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高考习题方略-圆锥曲线与方程习题集



第二章
2.1

圆锥曲线与方程
曲线与方程

2.1.1 曲线与方程的概念 一、学习目标 理解曲线的方程和方程的曲线的意义,了解曲线与方程的对应关系. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1. 如果曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F(x, y)=0 的解. 那么以下说法正确的

是( ) A.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 B.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点有些不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 F(x,y)=0 的解 D.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 2.曲线 C:F(x,y)=0 上的任意点 P(x,y)都满足方程 F(-x,-y)=0,则曲线 C 一 定( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.无对称性 2 2 3.设圆 M 的方程为(x-3) +(y-2) =2,直线 l 的方程为 x+y-3=0,点 P 的坐标为 (2,1),那么( ) A.点 P 在直线 l 上,但不在圆 M 上 B.点 P 在圆 M 上,但不在直线 l 上 C.点 P 既在圆 M 上,又在直线 l 上 D.点 P 既不在圆 M 上,又不在直线 l 上 4.下列曲线中与直线 x+y=0 恰好有两个交点的是( ) x 2 2 A.y=2 B.y=log3x C.x +y =0 D.x2+y2=1 (二)填空题 5.若 P(2,3)在方程 x2-ay2=1 的曲线上,则 a 的值为______. 6.直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2+ax+by+c=0(c<0)的位置关系为______. 7. 两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点为______; 任意两圆最多有______ 个交点. 8.方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条件为______. *9.给出下列曲线(1)4x+2y-1=0 (2)x2+y2=3 (3) (4)

x2 ? y 2 ? 1. 2

x2 ? y 2 ? 1 .其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线的序号是______. 2

(三)解答题 10.已知曲线 C:y=x2-6x+a 与直线 l:3x+ay-5=0 有一个公共点(m,-1),求 m 的值. 11.已知圆 C:x2+y2+6x-4=0,直线 l:x-y+4=0. (1)求证:对任一实数?,方程 x2+y2+6x-4+?(x-y+4)=0 是通过直线 l 与圆 C 交点 的圆的方程; (2)求过直线 l 与圆 C 的交点并且圆心在直线 x+3y+2=0 上的圆的方程. 12.已知圆 C1:x2+y2-ax-ay=0,与圆 C2:x2+y2+3bx+by-40=0 有一个公共点 (4,-2). (1)求圆 C1 及圆 C2 的圆心和半径; (2)求两圆的公共弦所在的直线方程.

2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 一、学习目标 初步掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法; 了解解析几何学的意义及其研究 的基本问题. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.方程 xy2-x2y=2x 所表示的曲线( ) A.关于 y 轴对称 B.关于直线 x+y=0 对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x-y=0 对称 2.已知两定点 A(-2,0)、B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨 迹所包围的图形的面积等于( ) A.9? B.8? C.4? D.? 3.若直线 y ? kx ? 于(

1 与曲线 x2+y2+kx-y=0 的两个交点恰好关于 y 轴对称,则 k 等 2

) A.0 B.1 C.2 D.3 4.等腰三角形 ABC,若底边两端点坐标分别为 B(4,2)、C(-2,0),则顶点 A 的轨 迹方程是( ) A.x-3y+2=0(x≠1) B.3x-y-2=0(x≠1) C.3x+y-4=0(x≠1) D.3x-y-1=0(x≠1) (二)填空题 5. 已知曲线 axy+bx+2y-6=0 经过点 A(2, 2)和 B(2 3, 3) 则曲线的方程是_______ ________________________________________________. 6.已知点 A(-2,0)、B(2,0),点 C 在直线 x+2y-2=0 上运动,则三角形 ABC 的 重心 G 的轨迹方程为________________________. 7.函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R)图象的顶点轨迹方程为____________. 8.已知等腰三角形 ABC 的顶点 A(0,5)、B(-3,0)、C(3,0),那么三角形 ABC 的 中线 AO 的方程是______________________________. *9.x 轴被曲线 x2+y2-2axsin??-2bycos??-a2cos2??=0 截得的线段长是______. (三)解答题 10.已知 B(-3,0)、C(3,0),三角形 ABC 中 BC 上的高的长为 3,求三角形 ABC 的 垂心 H 的轨迹方程. 11.已知点 M 到 y 轴的距离和它与点 F(4,0)的距离相等.求 M 点的轨迹方程,并根 据方程研究曲线的对称性及与坐标轴的交点. 12.在正方形 ABCD 中,在 AB、BC 边上各有一个动点 Q、R,且|BQ|=|CR|.试 建立适当的直角坐标系求直线 AR 与 DQ 的交点 P 的轨迹方程.

