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福建省2013届高考文科数学模拟试题


福建省 2013 届高三文科数学试题(1)
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 。 1、设复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( ) A、 2 ? i B、 1 ? 2i C、 ?1 ? 2i ) D.(-1,0) D、 ?1 ? 2i

2、设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( A. (0,1) B. (1,2) C.(-2,-1)

3、集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 A ? B 等于





A、 {x | 0 ? x ? 1}

B、 {x |1 ? x ? 2}

C、 {x |1 ? x ? 2}

D、 {x | 0 ? x ? 1}
)

? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知向量 a , b 满足 | a |? 1, | b |? 2 , a ? b ? 1 ,则 a 与 b 的夹角为 (
A、

? 3

B、

3? 4

C、

? 4

D、

? 6

5.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 , an?1 ? 17, (n ? 2) , S n ? 100,则 n 的值为 A. 8 B. 9 C. 10 D.11

6.已知 A 是三角形 ABC 的内角,则“ cos A ? A.充分不必要条件 C.充要条件

1 3 ”是“ sin A ? ”的 2 2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 7. 已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则 M=loga ,N=logab,P=logb ,则这三个数的大小关系 b b 为( ) A.P<N<M B.N<P<M C.N<M<P D.P<M<N ) B. l ? ? , ? ? ? ? l ∥ ? D. ? ∥ ? ,l ? ? ? l ? ?

8.已知 m , n , l 为三条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n C. m ? ? , m ? n ? n // ? 9.某同学设计右面的程序框图用以计算和式

12 ? 22 ? 32 ? ? ? 202 的值,则在判断框中应填写
A. i ? 19 C. i ? 20 B. i ? 19 D. i ? 21

?x ? y ? 3 ? 0 ? 10.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , ?y ?1 ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值为 A. ?1 B. 0 C. 3 D. 4

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?1, x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,则使方程 x ? f ( x) ? m 有解的实数 m 的取值范围是( ) ?x ,x ? 0 ?
A. (1,2) B. (??, ?2] C. (??,1) ? (2, ??) D. (??,1] ? [2, ??)

12.椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c,0) ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 2 2 a b


的两个实根分别为 x1 , x 2 则点 P( x1 , x 2 ) 位置( A.必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 外

B.必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情况都有可能 ks5u

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 1 的导函数为偶函数,则 a ? .

14.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为______. 15.一个空间几何体的三视图(单位: cm ) 如图所示,则该几何体的体积为_______ cm 3 . 16.记 Sk ? 1k ? 2k ? 3k ? ??? ? nk , 当 k ? 1, 2, 3, ? ? ? 时, 观察下列等式: S1 ? 1 n2 ? 1 n , 2 2 1 n3 ? 1 n 2 ? 1 n , S2 ? 3 2 6 1 n 4 ? 1 n3 ? 1 n 2 , S3 ? 4 2 4 1 n5 ? 1 n4 ? 1 n3 ? 1 n , S4 ? 5 2 3 30 6 1 n5 ? 5 n4 ? Bn2 , ??? S5 ? An ? 2 12 可以推测, A ? B ? .

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 cos2 x (Ⅰ )求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ )求函数 f (x) 的单调递增区间,并写出对称轴方程.

?x ? R ? 。

18. (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a4 ? 16 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 * , n ? N ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 log 2 an ? log 2 an ?1
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19. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,向量

? ? ? ? m ? (cos A, sin A), n ? ( 2 ? sin A, cos A) ,若 | m ? n |? 2.
(1)求角的大小; (2)若 b ? 4 2 且 c ? 2a ,求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 在几何体 ABCDE 中, BAC= ∠ F 是 BC 的中点,AB=AC=BE=2,CD=1 (Ⅰ )求证:DC∥ 平面 ABE; (Ⅱ )求证:AF⊥ 平面 BCDE; (Ⅲ )求证:平面 AFD⊥ 平面 AFE.

