) ? 8 分

?
6

)?

3 ,????? 12 分 2 3 .??? 14 分 2

? ? ? (0, )
3

? 2? ?

?
6

?(

? 5?
6 , 6

) ??????? 13 分所以 ymax ?

5. 如下图, 某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,?ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,?ABC 外的地方种草,其余地方种花. 若 BC=a, ?ABC=? ,设 ?ABC 的面积为 S1 ,正方形 PQRS 的面积为 S 2 , 将比值

S1 称为“规划合理度”. S2 (1)试用 a , ? 表示 S1 和 S 2 ; (2)若 a 为定值,当 ? 为何值时,“规划合理度”最小?并求出这个最小值.
A P S

B

Q

R

C

(1)在 Rt ?ABC 中, AB ? a cos ? , AC ? a sin ? ,

1 1 AB ? AC ? a 2 sin ? cos ? ……………3 分 2 2 x , AP ? x cos ? , 设正方形的边长为 x 则 BP ? sin ? x ? x cos ? ? a cos ? , 由 BP ? AP ? AB ,得 sin ? a sin ? cos ? 故x? 1 ? sin ? cos ? a sin ? cos ? 2 2 ) ……………6 分 所以 S 2 ? x ? ( 1 ? sin ? cos ? 1 (1 ? sin 2? ) 2 S1 1 (1 ? sin ? cos ? ) 2 1 1 2 ? ? ? ? ? sin 2? ? 1 ,…… 8 分 (2) S2 2 sin ? cos ? sin 2? sin 2? 4 S1 ?
令 t ? sin 2? ,因为 0 ? ? ?

?

2 所以 0 ? 2? ? ? ,则 t ? sin 2? ? (0,1] ……………10 分 1 1 S 1 1 所以 1 ? ? t ? 1 ? g (t ) , g ?(t ) ? ? 2 ? ? 0 , t 4 S2 t 4 所以函数 g (t ) 在 (0,1] 上递减,……………12 分 9 因此当 t ? 1 时 g (t ) 有最小值 g (t ) min ? g (1) ? , 4
此时 sin 2? ? 1, ? ? 所以当 ? ?



?

?
4

4

……………14 分

时,“规划合理度”最小,最小值为

9 .……………15 分 4
2m N E D 2m M F AP l C Q B 车, 其 于 M、 (用 ?

6. 如图所示,一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板 平板面为矩形 ABEF,它的宽为 1 米。直线 EF 分别交直线 AC、BC N,过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P,DQ⊥BC 于 Q; ⑴若平板车卡在直角走廊内,且∠ CAB ? ? ,试求平板面的长 表示); ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?

2 1 2 ,DN= ,MF= ,EN= tan ? , sin ? cos ? tan ? 2 1 2 + - - tan ? ? EF=DM+DN-MF-EN= sin ? cos ? tan ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? = (0 ? ? ? ) sin ? cos ? 2
解: (1)DM= (2) “平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角( 0 ? ? ? 度 ? l min ;记 sin ? ? cos? ? t , 1 ? t ?

?
2

) ,平板车的长度不能通过,即平板车的长

2 ,有 sin ? cos ? =

t 2 ?1 , 2

=

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 4t ? 2 = 2 sin ? cos ? t ?1 m?2 ) 或直接求导, 以确定函数在 [1, 2 ] 4

此后研究函数的最小值, 方法很多; 如换元 (记 4t ? 2 ? m , 则t ? 上的单调性;当 t ?

2 时取得最小值 4 2 ? 2

7. (本小题满分 15 分) 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)求棒长 L 关于 ? 的函数关系式: L?? ? ; (2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值.

?

2

解: (1)如图, AB ?

2 2 , BC ? cos? sin ?

L?? ? ? AC ? AB ? BC ?

2 2 ? ?? ?2 ?0 ? ? ? ? cos? sin ? ? 2?

(2) L?? ? ?

2 ?cos? ? sin ? ? sin ? cos?

令 t ? cos? ? sin ? ?

? ?? ? 2 sin?? ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 t ? 1, 2 , 4 4? ?
C

?

?

则 sin ? cos? ?

?sin ? ? cos? ?2 ? 1 ? t 2 ? 1
2 2

L?

2 2t 2 2 1 ? ,当 t ? 1, 2 时,t ? 随着 t 的增大而增大, 2 1 t t ?1 t? t
A

?

?