2.2

椭圆

2.2.1 椭圆及其标准方程(1) 一、学习目标 理解椭圆的定义;掌握椭圆的两种标准方程及 a、b、c 的意义. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.已知椭圆的两焦点 F1、F2 在 x 轴上,|F1F2|= 4 2 ,P 为椭圆上一点,且|PF1| =

7 5 ,|PF2|= ,则此椭圆的标标准方程为( ) 2 2 x2 y2 x2 2 ? y2 ? 1 ?1 ? y2 ? 1 A. B. x ? C. 3 3 9 x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( 2.椭圆 ) 16 25

D. x ?
2

y2 ?1 9

A.(0,3)、(0,-3) B.(3,0)、(-3,0) C.(0,5)、(0,-5) D.(4,0)、(-4,0) 3.已知 F1、F2 是两定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是( ) 3? k 2?k 1 1 A.k>-3 且 k ? ? B.-3<k<2 且 k ? ? ? ? 2 2
4.已知方程 C.k>2 (二)填空题 5.已知 F1、F2 为椭圆 D.k<-3

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 25 9

|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=______. 6.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过点 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点, 9 25 x2 y2 ? ? 1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,若|MF1|=4,那么| 25 9

那么三角形 ABF2 的周长为______. 7.设 M 是椭圆 MF2|=______.

ky 2 ? 1 的一个焦点为(0,2),则实数 k 的值为______. 5 x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,过 F1 作 x 轴的垂线与椭圆相交 9.已知椭圆 5 4
2 8.椭圆 x ?

于 A、B 两点,则三角形 ABF2 的面积为______. (三)解答题 10.已知圆 x2+y2=9,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP′,点 M 在 PP′上, 并且 PM ? 2MP? ,求 M 点的轨迹. 11.已知三角形 ABC 的三内角 A、B、C 所对的三边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等

差数列,且 A(-1,0)、C(1,0),求顶点 B 的轨迹方程. *12.如图,已知 A、B 是两定点,且|AB|=2.动点 M 到点 A 的距离是 4,线段 MB 的中垂线 l 交 MA 于 P 点,建立适当的坐标系,求当 M 变化时,动点 P 的轨迹方程.

2.2.1 椭圆及其标准方程(2) 一、学习目标 依据椭圆的定义或用待定系数法求椭圆的标准方程. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.已知焦点坐标为(0,-4)、(0,4),且过点(0,-6)的椭圆方程为( A.

)

x2 y2 ? ?1 36 20 x2 y2 ? ?1 36 16

B.

x2 y2 ? ?1 20 36
x2 y2 ? ?1 16 36
)

C.

D.

2.过点 ( 15,0) 与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆方程为(

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 B. 5 10 15 10 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 10 15 25 10 x2 y2 ? 1 的焦距是 2,则 m 的值为( 3.椭圆 m ? ) 4
A. A.5 C.5 或 3 4.椭圆 B.3 D.20

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 12 3
) B.5∶1 D.8∶3

那么|PF1|∶|PF2|的值为( A.7∶1 C.9∶2 (二)填空题

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 5. 已知方程 则实数 m 的取值范围是______ 25?m m?9
______________________. 6.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是____________. m ? 2 m?5

7.经过 M ( 6 ,1)、N (? 3,? 2 ) 的椭圆的标准方程是____________.

8.若椭圆两焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),点 P 在椭圆上,且三角形 PF1F2 的面积的 最大值为 12,则此椭圆方程是__________________. 9.已知三角形 ABC 的周长是 8,B、C 两点的坐标分别为(-1,0)、(1,0),则顶点 A 的轨迹方程为__________________. (三)解答题 10.如图,F1、F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆上, a 2 b2

三角形 POF2 是面积为 3 的正三角形,求此椭圆方程.