? , DC⊥ 平面 ABC, EB⊥ 平面 ABC, 2
E D F C A B

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 ,椭圆 C 上 a2 b2

任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求直线

l 的方程.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ?x? ? x ln x. (1)求函数 f ?x ? 的极值点; (2)若直线 l 过点(0,—1) ,并且与曲线 y ? f ?x ? 相切,求直线 l 的方程; (3)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? a?x ? 1? ,其中 a ? R ,求函数 g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数)

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福建省 2013 届高三文科数学试题(2)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={2,3,4,5},N={3,4,5},则 M∩N=( A.{2,3,4,5} B.{2,3,4} C.{3,4,5} ) D.{3,4} ) D.(-1,0)

2.设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( A. (0,1) B. (1,2) C.(-2,-1)

3. 已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ?1 ? 0 与直线 l2 : 6x ? my ? 5 ? 0 相互垂直,则实数 m 的值为 ( ) A.9 B.—9 C.4 D.—4

4.如图是某学生的 8 次地理单元考试成绩的茎叶图, 则这组数据的中位数和平均数分别 是( ) A.83 和 85 C.82 和 84 5. 下图给出的是计算 S ? 填入的条件是( A. i ? 100? C. i ? 50 ? ) B. i ? 100? D. i ? 50 ? B.83 和 84 D.85 和 85

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个程序框图,其中判断框内应 2 4 6 100

b 6.已知 a =(2,1), a ? ? 10 , a ? b ? 5 2 ,则 b ? (
A. 5 B. 10 ) C.5

?

? ?

?

?

?

) D.25
[来源:学科网 ZXXK]

7.下列命题中,正确的是(

A.直线 l⊥平面 α,平面 β∥直线 l,则 α⊥β

B.平面 α⊥β,直线 m⊥β,则 m∥α

C.直线 l 是平面 α 的一条斜线,且 l?β,则 α 与 β 必不垂直 D.一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行 1 1 8. 已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则 M=loga ,N=logab,P=logb ,则这三个数的大小 b b 关系为( ) A.P<N<M B.N<P<M C.N<M<P D.P<M<N )

22π 9.若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S11= ,则 tana6=( 3
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A. 3

B.- 3

C.± 3

D.-

3 3

π 10.函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的部分图象如图所示,则该函数表 2 达式为( ) π π B.y=2sin( x- ) 6 3 π π D.y=2sin( x+ )+1 6 3

π π A.y=2sin( x- )+1 3 6 π π C.y=2sin( x+ )+1 3 6 (

11. 不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是 )

12.定义域为[a,b]的函数 y =f(x)图象的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f(x)图象上任意 → → → → 一点, 其中 x=λa+(1-λ)b, λ∈[0,1]. 已知向量ON=λOA+(1-λ)OB, 若不等式|MN|≤k 1 恒成立,则称函数 f(x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 y=x- 在[1,2]上“k 阶线 x 性近似”,则实数 k 的取值范围为( A.[0,+∞) ∞) B.[ 1 ,+∞) 12 ) 3 C.[ + 2,+∞) 2 3 D.[ - 2,+ 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位 置. 13.若 i 为虚数单位,则复数

3?i =________. 1? i

x2 y2 14.若抛物线 y2 =2px 的焦点与双曲线 - =1 的右焦点重合,则实数 p 的值为 6 3 ________. 15.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A∶B=1∶2,且 a∶b=1∶ 3,则 cos2B 的值是________. 1 1 1 1 1 3 1 1 1 16. 有下列各 式:1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,?,则按此规 2 3 2 3 7 2 2 3 15

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律可猜想此类不等式的一般形式为

(n∈N*).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N*). 3 (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m =( 3sinx,cosx), n =(cosx,cosx), p =(2 3,1). (1)若 m / / p ,求 m ? n 的值;

??

?

??

??

? ?

?? ?

(2)若角 x ? (0,

?
3

?? ? ] ,求函数 f(x)= m ? n 的值域.

19.(本小题满分 12 分) 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得 到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分 布直方图如下: 分组 频数 10 24
[来源:学科网]

频率 0.25 a

频率/组距

[10,15) [15, 20) [20, 25) [25,30)
合计

n
p
0.05 1
0 10 15 20 25 30 次数

m
2

M

(Ⅰ)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间

[10, 15) 内的人数;
(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生 中任选 2 人, 求至多一人参加社区服务次数在区间 [25, 30) 内的概 率. 20.(本小题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 A— BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的 中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积.
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21.(本小题满分 12 分) x2 y2 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,|PF1| a b 4 = , 3 |PF2|= 14 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A,B 两点,且 A,B 关于 点 M 对称,求直线 l 的方程.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax+lnx(a∈R). (1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的斜率; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=x2-2x+2,若对任意 x1∈(0,+∞),均存在 x2∈[0,1],使得 f(x1)<g(x2), 求 a 的取值范围.

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福建省 2013 届高三文科数学试题(3)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 7 中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4},集合 B={3,5},则 B ? CU A ? A.{5} B.{1,2,3,4,5} C.{1,3,5} D. ?

