9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 初一数学 >>

两条直线的 位置关系—两条直线的交点


1. 复 习

定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直 线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线。

点集

一一对应

解集

解方程组: 解方程组:
3 x+4 y -2=0 , 2x+ y +2=0.

(1) (2)

并画出图象. 并画出图象

由 解: (1) ? (2) × 4 得:? 5x ? 10 = 0

( 得 即 x = ?2 将它代入 2) y = 2

l2

y

? x = ?2 ∴ 方程组的解是 ? ?y = 2 .

l1
M
O

说明: 几何意义: 直线 l1 : 3x + 4 y ? 2 = 0 与 说明:

x

直线 l2 : 2 x + y + 2 = 0 相交于点 M (?2 ,) . 2

7.3 两条直线的位置关系(3) 两条直线的位置关系( )
——两条直线的交点 两条直线的交点

2. 交点
设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0, ,

l2: A2x+B2 y +C2=0.
这两条直线是否有交点 方程组 A1x+B1 y +C1=0, , A2x+B2 y +C2=0. 是否有唯一解。 是否有唯一解。 有唯一解, 若方程组 有唯一解,则直线l1 与 l2 相交 ; 说明: 说明: 若方程组有无数解, 若方程组有无数解,则直线l1 与 l2 重合 ; 若方程组无解, 若方程组无解,则直线l1 与 l2 平行 。

设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0, (A1B1 C1 ≠0) ≠0) ,

l2: A2x+B2 y +C2=0. (A2B2 C2≠0), ≠0),
则 方程组有唯一解

?l1与l2 相交

方程组有无数多解

? l1与l2的重合

A1 B1 ?A ≠B 2 2

A1 B1 C1 ? = = A2 B2 C2 方程组无解 ? l1∥l2 ? A1 = B1 ≠ C1 A2 B2 C2

设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0, (A1B1 C1 ≠0) ≠0) ,

l2: A2x+B2 y +C2=0. (A2B2 C2≠0), ≠0),
则 方程组有唯一解

?l1与l2 相交

方程组有无数多解

? l1与l2的重合

A1 B1 ?A ≠B 2 2

A1 B1 C1 ? = = A2 B2 C2 方程组无解 ? l1∥l2 ? A1 = B1 ≠ C1 A2 B2 C2

求经过原点且经过以下两条直线交点的直线方程: 例1 求经过原点且经过以下两条直线交点的直线方程: l1: x-2 y +2=0 , l2: 2x- y -2=0.
解方程组 解: ?x ? 2 y + 2 = 0 , ? ?2 x ? y ? 2 = 0 ,



?x = 2 , ∴ l1 与 l2 的交点 是 (2 ,) . 2 ? ?y = 2 .

由已知可设经过原点的直线方程为
把交点 (2 ,) 代入此方程 , 得 k = 1 2

y = kx

故所求直线方程为 y = x .

例2 判 下 各 直 的 置 系, 相 , 求 点. 定 列 对 线 位 关 若 交 则 交
(1) l1 : 7 x + 2 y ? 1 = 0

l2 : 14 x + 4 y ? 2 = 0
(3)

(2) l1 : ( 3 ? 2 ) x + y = 7

l2 : x + ( 3 + 2 ) y ? 6 = 0

l1 : 3x + 5 y ? 1 = 0

l2 : 4 x + 3 y = 5
7x + 2 y ? 1 = 0 有无数解 ∴ l1 与 l2 重合 . ? 7x + 2 y ? 1 = 0 14 x + 4 y ? 2 = 0 7x + 2 y ? 1 = 0

解: (1)
(2)

Q

3? 2 1 ?7 = ≠ 1 3 + 2 ?6

∴ l1 与 l2 平行 .

(3)

l1 : 3x + 5 y ? 1 = 0
l2 : 4 x + 3 y = 5

3 5 解: Q ≠ 4 3

∴ l1 与 l2 相交 .
3x + 5 y ? 1 = 0
4x + 3y = 5

?x = 2 , ? ? ? y = ?1 .