11.已知椭圆 x2+2y2=a2(a>0)的左焦点到直线 l:y=x-2 的距离为 2 2 ,求此椭圆 方程. 12.圆 P 经过点 B(0,3)且与圆 A:x2+(y+3)2=100 内切,求圆心 P 的轨迹方程. 2.2.2 椭圆的几何性质(1) 一、学习目标 理解椭圆方程中 a、b、c 的几何意义;能根据椭圆方程求椭圆的顶点、焦点坐标,长轴 和短轴的长,离心率. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.椭圆的焦点在 x 轴上,且过点(-4,0),半短轴长为 3,则椭圆的标准方程是( )

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 B. 4 3 3 4 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 9 16 16 9 x2 y2 ? ? 1 的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是( 2.以椭圆 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 A. B. 9 16 16 9 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 25 16 16 25 x2 y2 x2 y2 ? ? 1与 ? ? 1(0 ? k ? 9) 关系为( 3.椭圆 ) 25 9 9?k 25?k
A. A.有相同的长轴长与短轴长 C.有相同的焦点 B.有相同的焦距 D.有相同的离心率

)

x2 y 2 4.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中心 O 与一个焦点 F 及短轴的一个端点 B 组成等腰直 a b
角三角形 FBO,则椭圆的离心率是( )

A.

1 2

B. 2

C.

3 2

D.

2 2

(二)填空题 5.中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆,若长轴长是 18,两个焦点恰好将长轴分成三 等分,则此椭圆方程是________________________. 6.椭圆的一个焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,则椭圆的长轴长是短轴长的 ______倍. 7. 椭圆的右焦点是 F ( 3,0) , 椭圆与两坐标轴的正半轴的交点为 A、 且|AB|=3, B, 则椭圆的标准方程是___________________. 8.常数 a>0,椭圆 x2+a2y2=2a 的长轴长是短轴长的 3 倍,则 a 的值为______. 9.椭圆短轴的一个端点与长轴两端点的连线成 120°角,则椭圆的离心率为______. (三)解答题 10.根据下列条件,求椭圆标准方程 (1)长轴长是短轴长的两倍,过点(2,-6); (2)x 轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距 离是 10 ? 5 . 11.椭圆 C 长轴的两端点为 A1、A2,短轴的两端点为 B1、B2. (1)证明:四边形 A1B1A2B2 为菱形; (2)若菱形 A1B1A2B2 的面积为 120,边长为 13,求椭圆 C 的标准方程.

x2 y2 12.如图,从椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴引垂线,恰好通过椭圆的一 a b
个焦点 F1,这时椭圆长轴的端点 A 和短轴的端点 B 的连线 AB∥OP,椭圆的中心到直线

a2 x ? ? c (其中 c 为半焦距)的距离为 4,求椭圆方程.

2.2.2 椭圆的几何性质(2) 一、学习目标 掌握椭圆性质的综合应用;能解决椭圆中的有关最值问题. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.以坐标轴为对称轴,离心率为 A.

x2 ? y2 ? 1 4 x2 x2 y2 ? y2 ? 1 或 ? ?1 4 4 16

3 且经过点(2,0)的椭圆方程为( ) 2 x2 x2 y2 ? y2 ? 1 或 ? ?1 B. 4 16 4
D.

C.

x2 y2 ? y 2 ? 1 或 x2 ? ?1 4 4

2.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为

1 ,长轴长为 12,则椭圆方程为( 3
B.

)

A.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 144 128 128 144
x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 36 32 32 36

x2 y2 ? ?1 6 4 x2 y2 x2 y2 ? ? ?1 或 4 6 6 4

C.

D.

x2 y 2 ? ? 1 的中心作直线与椭圆交于 A、B 两点,F1 为椭圆的焦点,则三角 3.过椭圆 25 16
形 F1AB 面积的最大值为( ) A.6 B.12 4.椭圆 ( ) A.(0,3)或(0,-3) B. ( , C.24 D.48

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m,则 m 取最大值时 P 点坐标是 25 9

5 3 3 5 3 3 ) 或 ( ,? ) 2 2 2 2 5 3 3 5 3 3 , ) 或 (? , ) 2 2 2 2

C.(5,0)或(-5,0)

D. (

(二)填空题 5. 线段 AB 的中点是 M, |AB|=6, |PA|+|PB|=8, 则|PM|的最大值是______; 最小值是______. 6.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为______. 7.若椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 值为______. k ?8 9 2

x2 ? y 2 ? 1 上任一点,则 P 到直线 x+y-5=0 的最短距离是______. 3 x2 y2 ? ? 1 内的点,M 是椭圆上的动点,则|MA| *9.已知 A(4,0)、B(2,2)是椭圆 25 9
8.P 为椭圆 +|MB|的最大值为______;最小值为______. (三)解答题 10.已知椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),A、B 是椭圆上两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴交于一点 P(x0,0).证明: ? 11.已知椭圆 C : 值范围. *12.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 a ? x0 ? a .

x2 y2 ? ? 1 上存在关于直线 l:y=2x+m 对称的两点,试求 m 的取 9 4

3 3 ,已知点 P ( 0, ) 到这 2 2

个椭圆上的点的最远距离是 7 .求这个椭圆的方程,并求出椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标.