2.i 是虚数单位,则复数 z ? i (1 ? i ) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 3.下列命题中,真命题的个数有 ① ?x ? R, x ? x ? C.第三象限 D.第四象限

1 ? 0; 4

② ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ③函数 y ? log 1 x 是定义域内的单调递减函数
2

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

4.若 g ( x) ? f ( x)sin x 是周期为π 的奇函数,则 f ( x) 可以是 A. cos 2x B. cos x C. sin x D. sin 2x

5.已知各项均为正数的等比数列 {an } , a1a2 ? 5, a7 a8 ? 10, 则a4 a5 = 中 A. 4 2
x 6.函数 f ( x ) ? e ?

B.6

C.7

D. 5 2

2 的零点一定位于区间 x
B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

A. (0,1)

7.已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,若 m ? ? , n ? ? ,则下列命题 为真命题的是 A.若 m ? ? , m ? n, 则n / /? C.若 m / /? , n / /? , 则? / / ? 8.向量 a, b满足 | b |? 1,| a ? b |? B.若 m ? ? , n ? ? , 则n ? m D.若 ? ? ? , n ? ? , 则m ? ?

? ?

?

?

?

? 3 ? ? , a与b 的夹角为 60°,则 | a | = 2
C.

A.

1 5

B.

1 4

1 3

D.

1 2

9.我们将底面是正方形,侧棱长都相等的棱锥称为正四棱锥。已知由两个完全相同的正四
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棱锥组合而成的空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都相同,且如右图所示,视图中 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为 A. 2 B.

2 2

C.

2 3

D.

2 4

10.已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. y ? 3sin(2 x ? B. y ? 3sin(4 x ? C. y ? 3sin(2 x ? D. y ? 3sin(4 x ?

?
2

) 的图象如图所示,则其表达式为

? ?
?
3

) ) ) )

3

?

3 3

11.若关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? a 2 ? ab ? 4 ? 0 恰有一个解,则 a 2 ? b 2 的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.8

12.定义在 R 上的函数 y ? f ( x)满足f (3 ? x) ? f ( x), ( x ? ) f ?( x) ? 0( x ?

3 2

3 ) ,若 2

x1 ? x 2, 且x 1 x ? 3 ,则有 ? 2
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ), f ( x2 ) 的大小不确定

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.在等差数列 {an } , a2 ? a8 ? 10, 则S9 的值为 中 。

14.已知圆锥的轴截面(过旋转轴的截面)是等边三角形,则沿母线展开所得扇形的圆心角 是 。

?x ? y ? 4 ? 15.当 x,y 满足不等式组 ? x ? 4 ? y 时,点(4,8)为目标函数 z ? ax ? 2 y(a ? 0) 取得 ?x ? 4 ?
最大值时的唯一最优解,则实数 a 的取值范围是
*



16.把数列 {2n ? 1}(n ? N ) ,依次按第 1 个括号一个数,第 2 个括号两个数,第 3 个括号 三个数,第 4 个括号四个数,第 5 个括号一个数,?,循环为(3)(5,7)(9,11, , , 13)(15,17,19,21)(23)(25,27)(29,31,33)(35,37,39,41)(43) , , , , , , ,?, 则 2013 是第 个括号内的数。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, cos A ?
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10 5 , cos B ? . 10 5

(1)求 cos( A ? B) 的值; (2)若 b ? 4 ,求△ABC 的面积。 18.已知等比数列 {an } 的前n项和为Sn ? 2n ? c. (1)求 c 的值并求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? n ? an , 求数列 bn }的前n项和Tn . {

19.已知 a ? ( x,1), b ? ( x ? 2, ?2), 且f ( x) ? a ? b (1)当函数 f ( x) 取得最小值时,求向量 a, b 夹角的余弦值; (2)若函数 f ( x)在区间(m, m ? 1) 上是单调函数,求实数 m 的取值范围。 20.如图,正方形 ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=3,AB=5。 (1)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE; (2)求三棱锥 E—ABD 的体积。

?

?

? ?
? ?

21.某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改 造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值 y 万元与技术改造投入 x 万元之 间的关系满足: ①y 与 2a ? x和x ? a 的乘积成正比;② x ?

