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4.1.1圆的标准方程



4.1.1 圆的标准方程

教学目标
知识与技能:
1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆 的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法:
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力, 渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问 题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解 决问题的能力。

情感态度与价值观:
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发 学生学习数学的热情和兴趣。

教学重难点
重点:
圆的标准方程

难点:
会根据不同的已知条件,利用数形结合法与 待定系数法求圆的标准方程。

在平面直角坐标系中,如何确定一条

直线? 两点确定一条直线
一点和倾斜角也能确定一条直线

思考:
在平面直角坐标系中,如何确定一个

圆呢?

圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的 集合(轨迹)是圆。

圆,圆盘,圆环区别
一个圆最基本要素是? 圆心和半径。
O

M

如图,在直角坐标系中,圆心(点)A 的位置用坐标(a,b)表示,半径的大小等 于r ,求该圆的方程。 y 求曲线方程的 一般步骤是?
r
A (a,b) O

M (x, y)

x

解: [建系设点] 设圆上任意点M坐标为(x,y)

[列式] [坐标表示]
[化简] [验证]

由题意知 | MA |? r
由两点间的距离公式得
y 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆上点的坐标都适合方程; x O 适合方程的点都在圆上。

( x ? a) ? ( y ? b) ? r A (a,b)

( x , y ) M 上式两边平方得 r

圆的标准方程: 我们把方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

称为圆心为A(a, b),半径长为r 的 圆的标准方程。 2 2 注:1、圆的标准方

( x ? a) ? ( y ? b) ? r

2

程明确的给出了圆心 坐标与半径; 圆心A(a,b),半径 r 2、确定圆的标准方程必须具备三个独立条 件,即a、b、r .

特殊位置的圆的方程: 思考1:圆心在坐标原点,半径长为r 的 圆的方程是什么?

x ?y ?r
2 2

2

思考2:圆心在坐标原点,半径长为1 的 圆称为单位圆,则单位圆的方程是什么?

x ? y ?1
2 2

练习(口答):说出下列圆的方程的圆心和半径 圆的方程 圆心
2

半径

( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2

(3,1)
( ?3,1)
( ? 3, ? 2)

2
5

( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

1
2
2 2

x ? y ?4
2 2

(0, 0)
2

( x ? a) ? ( y ? b) ? 8
2

( a, ? b )

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? ?3
2 2

不是圆的方程

例1:写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长等于5

的圆的方程,并判断 M1 (5, ?7), M2 ( ? 5, ?1) 是否在圆上。

例1:写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长等于5
圆内还是圆外?

的圆的方程,并判断 M1 (5, ?7), M2 ( ? 5, ?1) 是否在圆上。 解:圆心是A(2,-3),半径长等于5的圆 2 2 的标准方程是 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 25.

把点M1 ? 5, ?7?的坐标代入方程中左右两边相等,

点M1的坐标适合圆的方程,所以点M1在这个圆上;

把点M 2 ? 5, ? 1 的坐标代入方程中左右两边不相等,

?

?

点M2的坐标不适合圆的方程,所以点M2不在这个圆上。

点与圆的位置关系:

点M0(x0,y0)分别在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、 内、外的条件是什么? (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2

点M0在圆上
点M0在圆内 点M0在圆外

(x0-a)2+(y0-b)2>r2

? ( y ? b) ? r 解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 法 2 2 2 ? a ? 2, 待 ?(5 ? a) ? (1 ? b ) ? r ? ? 2 2 2 定 ?(7 ? a) ? ( ?3 ? b ) ? r ? ? b ? ? 3, 系 ?(2 ? a)2 ? ( ?8 ? b )2 ? r 2 ? r 2 ? 25. ? ? 数 法 所以,△ABC的外接圆的方程为: 2 2 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

例2 △ABC的三个顶点的坐标分别 A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的 消 外接圆的方程。 元

2

例3:已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2), 圆心C在直线l: x-y+1=0上,求 圆心为C的圆的标准方程.

数 形 结 合 法

y

l

A
O x

C

B

例3:已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2), 圆心C在直线l: x-y+1=0上,求 圆心为C的圆的标准方程. 解2:设圆C的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

待 定 系 数 法

?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ?(1 ? a ) ? (1 ? b ) ? r ? ? b ? ?2 ?(2 ? a ) 2 ? ( ?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?

?圆心为C的圆的标准方程为 (x+3) ? ( y ? 2) ? 25.
2 2

例2(解法二) y

数 形 结 合 法

A(5,1)

O
D

x
B(7,-3)

待 定 系 数 法

C(2,-8)

圆心:两条弦的中 垂线的交点D

半径:圆心到圆 上一点距离 DA

课本P120练习1、2、3

圆的基本要素 圆的标准方程 点与圆的位置关系

求 曲 线 方 程 的 方 法

待 定 系 数 法

数 形 结 合 法

1、利用数形结合法与待定系数法求
课本P119 例2, P121 练习4; 2、预习4.1.2圆的一般方程。



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