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2016-2017学年高二(上)期末数学复习试卷一(文科)



2016 年秋季高二上学期期末数学复习试卷一(文科)
(考试时间 120 分钟 ,满分 150 分) ★祝考试顺利★ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的.) 1.抛物线 y=4x2 的准线方程是( A.y=1 B.y=﹣1 D ) C.y= D.y=﹣

2.总体编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则 选出来的第 5 个个体的编号是(D )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481. A.08 B.07 C.02 D.01

3.甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是(A A.③④ ) B.①②④ C.②④ D.①③④

4.当输入 x=﹣4 时,如图的程序运行的结果是( D )

A.7

B.8

C.9

D.15

5.下列说法错误的是( B ) A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题

C.命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 6.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 身高 y 6 118 7 126 8 136 9 144

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( B ) A.154 B.153 C.152 D.151

7.函数 f(x)在 x=x0 处导数存在,若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则 p 是 q 的(C ) B.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件

A.充分不必要条件 C.必要不充条件

8.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( C )

女生 男生

一年级 373 377

二年级 x 370

三年级 y z

A.24 9. 已知双曲线 ﹣

B.18

C.16

D.12

=1 的一个焦点与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合, 且双曲线的离心率为

,则此双曲线的方程为( B ) A.5x2﹣ =1 B.5x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

10.已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算 法输出一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( C )

A.

B.

C.

D.

11.f(x)定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意的正 数 a,b,若 a<b,则必有(A )

A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 12.过原点的直线与双曲线 (a>0,b>0)交于 M,N 两点,P 是双曲线上异

于 M,N 的一点,若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 ,则双曲线的离心率为 ( A ) A. B. C. D.2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.三进制数 121(3)化为十进制数为 16 . ﹣1≤a

14.若命题“? x∈R,使 x2+(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为 ≤3 . 6

′ x) ′ 2) ′ 5) 15. f x) f x) =3x2+2xf( = 已知函数 ( 的导函数为 f( , 且满足 ( , 则f ( 16.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 =1 与椭圆 =1 有相同的焦点;



②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是 相切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;

④过定圆 C 上一点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 为椭圆.其中真命题的序号为 ①②

,则动点 P 的轨迹

(写出所有真命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)设命题 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 .若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围

解:若¬p 是¬q 的充分不必要条件,∴命题 q 是命题 p 的充分不必要条件.设 A={x|x2 ﹣4ax+3a2<0,a>0}={x|a<x<3a},B={x| }={x|2<x≤3},则由题意可

得 B?A.∴

,解得 1<a≤2

,实数 a 的取值范围为(1,2].

18.(本题满分 12 分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓 度在 20~80mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时, 属于醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查了 300 辆 机动车,查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如表: 酒精含量 (mg/100ml) 人数 [20, 30) 3 [30, 40) 4 [40, 50) 1 [50, 60) 4 [60, 70) 2 [70, 80) 3 [80, 90) 2 [90, 100] 1

(1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可); (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

解:(1)酒精含量(mg/100ml)在[20,30)的 在[30,40)的 为

为 为

=0.015, =0.005,

=0.020,在[40,50)的

在[50,60)的



=0.20,在[60,70)的



=0.010,

在[70,80)的



=0.015,在[80,90)的



=0.010,

在[90,100]的 示:



=0.005;绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所



(2) 检测数据中醉酒驾驶 (酒精含量在 80mg/100ml (含 80) 以上时) 的频率是 根据频率分布直方图,小矩形图最高的是[30,40)和[50,60), 估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55;…

… ;

估计检测数据中酒精含量的平均数是 0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020 ×10×55+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55.… 19.(本题满分 12 分)某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长为 3cm 的等边三角形的三个顶点. (Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打 三枪,其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击 的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ)第四次射击时,该运动员瞄准△ABC 区域射击(不会打到△ABC 外),则此次射击 的着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计) 解:(Ⅰ)前三次射击成绩依次记为 x1,x2,x3,后三次成绩依次记为 y1,y2,y3,从这 6 次射击成绩中随机抽取两个,

基本事件是:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},{y1,y3},{y2,y3},{x1,y1}, {x1,y2},{x1,y3}, {x2,y1},{x2,y2},{x2,y3},},{x3,y1},{x3,y2},{x3,y3}, 共 15 个 ,其中可使|a﹣b|>1 发生的是后 9 个基本事件.故 .…

(Ⅱ)因为着弹点若与 A、B、C 的距离都超过 1cm,则着弹点就不能落在分别以 A,B, C 为中心,半径为 1cm 的三个扇形区域内,只能落在扇形外.… 因为 部分的面积为 ,…故所求概率为 P= .…

20.(本题满分 12 分)一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小 正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大? 解:设小正方形的边长为 xcm,则盒子底面长为(8﹣2x)cm,宽为(5﹣2x)cm,可得体 积 V=(8﹣2x)(5﹣2x)x=4x3﹣26x2+40x,(0<x< ), V′=12x2﹣52x+40,令 V′=0,可得 x=1 或 x= (舍去),

当 0<x<1 时,导数 V′>0,函数 V 递增;当 1<x< 时,导数 V′<0,函数 V 递减 可得函数 V 在 x=1 处取得极大值,且为最大值 18. 即小正方形边长为 1cm 时,盒子容积最大为 18cm3. 21.(本题满分 12 分)已知两点 满足|AQ|+|CQ|=4,O 为坐标原点. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (2)设过点 B(0,﹣2)的直线与 E 交于 M,N 两点,当△OMN 的面积为 1 时,求此直 线的方程. 解: (1) 由题意知|PQ|=|AQ|, 又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…∴|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2 由椭圆定义知 Q 点的轨迹是椭圆,… 2a=4,即 a=2,2c=2 ∴b2=4﹣3=1,∴点 Q 的轨迹 E 的方程为 .… ,即 c= , , ,若一动点 Q 在运动过程中总

(2)由题意知所求的直线不可能垂直于 x 轴,所以可设直线为:y=kx﹣2,… M(x1,y1),N(x2,y2), 将 y=kx﹣2 代入 (1+4k2)x2﹣ .





|x1﹣x2|= 解得 k= ,满足△>0.∴

=

=1.…

﹣2.…

22.(本题满分 12 分)函数 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2 (1)如果函数 g(x)单调减区间为( ,1),求函数 g(x)解析式;

(2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)图象过点 p(1,1)的切线方程; (3)若? x0∈(0,+∞),使关于 x 的不等式 2f(x)≥g′(x)+2 成立,求实数 a 取值范 围. 解:(1)∵g'(x)=3x2+2ax﹣1,若函数 g(x)单调减区间为( =3x2+2ax﹣1<0,解为 ,∴ ,1),由 g'(x) ∴

是方程 g'(x)=0 的两个根,

,∴g(x)=x3﹣x2﹣x+2… (2)设切点为(x0,y0),则切线方程为 1)代入得 .所以切线方程为 y=﹣x+2 或 y=1… (3)要使关于 x 的不等式 2f(x)≥g′(x)+2 成立,即 2xlnx≥3x2+2ax﹣1+2 成立. 所以 2ax≤2xlnx﹣3x2﹣1,在 x>0 时有解,所以 最大值,令 ,将(1,

,则



当 0<x<1 时,h'(x)>0,h(x)单增,当 x>1 时,h'(x)<0,h(x)单减. ∴x=1 时,h(x)max=﹣4,∴2a≤﹣4,即 a≤﹣2…



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