3a 时, y ? a 2 ;③ y ? 0. 2

(I)设 y ? f ( x), 求f ( x)表达式, 并求y ? f ( x) 的定义域; (II) 求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值, 并求出此时的技术改造投入。 22.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d (b ? 0)在x ? 0 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ;
3 2

(1)求实数 c,d 的值; (2)若对任意 x ? [1, 2], 均存在t ? (0,1], 使得et ? ln t ? 4 ? f ( x) ? 2 x ,试求实数 b 的取值范围。

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福建省 2013 届高三文科数学试题(4)
一、选择题(每小题5分,共 60 分)
1、已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? ( A. {0} B. {0,4} C. {2,4} D. {0,2,4} )

2、给出如下四个命题: ①命题“若 a ? b, 则2 a ? 2b ? 1”的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”;
a b

②若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ③“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ” ; ④ ?ABC 中,“ sin A ?

? 3 ”是“ A ? ”的充分不必要条件. 3 2

其中不正确的命题的个数是 ( ) ... A.4 B.3 C. 2 D. 1 3、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 x 值是 ( A.8 B.6 C.4 D.3 4、若直线 l ∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 ( A. l ∥ a B. l 与 a 异面 C. l 与 a 相交





(第 3 题)

D. l 与 a 没有公共点 ( )

5、在△ABC 中, AB ? 2 BC ? 2 , ?A ?

?
6

,则△ABC 的面积为

A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D. 3 )

6、已知等比数列{an}的前 n 项和 S n A. ? 2 B.0 或 ? 2

? t ? 2n?1 ? 1 ,则 t 的值为(
C. 2 D.

7、如图三棱锥 V ? ABC ,底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直 且 VA ? VC ,已知其正视图的面积为

1 2

V ) A
V

2 ,则其左视图的面积为 ( 3

C B (第 7 题)


A.

3 2

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 6

8、已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题中假命题的是 ( ... A.若 m ? ? , m ? ? 则 ? //? B.若 m//n, m ? ? , 则 n ? ?

)

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C.若 m//? , ? ? ? ? n, 则 m //n

D.若 m ? ? , m ? ? 则 ? ? ?

9、从{1,3,5,7}中随机选取一个数为 m ,从{1,2,4}中随机选取一个数为 n ,则 n ? m 的概率是 ( ) A.

3 4

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

10、函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 | ? |?

?
2

)的图象如图所示,为了得到 y ? sin ?x 的图

象,只需把 y ? f (x) 的图象上所有点(

)个单位长度.

A.向右平移

? 6

B.向右平移

? 12

C.向左平移

? 6

D.向左平移

? 12

(第 10 题) (第 11 题) 11、如上图是甲、乙两个学生的 8 次数学单元考试成绩的茎叶图.现有如下结论: ① X 甲=X 乙 ; ②乙的成绩较稳定; ③甲的中位数为 83; ④乙的众数为 80. 则正确的结论的序号是( ) A.①②③ B.②③④

C.①②④

D.①③④

12 、 对 于 定 义 域 为 D 的 函 数 f ?x ? , 若 存 在 区 间 M ? ?a, b? ? D?a < b ? , 使 得

?y y ? f ?x?, x ? M ?? M ,则称区间 M 为函数 f ?x ? 的“等值区间”.给出下列四个函数:
① f ?x ? ? 2 x ; ② f ?x ? ? x ;
3

③ f ?x ? ? sin x; ) D.4 个

④ f ?x ? ? log2 x ? 1.

则存在“等值区间”的函数的个数是( A.1 个 B.2 个 C.3 个

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、某厂为了检查一条流水线的生产情况,随机抽取该流水线 上 40 件产品,逐一称出它们的重量(单位:克) ,经数据处理
后作出了如图所示的样本频率分布直方图.那么,根据频率分 布直图,样本中重量超过 505 克的产品数量应为 件. * 14、已知数列{an}(n∈N )满足

? n(n ? 1,2,3,4,5,6) an ? ? * ,则 a2 012 =_ ?? a n?6 (n ? 7, n ? N )

.

15、已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如右图所示,

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f ?( ?3) ? f ?(1)



16、设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) 成立,且

?1? 当 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ? ? ? 1 .若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 (a ? 1) 在 ?2?
6 区 间 ( 0 , 内 ]恰 有 两 个 不 同 实 根 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 .

x

三、解答题(共 74 分)
2 17、已知函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2 cos ? x , (其中 0 ? ? ? 1 ) ,若点 (?

?
6

,1)

是 函数 f ( x) 图象的一个对称中心. (Ⅰ)试求 ? 的值; (Ⅱ)当 x ? [?? , ? ] 时,先列表再作出函数 f ( x) 在区间上的图象,并求出值域.