?
B

2

1 ? 2? 所以 t ? ? ? 0, ? 所以 L ? ?4,??? ? t ? 2 ?
所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 4 ………15 分

2

8. 如图, A, B, C 是三个汽车站, AC, BE 是直线型公路. 已知 AB=120 km, ∠BAC=75° , ∠ABC=45° . 有 一辆车(称甲车)以每小时 96(km)的速度往返于车站 A,C 之间,到达车站后停留 10 分钟;另有一辆车 (称乙车)以每小时 120(km)的速度从车站 B 开往另一个城市 E,途经车站 C,并在车站 C 也停留 10 分 钟.已知早上 8 点时甲车从车站 A、乙车从车站 B 同时开出. (1)计算 A,C 两站距离,及 B,C 两站距离; (2)若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上,问能否在车站 C 处利用停留时间交换. (3)求 10 点时甲、乙两车的距离. (参考数据: 2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 , 6 ? 2.4 , 111 ? 10.5 )

E C
(1)在△ABC 中,∠ACB=60° .∵
120 ? 3 2

AB BC AC , ? ? sin 60? sin 75? sin 45?

120sin 45? ? ∴ AC ? sin 60?

2 2 ? 40 6 ? 96(km) ,

A

B

120sin 75? BC ? ? sin 60?

120 ?

6? 2 4 ? 60 2 ? 20 6 ? 132(km) . 3 2

(2)甲车从车站 A 开到车站 C 约用时间为 出.乙车从车站 B 开到车站 C 约用时间为

96 ,即 9 点到 C 站,至 9 点零 10 分开 ? 1 (小时)=60(分钟) 96

132 ,即 9 点零 6 分到站,9 点零 16 ? 1.1 (小时)=66(分钟) 120

分开出.则两名旅客可在 9 点零 6 分到 10 分这段时间内交换到对方汽车上. (3)10 点时甲车离开 C 站的距离为 距离等于
50 44 ? 96 ? 80(km) ,乙车离开 C 站的距离为 ?120 ? 88(km) ,两车的 60 60

802 ? 882 ? 2 ? 80 ? 88 ? cos60? ? 8 100 ? 121 ? 110

= 8 111 ? 8 ?10.5 ? 84(km) .

9. 如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已知已有两面墙的 夹角为 60°(即 ?C ? 60 ) ,现有可供建造第三面围墙的材料 6 米(两面墙的长均大于 6 米) ,为了使得小 老虎能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室尽可能大,记 ?ABC ? ? ,问当 ? 为多少时,所建造的 三角形露天活动室的面积最大?
?

解:在 ?ABC 中,由正弦定理:

化简得: AC ? 4 3 ? sin ? 所以 S ?ABC ?

1 ? AC ? BC ? sin 2 3

AC AB BC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) 3 3 ? BC ? 4 3? s i ? n? ( ) 3

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

? 1 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) ? 12 3 sin ? ? ( sin ? ? cos ? ) · 3 2 2 1 ? cos 2? 3 ? 6 3(sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos ? ) ? 6 3( ? sin 2? ) 2 2

1 ? ? 6 3 ? [ ? sin(2? ? )] 2 6
即 S ?ABC ? 6 3 ? sin(2? ? 所以当 2? ?

?
6

) ? 3 3 (0 ? ? ?

时, (S?ABC )max = 9 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 6 2 3 答:当 ? ? 60? 时,所建造的三角形露天活动室的面积最大。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 1 ? ? ? ? 另解: S ?ABC ? AC ? BC ? sin ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) ? ?6 3[cos(2? ? ) ? cos ] 2 3 3 3 3 ? 2? ? ?6 3 cos(2? ? ) ? 3 3 (0 ? ? ? ) (下同) 3 3 10. 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏 西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船 沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距 离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计 航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解: (1)设相遇时小艇航行的距离为 s 海里,则 s= 900t2+400-2× 30t× cos(90° -30° ) = 900t2-600t+400 1 故当 t= 时,smin=10 3,此时 v=30 3. 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10,故 OC>AC, 且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小 艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相遇. π 10 3 设∠COD=θ(0<θ< ) ,则在 Rt△COD 中,CD=10 3tanθ,OD= , 2 cosθ 10+10 3tanθ 10 3 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t= 和 t= , 30 v cosθ 10+10 3tanθ 10 3 15 3 π 3 π π 所以 = ,解得 v= .又 v≤30,故 sin(θ+ )≥ ,从而 ≤θ≤ . 30 v cosθ π 6 2 6 2 sin(θ+ ) 6 10+10 3tanθ π 3 π 2 由于 θ= 时,tanθ 取得最小值 ,于是当 θ= 时,t= 取得最小值 . 6 3 6 30 3 此时,在△AOB 中,OA=OD=AD=20,故可设计航行方案如下: π 航行方向为北偏东 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 6
A C D

?

?

?

, 即? ?

?

