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3.1.1 变化率问题3.1.2导数的概念



第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

早在十七世纪,欧洲资本主义发展初期,由于工厂的 手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学 技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取 得了丰硕的成果——微积分的产生.

背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹,他们分别从 运动学和几

何学的角度来研究微积分.微积分靠着解析 几何的帮助,成为十七世纪最伟大的数学发现,此后, 微积分得到了广泛的应用. 例如,在军事上,战争中涉及炮弹的最远射程问 题,天文学上,行星与太阳的最近与最远距离问题等. 甚至连历法、农业都与微积分密切相关.更不用说在我 们的日常生活中所碰到的那些问题了.

你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 赛的瞬间已知起跳 . 1s后, 运动员相对于水面的高 度 h ? 单位 : m ? 可用函数 h ? t ? ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10表 示.如何求她在某时刻的 速 度 ? 她 距水面的最大 高度是多少 ?

1.了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其 内涵. 2.导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵.

(重点)

探究点1 变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发 现,随着气球内空气容量的增加,气球半径增加得越来 越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数 4 3 关系是 V (r ) ? ? r , 3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) ? 3 3V .
4?

3V 我们来分析一下: r (V ) ? 4?
3

当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L).
1? 0

当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)

气球的平均膨胀率为 r ( 2) ? r (1) ? 0.16(dm / L).
2 ?1
显然 0.62>0.16

思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均

膨胀率是多少? 解析: r(V2 )- r(V1 )
V2 - V1

问题2

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位: 米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

h

请计算0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时 的平均速度v .
o t

解:h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在0 ? t ? 0.5这段时间里, h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05( m / s ) . 0. 5 ? 0 在1 ? t ? 2这段时间里, h( 2) ? h(1) v? ? ?8.2( m / s ) . 2 ?1

思考:

并思考下面的问题:

65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49 h

65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
有什么问题吗?

o

(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态

t

在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映她在
这段时间里的运动状态.

平均变化率定义:
f (x2 ) ? f ( x1 ) 上述问题中的变化率可用式子 表示, x2 ? x1 我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.

若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1)
这里Δ x看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δ x代替x2 同样Δ y=f(x2)-f(x1)

?y f (x 2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

观察函数f(x)的图象
?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? 平均变化率 ?x x2 ? x1

y=f(x)
y f(x2) B

表示什么?

f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) x1
A

x2-x1=△x

直线AB的斜 率

O

x2 x

探究点2 导数的概念 在高台跳水运动中,平均速度不能反映她在这
段时间里的运动状态,需要用瞬时速度描述运动状 态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

又如何求 瞬时速度呢?

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h (t ) ? ? 4 .9 t 2 ? 6 .5 t ? 1 0
求:从2s到(2+△t)s这段时间内的平均速度.

?h 解:v ? ?t h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ? ?13.1 ? 4.9?t. ?t

当Δ t趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

△t<0时,在[2+△t,2 ] 这段时间内

△t>0时,在[2,2+△t] 这段时间内

v ? ? 4 .9 ? t ? 1 3 .1
当△t=–0.01时, v ? ? 1 3 .0 5 1

v ? ? 4 .9 ? t ? 1 3 .1
当△t = 0.01时, v ? ? 1 3 .1 4 9
当△t =0.001时, v

当△t=–0.001时,

v ? ?13.095 1 ? ?13.099 51 ? ?13.099 951

? ?13.104 9

当△t=–0.000 1时,v

当△t =0.000 1时, v

? ?13.100 49

当△t=–0.000 01时, v 当△t=–0.000 001时,v

当△t = 0.000 01时,v ? ?13.100 049

? ?13.099 995 1 当△t =0.000 001时,v ? ?13.100 004 9

??

……

从2s到(2+△t)s这段时间内的平均速度

?h v ? ? ? 13.1 ? 4.9 ? t ?t
当△t趋近于0时, 即无论t从小于2的一边, 还 是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一

个确定的值–13.1. 从物理的角度看, 时间间隔|△t|无限变小时,
平均速度

v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度.

因此,

运动员在t = 2时的瞬时速度是–13.1m/s.