2.3

双曲线

2.3.1 双曲线的标准方程 一、学习目标 1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的两种标准方程; 2.依据双曲线的定义或用待定系数法求双曲线的标准方程及解决有关问题. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1.已知方程 1? k 1? k
A.-1<k<1 B.k≥0 2. 双曲线 A.7
2 2

)

B.k>0 D.k>1 或 k<-1 )

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离为 15, P 到(-5, 则 0)的距离为( 16 9
B.23
2 2

C.5 或 25

D.7 或 23 )

3.椭圆 A.

x y x y ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 a 等于( 4 a 2 a
B.-1 C.1 D.-1 或 1

1 2

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1 的直线与双曲线左支 4.已知双曲线 36 9
交于 A、B 两点,且|AB|=3,那么|AF2|+|BF2|的值是( A.21 B.30 C.27 (二)填空题 5.双曲线 ) D.15

y2 -x2=1 的两个焦点坐标分别是______. 2
2

6.设 P 为双曲线 x ?

y2 ? 1 上的一点,F1、F2 是该双曲线两个焦点,若|PF1|∶| 12

PF2|=3∶2,则△PF1F2 的面积为______. 7.经过点 P(3,2 7 ),Q(?6 2,7) ,且焦点在 y 轴的双曲线标准方程是______. 8.点 P(1,2)关于(-1,1)的对称点 P1 在双曲线 2ax2-ay2=1 上,则双曲线的焦点坐 标是____________. 9.已知双曲线对称轴为坐标轴,中心在原点,一个焦点在直线 x+y=6 上,且焦距是 实轴长的 2 倍,则此双曲线的标准方程为____________. (三)解答题 10. 已知双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4, 27 36

求此双曲线方程. 11. 已知正六边形 ABCDEF 的中心在坐标原点,外接圆半径为 2,顶点 A、 在 x 轴上, D

求以 A、D 为焦点,且过点 E 的双曲线方程.

12.已知 F1、F2 是双曲线的两个焦点,且|F1F2|=10,过 F2 的直线交双曲线一支于 A、B 两点,当|AB|=5,三角形 AF1B 的周长等于 26 时,求此双曲线的标准方程. 2.3.2 双曲线的几何性质(1) 一、学习目标 掌握双曲线的几何性质,理解 a、b、c、e 的几何意义及其相互关系. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8,焦距为 10 的双曲线方程为(

)

x y ? ?1 16 9 x2 y2 ? ?1 C. 9 16
A. 2. 已知双曲线

2

2

x y ? ?1 16 25 x2 y2 ? ?1 D. 25 16
B.

2

2

x2 y2 ? ? 1 的实轴的一个端点为 A1, 虚轴的一个端点为 B1, 且|A1B1| 16 b2
)

=5,则双曲线方程为(

x y ? ?1 16 25 x2 y2 ? ?1 C. 16 9
A.

2

2

x2 y2 ? ? ?1 16 25 x2 y2 ? ? ?1 D. 16 9
B.

3.在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x -2y=0,则它的离心率为( ) A. 5 B.

5 2

C. 3

D.2

4.若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线,则 l 与双曲线的公共点个数为( ) A.0 或 1 B.1 C.0 或 2 D.1 或 2 (二)填空题 5.已知双曲线的焦点在 y 轴上,且实轴长与焦距之和为 18,虚轴长为 6,则双曲线的 标准方程为____________. 6.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离 心率为______.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有公共的焦点, ? ? 1 和双曲线 7. 已知椭圆 那么双曲线的渐近 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2
线方程为____________.

8.双曲线 mx2+y2=81 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=______. 9.实轴长为 6,渐近线方程是 3x ? 2y=0 的双曲线方程为___________________. (三)解答题 10.如图,已知 F1、F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点,过 F2 作垂直于 x a 2 b2

轴的直线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.

11.已知双曲线

x2 y 2 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ,过点 A(0,-b)和 B(a, 2 3 a b

0)的直线与原点的距离为

3 .求双曲线的方程. 2

x2 y2 5 ? ? 1 有公共焦点. *12.双曲线 C 的离心率为 ,且与椭圆 9 4 2
(1)求双曲线 C 的方程;(2)双曲线 C 上是否存在两点 A、B 关于点(4,1)对称,若存 在,求出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由. 2.3.2 双曲线的几何性质(2) 一、学习目标 理解双曲线的定义及几何性质的综合应用. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为 60°,则它的离心率为( A.