2? )· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3

30°

θ

O

三角函数应用举例

例题选讲 【例 1】如图,塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米,从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 450 和 600,试求塔高与楼高(精确到 0.01 米). (参考数据: 2 =1.41421?, 3 =1.73205?) 分析:此题可先通过解 Rt△ABD 求出塔高 AB,再利用 CE=BD=80 Rt△AEC 求出 AE,最后求出 CD=BE=AB-AE. 解:在 Rt△ABD 中,BD=80 米,∠BAD=600 ∴AB= BD ? tan60 ? 80 3 ? 138.56 (米) 在 Rt△AEC 中,EC=BD=80 米,∠ACE=450 ∴AE=CE=80 米
0

A

米,解
E

450 C

60 0
B D F

∴CD=BE=AB-AE= 80 3 ? 80 ? 58.56 (米) 答:塔 AB 的高约为 138. 56 米,楼 CD 的高约为 58. 56 米. 【例 2】如图,直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处,此时飞机离地面的高度 PO=450 米,且 A、B、 O 三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角分别为 ? ? 30 , ? ? 450 ,求大桥 AB 的长(精确到 1 米,选用
0

例1图

数据: 2 =1.41, 3 =1.73) 分析:要求 AB,只须求出 OA 即可。可通过解 Rt△POA 达到目的. 解:在 Rt△PAO 中,∠PAO= ? ? 30
0

P
0

?

∴OA= PO ? cot ?PAO ? 450cot30 ? 450 3 (米) 在 Rt△PBO 中,∠PBO= ? ? 450 ∴OB=OP=450(米)

?

O B A ∴AB=OA-OB= 450 3 ? 450 ? 329(米) 例 2 图 答:这座大桥的长度约为 329 米. 评注:例 1 和例 2 都是测量问题(测高、测宽等),解这类问题要理解仰角、俯角的概念,合理选择关系 式,按要求正确地取近似值. 【例 3】一艘渔船正以 30 海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600 方向,40 分钟后,渔船行至 B 处,此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向,已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的 可能? 分析:此题可先求出小岛 C 与航向(直线 AB)的距离,再与 10 海里进行比较得出结论. 解:过 C 作 AB 的垂线 CD 交 AB 的延长线于点 D

AD BC 0 , cot 60 ? CD CD 0 0 ∴ AD ? CD ? cot30 , BD ? CD ? cot 60 ∴ AD ? BD ? CD(cot300 ? cot 600 ) ? 20 20 ? 10 3 ∴ CD ? 3 3? 3 ∵ 10 3 >10
∵ cot 30 ?
0

∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域. 评注:此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题,解这类题要弄清方位角、方 向角的概念,正确地画出示意图,然后根据条件解题.



北 C

D

C

60 0
西 A 南 B

30

0

D





A

E

F

B

例3图

例4图

【例 4】某水库大坝横断面是梯形 ABCD,坝顶宽 CD=3 米,斜坡 AD=16 米,坝高 8 米,斜坡 BC 的 坡度 i =1∶3,求斜坡 AB 的坡角和坝底宽 AB. 分析:此题可通过作梯形的高,构造直角三角形使问题得以解决. 解:作 DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为 E、F.在 Rt△ADE 和 Rt△BCF 中 ∵ sin A ?

DE 8 1 ? ? AD 16 2

∴∠A=300 又∵ AE ?

AD2 ? DE 2 ? 162 ? 82 ? 8 3 , i ?

CF 1 ? BF 3

∴BF=3CF=3×8=24 ∴AB=AE+EF+BF= 8 3 ? 3 ? 24 = 27 ? 8 3 (米) 答:斜坡 AB 的坡角∠A=300,坝底宽 AB 为 (27 ? 8 3) 米。 评注:此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系(坡度是坡角的正切值 i ? tan ? ) ,其次是作适当的辅 助线构造直角三角形. 练习精选 1.如图,苏州某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为 20cm,深为 30cm,为了方便残疾人士,拟将台 阶改为斜坡, 设台阶的起始点为 A, 斜坡的起始点为 C, 现将斜坡的坡角∠BCA 设计为 12° , 求 AC 的长度. (精 确到 1cm)

2.已知:在△ABC 中,∠C=90° ,点 D 在 BC 上,若∠B=α,∠ADC=β,BD=m,求 CD 的长.
C

β
A

D

α
B

3.已知水库大坝的横断面是梯形 ABCD,坝顶宽 BC=4 米,坝高 BE=18 米,斜坡 AB 的坡角的余弦值为 0.8,斜坡 CD 的坡度i=1∶1,求斜坡 AB 和坝底宽 AD 的长.

4.年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学,为了方便 A、B 两地师生的交往,学校准备在相距 2km 的 A、B 两地之间修筑一条笔直 公路(即图中的线段 AB),经测量,在 A 地的北偏东 60°方向、B 地的西偏北

45°方向的 C 处有一个半径为 0.7km 的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?