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ? 13 . 1 ?t ? 0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度

v

趋近于确定值–13.1”.

瞬时速度
h(2 ? ?t ) ? h(2) 我们用 lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t

表示“当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确定 值-13.1”. 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速 度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到 瞬时速度的精确值.

探究:
1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?

h(t 0 ? ?t) ? h(t 0 ) lim ?t ?0 ?t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念: 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f (x0 ?Δ x)? f ( x0 ) ?y lim ? lim , ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ? x

我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,

记作 f ?( x 0 ) 或

y ? | x ? x0 , 即

f (x0 ? Δx ) ? f ( x0 ) Δy f ?( x0 ) ? lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

【提升总结】
1.f ?(x 0 )与x 0的值有关,不同的x 0其导数值一般也不相同. 2.f ?(x 0 )与?x的具体取值无关.

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.

由导数的定义可知, 求函数y=f(x)的导数的一 般方法: 1.求函数的改变量 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ). 2.求平均变化率 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) .
?x ?x

3.求值 f ?( x ) ? lim ? y . 0
?x ? 0

?x

一差、二比、三极限

解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ? (2)和 f ? (6 ).

根据导数的定义,
2 4 ? x ? ( ? x ) ? 7 ?x f (2 ? ?x ) ? f ( 2) ? ? ?x ? 3, ?x ?x ?y ? lim ? lim ( ? x ? 3) ? ? 3. 所以, f (2) ? ? x?0 ?x ?x ? 0

同理可得 f ? ( 6 ) ? 5 . 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率
分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度 大约以3 ? C /h的速率下降; 在第6h附近,原油温 度大约以5 ? C/h的速率上升.

1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 ?y 近一点B(-1+Δ x,-2+Δ y),则 =( D ) ?x A.3 B.3Δ x-(Δ x)2 C.3-(Δ x)2 D.3-Δ x
2.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) A.6+?t C.3+?t 9 B.6+ ?t+ ?t D.9+ ?t

3.求y=x2在x=x0附近的平均速度.
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ? 2 x0 ? ?x . 解: ?x ?x

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线,求出当 Δ x=0.1时割线的斜率. 解:
(1 ? ?x)3 ? 13 2 2 k? ? 3 ? 3?x ? (?x) ? 3 ? 3 ? 0.1 ? 0.1 ? 3.31. (1 ? ?x) ? 1

4 5.求函数y = 2 的导数 . x
解 4 4 4 4 ? ? ( x ? ?x ) 2 x 2 x 2 ? 2 x ? ?x ? ( ?x ) 2 x 2 lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x

4 x 2 ? 4 x 2 ? 8 x ? ?x ? 4( ?x )2 4 x 2 ? 4 x 2 ? 8 x ? ?x ? 4( ?x )2 ? lim 2 2 ? lim 2 ?x ? 0 x [ x ? 2 x ? ?x ? ( ?x ) ]?x ?x ? 0 x 2 [ x 2 ? 2 x ? ?x ? ( ?x )2 ]?x ?8 x ? ?x ? 4( ?x ) 2 ?8 x ? 4?x ? lim 2 2 ? lim 2 2 ?x ? 0 x [ x ? 2 x ? ? x ? ( ? x ) 2 ] ? x ?x ? 0 x [ x ? 2 x ? ? x ? ( ? x ) 2 ] ?8 x ? 4 ? ? 8 x ?3 . x

1.函数的平均变化率
f( x 2 ) ? f ( x1 ) ?y ? . ?x x2 ? x1

2.求函数的平均变化率的步骤 (1)求函数的增量Δ y=f(x2)-f(x1).
?y f (x 2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率 ? . ?x x2 ? x1

3.求物体运动的瞬时速度 (1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t).

(2)求平均速度
(3)求极限

?s v? . ?t

?s s( t ? ? t ) ? s( t ) ? . lim lim ?t ? t ? 0 ?t ? t ?0

4.由导数的定义可得求导数的一般步骤 (1)求函数的增量Δ y=f(x0+Δ t)-f(x0).
?y . (2)求平均变化率 ?x

(3)求极限

f ?( x0 ) ? lim
?x ? 0

?y . ?x

环境不会改变,解决之道在于改变自己。



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