)

3 B.2 3 2 3 3 C. 或2 D. 或2 3 3 x2 y 2 x2 y2 2.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 e1 , 2 ? 2 ? ?1 (a>0,b>0)离心 a b a b
率为 e2,则 e1+e2 的最小值是( A. 2 B.2 ) C.2 2 D.4

3.设圆 C 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在该双曲线上,则圆 9 16
) B.

心到该双曲线中心的距离是( A.

4 3

4 10 3

C.

16 3

D.5

4.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上,且 MF1⊥x 轴,则 F1 6 3
) B.

到直线 F2M 的距离为( A.

3 6 5 5 6 6

6 5 5 6

C.

D.

(二)填空题

x2 y2 ? 2 ? 1 与圆 x2+y2=1 没有公共点, 则实数 k 的取值范围是______. 9k 2 4k x2 y 2 6.设 F1、F2 分别是 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点 A, a b
5. 若双曲线 使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为______. 7.双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到左焦点的距离为 6,则这样的点 P 有______个. 4 12

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与渐近线相切的圆的方程是______. 9 16 x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到右焦点 F 的距离为 11,N 为线段 MF 的中点, * 9.已知双曲线 25 24
8.以双曲线 O 为坐标原点,则|ON|=______. (三)解答题 10.椭圆以两坐标轴为对称轴,焦距为 2 13 ,双曲线与椭圆在 x 轴上有共同焦点,且 实轴长比长轴长小 8,离心率之比为 7∶3,求椭圆和双曲线的方程. 11.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,焦距为 10,求它的标准方程. 2

*12.设双曲线中心是坐标原点,焦点在 y 轴上,离心率为 曲线上的点的最近距离是 2,求此双曲线方程.

5 ,已知点 P(0,5)到双 2

2.4

抛物线

2.4.1 抛物线的标准方程 一、学习目标 1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的四种形式的标准方程; 2.能根据定义或待定系数法求抛物线的方程. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.如果抛物线 y2=ax 的准线是直线 x=1,那么它的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0) 2 2.在抛物线 y =2px(p>0)上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为(

)

1 A. 2

B.2

C.1 D.4 3.动点 P(x,y)(x≥0)到定点 F(2,0)的距离比它到 y 轴的距离大 2,则动点 P 的轨迹 方程是( ) 2 A.y =16x B.y2=8x C.y2=2x D.y2=4x 4.经过点 P(4,-2)的抛物线的标准方程是( ) 2 2 2 A.y =16x 或 x =16y B.y =16x 或 x2=-16y C.x2=-8y 或 y2=x D.x2=8y 或 y2=-x (二)填空题 5.在抛物线 y2=8x 上有一点 P,它到焦点的距离是 20,则 P 点坐标是______. 6.焦点到准线的距离为 7.抛物线 y ? ?

3 的抛物线的标准方程为__________________. 2

x2 的焦点坐标是______;准线方程为______. 8

8.抛物线的顶点在原点,焦点在直线 x-2y-4=0 上,则抛物线的标准方程为______. 9.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆 4x2+y2=1 的一个焦点,则此抛物线的焦点 到准线的距离为______. (三)解答题 10.若抛物线通过直线 y ? ? 2 x 与圆 x2+y2-6x=0 的交点,且关于坐标轴对称,求 抛物线方程. 11.求与 y 轴相切,且与圆 x2+y2-4x=0 相外切的动圆圆心的轨迹方程. 12.已知椭圆 x2+4y2=4 的焦点为 F1、F2,抛物线 y2=px(p>0)与椭圆在第一象限的 交点为 Q,若∠F1QF2=60°. (1)求三角形 F1QF2 的面积;(2)求此抛物线方程. 一、学习目标 掌握抛物线的几何性质. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.直线 y=kx+b 与抛物线 y2=4x 有且只有一个公共点,则 k、b 满足的条件是( ) A.kb=1 B.k=0,b∈R C.b≠0,k=0 D.kb=1 或 k=0

2.抛物线 y ? m (m ? 0) 的焦点坐标是( ?

x2

)

m m ) 或 (0, ) 4 4 1 1 ) 或 ( 0, ? ) A. (0, 4m 4m
A. (0,?

m ) 4 1 ) D. (0, 4m
B. (0,

3.一个正三角形的三个顶点都在抛物线 y2=4x 上,其中一个顶点在坐标原点,则这个 三角形的面积等于( ) A.