5.如图,自卸车厢的一个侧面是矩形 ABCD,AB=3 米,BC=0.5 米,车厢底部离地面 1.2 米,卸货时,车 厢倾斜的角度 ? ? 60 ,问此时车厢的最高点 A 离地面多少米?(精确到 1 米) 解:过点 A、D 分别作 CE 的垂线 AG、DF,垂足分别为 G、F,过 D 作 DH⊥AG 于 H,则有:
0

3 3 3 ? 2 2 1 1 AH ? AD ? cos 60 0 ? 0.5 ? ? 2 4 3 3 1 于是 A 点离地面的高度为 ? ? 1.2 ? 4 (米) 2 4 DF ? CD ? sin 600 ? 3 ?

A H D

B C G F

答:车厢的最高点 A 离地面约为 4 米. 6.如图所示,CD 是平面镜,光线从 A 点出发经 CD 上点 E 反射后照射到 B 点,若入射角为 α(入射角等于 反射角) ,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为 C、D,且 AC=3,BD=6,CD=11,求tan α的值.

问题一图

7.水池边一个高 1.8 米的人看到对面池边一棵树上有一只鸟,向上望仰角为 45° ,而看 鸟在水中的像在池中的俯角为 60° ,如图.求这只鸟相对于水池的高度.

8.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围 10km 范围内形成气旋风暴,有极 强的破坏力.据气象观测,距沿海某城市 A 的正南方向 220kmB 处有一台风中心,其中 心最大风力为 12 级,每远离台风中心 20km,风力就会减弱一级.该台风中心现 正以 15km/h 的速度沿北偏东 30°方向往 C 移动,且台风中心风力不变,若城 市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响(如图所示) (1).该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。 (2).若会受台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长? (3).该城市受到台风影响的最大风力为几级?

9.城市规划期间,欲拆除一电线杆 AB(如图).已知距电线杆 AB 水平距离 14 米 的 D 处有一个大坝,背水坡 CD 的坡度 i=1∶0.5,坝高 CF 为 2 米.在坝顶 C 处 测得杆顶 A 的仰角为 30° ,D、E 之间是宽为 2 米的人行道.试问:在拆除电线杆 AB 时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?请说明理由(地面上,以 B 为 圆心,以 AB 长为半径的圆形区域为危险区域).(精确到 0.1 米)

10.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽 2 米,坡度由原来的 1:2 改 成现在的 1:2.5,已知坝高 6 米,拦水坝长 50 米,(1)求加宽部分横断面 AFEB 的面积;(2)完成这一工程需要多少方土?

11.已知:如图,BC⊥AC,AD=a,BD=b, ?A ? ?? , ?B ? ?? , 求 AC 和 BC 的长.
D A

B

C

12.如图,有一静止的广告气球。浮在空中,小飞由山脚下一点 A 处测得气球 O 的仰角为 45° .他又从点 A 处沿倾斜角为 20° 42′的山坡前进 1200m 到 B 处,再次测得气球 O 的仰角为 65° ,你 O 能帮小飞利用测得的数据计算出气球 O 离地面的高度吗?(结果精确到 1m).
B E

13.已知在锐角△ABC 中,AB=AC,BC=4,D 是 AC 边上一点,AD∶CD=3∶1, 12 sin A= ,求(1) AB 的长;(2) △BCD 的面积. 13

A

F

C

14.如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8,现将△ABC 如图那样折叠,使点 A 与点 B 重合,折 痕为 DE,则 tan∠CBE 的值.

15.如图,已知△ABC 中,∠BAC=90° ,AC = 2BC,在 BC 所在直线上取点 E,使 BC = CE,连结 AE,求 sin∠CAE 的值.

16.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90° ,BC=CD=10,sinC=0.8.(1) 求梯形 ABCD 的面 积;(2) 点 E、F 分别是 BC、CD 上的动点,点 E 从点 B 出发向点 C 运动,点 F 从点 C 出发向点 D 运动.若 两点均以每秒 1 个单位的速度同时出发,连结 EF,求△EFC 面积的最大值,并说明此时 E、F 的位置.

17. 如图, 在正方形 ABCD 中, N 是 CD 的中点, M 是 AD 上异于 D 的点, 且∠NMB=∠MBC, 求 tan∠ABM 的值.

18.如图,一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行;途中接到台风警报,台风中心正以 40 海里/时 的速度由南向北移动,距台风中心 20 10海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到 A 处时,测得台 风中心移到点 A 正南方向 B 处,且 AB=100 海里.(1)若轮船以最高时速 30 海里继续向东航行,在途中会 不会遇到台风?若会,试求轮船最初遇到台风的时间;若不会,则说明理由;(2)为避免遭遇台风的袭击, 轮船自 A 点处立即提高船速,向位于东偏北 30° 方向,相距 60 海里的 D 港驶去,为使台风到来之前达到 D 港,问船速至少应提高多少?(提高的船速取整数)


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