∴ l1 与 l2 的交点 是 (2 , 1) . ?

例 、等腰直角三角形ABC的直角顶点C与顶点B 3 所在直线为 x + 3y ? 6 = 0, 顶点A(1,?2),求C点坐标。 2
解: AC ⊥ BC,且l BC : 2 x + 3 y ? 6 = 0 Q
∴ 设l AC : 3 x ? 2 y + m = 0

y
B 2
C 3
A?

将A点坐标代入得m = ?7

所以AC方程为:x ? 2 y ? 7 = 0 3
30 ? x= ? ?2 x + 3 y ? 6 = 0 解方程组? 得 ? 13 ? 3x ? 2 y ? 7 = 0 ? ?y = 6 ? 13 ?

0

B

x

30 6 ∴ C点坐标为( , ) 13 13

例3 若三条直线l1:x ? y = 0, l2:x + y ? 2 = 0,l3:x ? my ? 15 = 0 5

能构成一个三角形,求 m的取值范围。

解: ?x ? y = 0

?x = 1 ? ? ? 即l1与l2的交点为P( , 1 1 ) x+ y?2=0 y =1 ? ?

若 l3 ∥ l1 ,则 5 = 1 ,即 m = 5 . m 若 l3 ∥ l2 , 则 5 = ?1 , m = ?5 . 即 m 若 l3 经过点 P( , , 5 × 1 ? m × 1 ? 15 = 0 , m = ?10 . 1 1 则 ) 即

显然以上任意一种情况均不能构成三角形。
∴ l1、l2、l3能构成?的m的取值范围是

m ≠ 5且m ≠ ?5且m ≠ ?10 .

( 例 : m ∈ R,求证直线(m + 1)x ? 2m ? 1)y + 5m ? 4 = 0 4设 恒过一定点,并求出这个定点的坐标。

取 得 3 解: m = ?1, l1: y ? 9 = 0 即 y = 3

取 m = 1 , 得 l2: x ? y + 1 = 0 2 ?y = 3 ? y = 3,x = 1 解方程组 ? ?2 x ? y + 1 = 0
将点P( , 13 )代入直线(m + 1) x ? 2m ? 1 y + 5m ? 4 = 0 ( )

(m + 1) ? 1 ? 2m ? 1 ? 3 + 5m ? 4 = m + 1 ? 6m + 3 + 5m ? 4 = 0 ( )
∴点P( , 1 3)在直线(m + 1) x ? 2m ? 1 y + 5m ? 4 = 0上, ( ) 即直线过定点,这个定点坐标为( , )。 13

( ( ) 另解:m + 1) x ? 2m ? 1 y + 5m ? 4 = 0

? m(x ? 2 y + 5) + x + y ? 4 = 0
Q m∈R, 上式恒成立

?x ? 2 y + 5 = 0 ?x = 1 ∴? ?? ?x + y ? 4 = 0 ?y = 3
∴ 直线(m + 1) x ? 2m ? 1 y + 5m ? 4 = 0恒过定点( , ( ) 13 )。 经过直线l1: A1x+B1 y +C1=0和l2: A2x+B2 y+C2=0 经过直线 和
的交点的所有直线是

A1x+B1 y +C1+m( A2x+B2 y+C2)=0 (不包括A2x+B2 y+C2=0) 不包括

例1变式 求经过直线l1: x-2 y +2=0 变式 与l2: 2x- y -2=0的交点且与直线 的交点且与直线 3x+y -1=0平行的直线 的方程 平行的直线l的方程 平行的直线 的方程.
解方程组 ? x ? 2 y + 2 = 0 , 解: . ? ?2 x ? y ? 2 = 0 ,



?x = 2 , ∴ l1 与 l2 的交点 是 (2 ,) . 2 ? ?y = 2 .

设直线l的方程为 设直线 的方程为3x-+y +c=0, (2,2)代入上式, 代入上式, 代入上式

可得所求直线方程为 3 x+y ? 8 = 0 .