16 3 9

B.

16 3 27

C.24 3

D.48 3

4.过抛物线的焦点且垂直于抛物线轴的直线交抛物线于 P、Q 两点,抛物线的准线交 抛物线的轴于点 M,则∠PMQ 一定是( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角 (二)填空题 5.垂直于 x 轴的直线与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,若 AB 的长为 4 3 ,则抛物 线的焦点到直线 AB 的距离为______. 6.抛物线型搭桥的顶点距水面 2 米时,水面宽 8 米,若水面上升 1 米,此时水面宽为 ______米. 7.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点,已知灯口直径是 60cm,灯深 40cm,则光源到反射镜顶点的距离是______cm. 8.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到它准线的距离为 2,且 M 到此抛物线顶点的距离 等于 M 到它的焦点的距离,则此抛物线的焦点坐标是______. 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于 M 点, 抛物线的准线交 x 轴于 N 点, 四边形 PMNF 为平行四边形, 则点 P 到 x 轴的距离为______. (三)解答题 10.已知焦点在 y 轴上的抛物线上一点 Q(-3,m)到焦点的距离为 5,求此抛物线的标 准方程. 11.若抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P 到准线及对称轴的距离分别是 10 和 6,求点 P 的 横坐标及抛物线方程. 12.A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,满足 OA⊥OB(O 为坐标原点). 求证:(1)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值; (2)直线 AB 经过一定点.

2.4.2 抛物线的几何性质(2) 一、学习目标 掌握抛物线定义与几何性质的综合运用;了解抛物线中的最值问题. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.已知 A(3,2),点 F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使|PA|+ |PF|取得最小值,则点 P 的坐标为( ) A.(0,0) B.(2,2) C. (1, 2 ) D. ( ,1)

1 2

2.在抛物线 y2=-4x 上有一点 P,则 P 到椭圆 ( ) B. 2 ? 3

x2 y2 ? ? 1 左顶点的距离的最小值为 16 15
D. 2 ? 3 )

A. 2 3

C. 3

3.抛物线 y=4x2 上一点 P 到直线 y=4x-5 的距离最小,则 P 点坐标为( A.(1,2) 4.抛物线 y ? A.a>1 B.(0,0) C. ( ,1)

1 2

D.(1,4) )

1 2 x 上距 A(0,a)(a>0)最近点恰好是原点,则 a 的取值是( 2 1 B.0<a<1 C.0<a≤1 D. a ? 2

(二)填空题 5.直线 ax+y-4=0 和抛物线 y2=2px(p>0)的一个交点是(1,2),则抛物线的焦点到 此直线的距离等于______. 6.曲线 C 与抛物线 y ?
2

1 x 关于直线 y=x 对称,则曲线 C 的方程为____________. 2

7.以抛物线 y2=4x 上任意一点 P 为圆心,P 到直线 x=-1 的距离为半径的所有的圆 过定点______. 8.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交抛物线于 A、B 两点,则以 F 为 圆心,AB 为直径的圆的方程是______. 9.抛物线 y2=2x 上各点与焦点连线中点的轨迹方程是______. (三)解答题 10. 已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 求|AB|. B, 2 11.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于 点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.

*12.AB 为抛物线 y=x2 上的动弦,且|AB|=a(a 为常数). 求弦 AB 的中点 M 离 x 轴的最近距离.

2.5 直线与圆锥曲线 一、学习目标

能用代数的方法判断直线与圆锥曲线的位置关系; 了解解决与圆锥曲线弦有关的问题的 基本方法. 二、知识梳理 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两不同点,若 AB 的中点横坐标为 2,则 |AB|为( ) A. 15 C. 2 15 2.设椭圆: B. 4 15 D. 42

x2 y2 ? ? 1 的长轴两端点为 M、N,异于 M、N 的点 P 在椭圆上,则 PM 4 3
) B. ?

与 PN 的斜率之积为( A. ?

3 4

4 3

C.

3 4

D.