18、圆锥 PO 如图 1 所示,图 2 是它的正(主)视图.已知圆 O 的直径为 AB , C 是圆周上 P 异于 A 、 B 的一点, D 为 AC 的中点. (Ⅰ) 求该圆锥的侧面积 S ; (Ⅱ) 求证:平面 PAC ? 平面 POD ;
(Ⅲ) 若 ?CAB ? 60 ,
?

求三棱锥 A ? PBC 的体积. A
D

2
O C 图1 B

2
图2

19、一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车, 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如
表所示(单位:辆), 若按 A, B, C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆, 则 A 类轿车有 10 辆. 轿车 A 轿车 B 轿车 C (Ⅰ)求 z 的值; 100 150 z 舒适型 (Ⅱ)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车 300 450 600 标准型 中抽取 8 辆, 经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2 ,把这 8 辆轿车的得分看作一个总体, 从中任取一个分数 a .记这 8 辆轿车的得分的平均数为 x ,定义事件

E ? { a ? x ? 0.5 ,且函数 f ? x ? ? ax 2 ? ax ? 2.31 没有零点},求事件 E 发生的概
率.
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20、在等差数列 {an } 中, a2

? a7 ? ?23 , a3 ? a8 ? ?29 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an ? bn } 是首项为 1 ,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

21、如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 面 ABC , AC ? BC ,

A1 C1 E B1

E 、F 分别在线段 B1C1 和 AC 上,B1E ? 3EC1 ,AC ? BC ? CC1 ? 4 .
(Ⅰ)求证: BC ? AC1 ; (Ⅱ)若 F 为线段 AC 的中点,求三棱锥 A ? C1EF 的体积; (Ⅲ)试探究满足 EF / / 平面 A ABB1 的点 F 的位置,并给出证明. 1

A B

C

22、设函数 f ( x) ?

a ? x ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g( x1 ) ? g( x2 ) ? M 成立,求满足条件的最大整数

M;
(Ⅲ)如果对任意的 s, t ? ?1,2? ,都有 f ( s ) ? g( t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

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福建省 2013 届高三文科数学试题(5)

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , A ? {1, 2,3} , B ? {0, 2} ,则 A ? (? B) 等于 U A. ?1,2,3,4? B. ?0,1,2,3? C. ?1, 2? D. ?1,3?

2.命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 B. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0

3. 若直线 l : x ? y ? a ? 0 经过圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心, a 的值为 则 A. ?1 B. 1 C. ?2 D. 2

4.阅读如图所示的程序框图,执行框图所表达的算法,则输出的结果是 A. 2 B. 6 C. 24 D. 48

n 5.若直线 l 与幂函数 y ? x 的图象相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方程为

A. 12 x ? y ? 16 ? 0 C. 12 x ? y ? 16 ? 0

B. 4 x ? y ? 0 D. 6 x ? y ? 4 ? 0

6. 函数 f ( x) ? sin x 的图象向左平移 A. x ? ?

?
4

? 个单位后,所得图象的一条对称轴是 4 ? ? 3? B. x ? C. x ? D. x ? 4 2 4

x2 y 2 x2 ? y 2 ? 1 的两个顶点,且 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两个焦点恰为椭圆 4 a b
离心率为 2,则该双曲线的标准方程为

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A. x ?
2

y2 ?1 3

B.

x2 y 2 ? ?1 4 12

C.

x2 ? y2 ? 1 3

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

8.某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示,则该几何体的表面积为 A. 20 ? 4 2 B. 24 C. 24 ? 4 2 D. 28

9.已知单位向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b)2 ( x ? R ) A. 既是奇函数又是偶函数 C. 是偶函数 10.给出以下四个说法: ①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每间隔 20 分钟抽取一件产品 进行某项指标的检测 ,这样的抽样是分层抽样; ②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R 的值越大,说明拟合的效果越好;
2

B. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 是奇函数

? ? ③在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平
均增加 0.2 个单位; ④对分类变量 X 与 Y ,若它们的随机变量 K 的观测值 k 越小,则判断“ X 与 Y 有关 系”的把握程度越大. 其中正确的说法是 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
2