例1变式 求经过直线 1: x-2 y +2=0 变式 求经过直线l 与l2: 2x- y -2=0的交点且与直线 的交点且与直线 3x+y -1=0平行的直线 的方程 平行的直线l的方程 + 平行的直线 的方程.
设经过这两条直线交点的直线方程为: 解:设经过这两条直线交点的直线方程为:

. x-2 y +2+m( 2x- y –2)=0. +

2m + 1 ? (m + 2) = 因直线l与直线 平行, 因直线 与直线3x-+y -1=0平行, 平行 ∴ 3 1 7 故(2m+1)=- =-3(m+2) 得m= ? =- 5 代入( 代入(*)

(2m+1)x-(m+2)y+2-2m=0 (*) -

可得所求直线方程为 3 x+y ? 8 = 0 .

2 练习、求经过直线 x + 3y +1 = 0和x ?3y + 4 = 0的交点, 并且垂直于 x + 4y ? 7 = 0的直线方程。 3

解(方法一)

5 ? ?x = ? 3 ?2 x + 3 y + 1 = 0 方程组? 的解为 ? ? x ? 3y + 4 = 0 ? ?y = 7 ? 9 ?

设所求方程为4 x ? 3 y + m = 0
5 7 点(? , )在直线上得m = 9 3 9
所以所求直线方程为: 4 x ? 3 y + 9 = 0

2 练习、求经过直线 x + 3y +1 = 0和x ?3y + 4 = 0的交点, 并且垂直于 x + 4y ? 7 = 0的直线方程。 3

解(方法二)
设P0 ( x0 , y0 )是已知两直线的交点 则方程(2 x + 3 y + 1) + λ ( x ? 3 y + 4) = 0表示过P0点的直线

? (2 + λ ) x + (3 ? 3λ ) y + 1 + 4λ = 0
4 Q 所求直线斜率为 3

2+λ 4 ∴? = ?λ =2 3 ? 3λ 3

所以所求直线方程为 : 4 x ? 3 y + 9 = 0

作业: 作业:
1. P55 练 习:1,2(书上) , (书上) 2. P59 11 ,12. 3. 三维设计 三维设计7.3 第三课时


赞助商链接

更多相关文章:
两条直线位置关系
两条直线位置关系_高二数学_数学_高中教育_教育专区。直线的教案11.3 两条直线位置关系一、教学内容分析 本小节的内容大致可以分为两部分: 一是两条直线的交点、...
两条直线的位置关系_图文
11.3 两条直线位置关系(1)理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解,会求两条相交直线的 交点,掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合...
直线方程与两条直线的位置关系
直线方程与两条直线的位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。中国教育培训...5、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。 6、掌握两点间的距离公式...
两条直线的位置关系(交点)
两条直线的位置关系 夹角 23页 免费 2.1两条直线的交点课件(苏... 11页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进...
专题二 两条直线的位置关系
专题二 两条直线的位置关系_高一数学_数学_高中教育_教育专区。西海岸培训 2016...2.两条直线的交点 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 ...
两条直线的位置关系(含答案)
两直线的位置关系【知识清单】 : 1.两条直线位置关系的判定 位置关系 从斜率...填空题时,建议多用比例式来解答. A2 B2 C 2 2.两条直线的交点的求法: ?...
高二数学两条直线位置关系
11.3 两条直线位置关系上海市控江中学 王蕙萱 一、教学内容分析 本小节的内容大致可以分为两部分:一是两条直线的交点位置关系;二是两条直线的 夹角.预计需要...
两条直线的位置关系知识点梳理及其典型练习题讲解
两条直线的位置关系知识点梳理及其典型练习题讲解_数学_高中教育_教育专区。本文...(二) 、直线相交 1、两条直线的交点坐标:解两条直线的方程所组成的方程组,...
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系【知识梳理】 1.两条直线的位置关系 斜截式 方程 相交 y...两条直线的交点两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=...
第2讲 两条直线的位置关系
两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条...=6×(m-2),即 m=3 时, l1 与 l2 重合. 考向二 两直线的交点 【例 ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图