4 3

3.直线 y=x+b 交抛物线 y ? 的值为( A.2 ) B.0
2

x2 于 A、B 两点,O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则 b 2
C.1
2

D.4 )

4.直线 y=kx+1 与椭圆 A.(1,+∞) C.(1,5)∪(5,+∞) (二)填空题 5.给定四条曲线: (1) x 2 ? y 2 =

x y ? m ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5
B.[1,+∞) D.[1,5)∪(5,+∞)

5 2

(2)

x2 y2 ? ?1 9 4

(3) x ?
2

y2 ?1 4

(4)

x2 ? y 2 ? 1 其中与直线 4

x ? y ? 5 ? 0 仅有一个交点的曲线是______.
6.在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 中,过焦点且垂直于实轴的弦长为 2,焦点到一渐近线的距离 a 2 b2

为 1,则该双曲线的离心率为______. 7.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B,则弦长 |AB|为______. 8.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A、B 两点,并使 P 为 3

AB 的中点,则 AB 直线的斜率为______. *9.直线 y=1-x 交曲线 mx2+ny2=1 于 A、B 两点,弦 AB 的中点为 P,若直线 OP 的 斜率为

2 m (O 为坐标原点),则 =______. 2 n

(三)解答题 10.已知点 A(? 3,0) 和 B( 3,0) ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2,点

C 的轨迹与直线 y=x-2 交于 D、E 两点.求线段 DE 的长. 11.抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+k 所得弦长为 3 5. (1)求 k 的值; (2)以此弦为底边,以 x 轴上点 P 为顶点的三角形面积为 9,求点 P 坐标. *12.直线 l:y=kx+1 与椭圆 C:ax2+y2=2(a>1)交于 A、B 两点,以 OA、OB 为邻 边作平行四边形 OAPB(O 为坐标原点)

(1)若 k=1,且四边形 OAPB 为矩形,求 a 的值; (2)若 a=2,当 k(k∈R)变化时,求点 P 的轨迹方程. 一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.如果椭圆以双曲线 是( )

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点,那么这个椭圆的方程 16 9 x2 y2 ? ?1 25 16 x2 y2 ? ?1 D. 6 25
B.

x2 ? 16 x2 ? C. 25
A.

y2 ?1 9 y2 ?1 9

2.??是任意实数,方程 x2+y2cos??=3 表示的曲线不可能是( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 2 2 2 2 3.在同一坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是(

)

A.

B.

C.

D.

y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4, 4.过双曲线 x ? 2
2

则这样的直线有( A.1 条

) B.2 条
2 2

C.3 条

D.4 条

5.直线 l 过双曲线

x y ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点,斜率为 2,若 l 与双曲线的两 a 2 b2
) B. 1 ? e ?

个交点分别在双曲线的左、右两支上,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( A. e ?

2

3

C. 1 ? e ? 二、填空题

5

D. e ?

5

6.双曲线 m ? n ? 1 (m≠0)的离心率为 2,有一焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合, 则 mn 的值为______. 7.从抛物线 y2=2px(p>0)上各点作 x 轴的的垂线段,则垂线段中点的轨迹方程是___ __________________. 8.设 F1、F2 为椭圆

x2

y2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过椭圆的中心任作一条直线交椭圆于 4 3

P、Q 两点,当四边形 PF1QF2 的面积最大时, PF ? PF2 的值等于______. 1 9.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为______. 三、解答题

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一个焦点, a 2 b2 3 并且与双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为 ( , 6 ) ,求抛物线与双曲线 2
10.抛物线顶点在坐标原点,它的准线过双曲线 方程. *11.(1)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦 AB 的中点为 M,弦 AB 的斜率为 k,OM 的斜率为 k0(O a 2 b2
x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F 作直线 l 与椭圆 C 交于两点 A、B,如果直线 l 4 3

为坐标系的原点),试猜测斜率的积 kk0 是否为定值?并加以证明; (2)过椭圆 C :

的斜率为 k,且 k≠0,求弦 AB 的中垂线 l1 在横轴上的截距 d 的取值范围. *12.设椭圆

a2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左焦点为 F1(-2,0),直线 l1 : x ? ? 与 x 2 a2 b

轴交于点 N(-3,0),过点 N 且倾斜角为 30°的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)求直线 l 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上; (3)设 C、D 为椭圆上两个不重合的动点,且 OC⊥OD,过原点 O 做直线 CD 的垂线 OH,垂足为 H,求点 H 的轨迹方程.

参考答案 第二章
2.1
2.1.1 曲线与方程的的概念 1.D 2.C 3.C 4.D 5.

圆锥曲线与方程
曲线与方程

1 3

6.相离(提示:解直线方程与圆的方程组成的方程组,无解)

7.(-1,3),(-6,-2);两个 8.c=0 9.(2)(3)(4) 10.∵(m,-1)是公共点,∴ ?