11. 对于定义域为 R 的函数 f ( x ) , 若存在非零实数 x0 , 使函数 f ( x ) 在 (??, x0 ) 和 ( x0 , ??) 上均有零点,则称 x0 为函数 f ( x ) 的一个“界点” .则下列四个函数中,不存在“界点” 的是 A. f ( x) ? x2 ? bx ?1(b ?R) C. f ( x) ? 2 ? x ?1 B. f ( x) ? 2x ? x 2 D. f ( x) ? sin x ? x

12.我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前 5-6 世纪)提出了一条原理: “幂势既同,则积不容 异. ”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面 的任何平面所截, 如果截得的两个截面的面积总是相等, 那么这两个几何体的体积相等.
2 设:由曲线 x ? 4 y 和直线 x ? 4 , y ? 0 所围成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到

的旋转体为 ?1 ; 由同时满足 x ? 0 ,x ? y ? 16 ,x ? ( y ? 2) ? 4 ,x ? ( y ? 2) ? 4
2 2 2 2 2 2

第 16 页 共 19 页

的点 ( x, y ) 构成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ?2 .根据祖暅原理等知 识,通过考察 ?2 可以得到 ?1 的体积为 A. 16? B. 32? C. 64? D. 128?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置. 13.已知 (a ? i)i ? ?1 ? 2i ( a ? R , i 是虚数单位) ,则 a 的值为

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3, ?
2 2



15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 sin A ? sin B ? 2sin B ? sin C ,

c ? 3b ,则角 A 的值为



2 16.利用计算机随机模拟方法计算 y ? x 与 y ? 4 所围成的区域 ? 的面积时,可以先运行

以下算法步骤: 第一步:利用计算机产生两个在 0 ? 1 区间内的均匀随机数 a , b ;

第二步:对随机数 a , b 实施变换: ?

?a1 ? 4 ? a ? 2, 得到点 A ? a1 , b1 ? ; ? b1 ? 4b,

2 第三步:判断点 A ? a1 , b1 ? 的坐标是否满足 b1 ? a1 ; 2 第四步:累计所产生的点 A 的个数 m ,及满足 b1 ? a1 的点 A 的个数 n ;

第五步:判断 m 是否小于 M (一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出 n 并 终止算法. 若设定的 M ? 100 ,且输出的 n ? 34 ,则据此用随机模拟方法可以估计出区域 ? 的面 积为 (保留小数点后两位数字) . 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a3 ? 3 , a1 ? a4 ? 5 .

第 17 页 共 19 页

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? an ?1

18.(本小题满分 12 分) 为了解某社区家庭的月均用水量(单位:吨) ,现从该社区随机抽查 100 户,获得每户 某年的月均用水量,并制作了频率分布表和频率分布直方图(如图). (Ⅰ)分别求出频率分布表中 a、 b 的值,并估计该社区家庭月均用水量不超过 3 吨的 频率; (Ⅱ)设 A 、 A2 、 A3 是户月均用水量为 [0, 2) 的居民代表, B1 、 B2 是户月均用水量 1 为 [2, 4] 的居民代表. 现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会,请列举 出所有不同的选法,并求居民代表 B1 、 B2 至少有一人被选中的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ,焦点 F 在 y 轴上,准线 l 与 圆 x ? y ? 1相切.
2 2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若点 A、B 在抛物线 C 上,且 FB ? 2OA ,求点 A 的坐标.

??? ?

??? ?

第 18 页 共 19 页

20.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,称向量 OM ? (a, b) 为函数

???? ?

???? ? f ( x) 的伴随向量,同时称函数 f ( x) 为向量 OM 的伴随函数.
(Ⅰ)设函数 g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ?

? 2

???? ? ?? ? ? x ? ,试求 g ( x) 的伴随向量 OM 的模; ?2 ?

(Ⅱ) ON ? (1, 3) 的伴随函数为 h( x) , 记 求使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, 恒有两个不相等实数解的实数 t 的取值范围.

????

?
2

]内

21.(本小题满分 12 分) 如图, E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A 、 B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该 半圆所在的平面,且 AB ? 2 AD ? 2 . (Ⅰ)求证: EA ? EC ; (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F . ①试证: EF / / AB ; ②若 EF ? 1 ,求三棱锥 E ? ADF 的体积.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3e ? a ( e ? 2.71828 ?是自然对数的底数)的最小值为 3 .
x

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)已知 b ? R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 lnf ( x) ? ln3 ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b2 ; (Ⅲ)已知 m ? Z 且 m ? 1 .若存在实数 t ?[?1, ??) ,使得对任意的 x ? [1, m] ,都有

f ( x ? t ) ? 3ex ,试求 m 的最大值.

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