?? 1 ? m 2 ? 6 m ? a , ?3m ? a ? 5 ? 0.

消去 a 得:m2-3m-4=0. ∴m=4 或 m=-1. 当 m=4 时,a??=7,点(4,-1)为公共点; 当 m=-1 时,a=-8,点(-1,-1)也为公共点. ∴m=4 或 m=-1 为所求值. 11.(1)方程 x2+y2+6x-4+?(x-y+4)=0 可变形为 x +(?+6)x+y -?y-4+4??=0,得 ( x ?
2 2

? ?6

(? ? 1)2 ? 25 ) ? (y ? ) ? ? * .因 2 2 2
2 2

?

为方程*中等号右端大于 0, 所以它是一个圆的方程. 直线与圆交点的坐标显然满足方程(*), 因此方程(*)表示的圆是通过直线与圆交点的圆的方程. (2)所求圆的方程为 x2+y2+7x-y=0. 12.(1)圆 C1 圆心为(5,5),半径为 5 2 ;圆 C2 圆心为(-3,-1),半径为 5 2 . (2)4x+3y-10=0. 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 1.C 2.C 3.A 4.C 5.xy-x+2y-6=0 6.3x+6y-2=0(y≠0) 7.4x-4y-3=0 8.x=0(0≤y≤5) 9.2|a| 10.解:设 H(x,y),则 A(x,3)或 A(x,-3) 当 A(x,3)时,由 BH⊥AC 得:(x+3,y)?(x-3,3)=0

x2 ∴-3y=x -9, y ? 3 ? . 3
2

当 A(x,-3)时,同理可得: y ? 3 ? 所求垂心轨迹方程为: y ? 3 ?

x2 3

x2 x2 或 y= ? 3 ? . 3 3

11.解:设 M(x,y),M 到 y 轴距离为 d,则 d=|MF|. ∵ | x |?

( x ? 4) 2 ? y 2 化简得 y2-8x+16=0.

∴M 点的轨迹方程为 y2-8x+16=0. 在方程 y2-8x+16=0 中, 以-y 代替 y, 方程不变, 因此 M 点的轨迹关于 x 轴对称. 在

方程 y2-8x+16=0 中令 x=0 得 y2+16=0,方程无解. ∴M 点轨迹与 y 轴没有交点. 在方程 y2-8x+16=0 中,令 y=0 得 x=2. ∴M 点轨迹与 x 轴交于点(2,0). 12.解:以 AB 所在的直线为 x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设正方形 ABCD 的边长为 a,|AQ|=|BR|=t(0≤t≤??). 当 t≠0 时, 则直线 DQ、AR 的方程分别为:

x y ? ? 1?(1) , t a

y?

t x ? ( 2) a

? a 2t x ? 2 2 ? (3) ? ay ? a ?t 由(1)(2)得: ? ,由(3)(4)得 t ? ,代入(3) x at 2 ? ? y ? a 2 ? t 2 ? ( 4) ?
得:x2+y2-ay=0.当 t=0 时,P(0,0)满足 x2+y2-ay=0.又 t≥0,??>0,∴x≥0, 0≤y ?

a ? 2

故所求轨迹方程为 x2+y2-ay=0 ( x ? 0,0 ? y ?

a ). 2

2.2
2.2.1 椭圆及其标准方程(1) 1.C 2.A 3.D 4.B 5.8 6.20 7.6 8.1 9.

椭圆

8 5 5
x2 ? y 2 ? 1 .∴M 9

10.设 M 点的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x0=x,y0=3y∵P(x0,y0)在
2 2 圆 x2+y2=9 上,∴ x0 ? y0 ? 9 .将 x0=x,y0=3y 代入得 x2+9y2=9.即

点轨迹是一个椭圆. 11.由已知得:|BA|+|BC|=4, 所以 B 点轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) ? 4 3

12.解:以线段 AB 所在的直线为 x 轴, 线段 AB 的中垂线为 y 轴,

建立直角坐标系.则 A(-1,0),B(1,0).由已知得: |PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4,

x2 y2 ? ? 1. 所以 P 点轨迹方程为 4 3

2.2.1 椭圆及其标准方程 1.B 2.A 3.C 4.A

(2)

5.8<m<25 6. (0, 7 )、 ,? 7 ) (0

7.

x2 y2 ? ? 1. 9 3

x2 ? 25 x2 ? 9. 9
8.

y2 ?1 9 y2 ? 1( y ? 0) ? 8

10.解:设椭圆的半焦距为 c,因为三角形 POF2 的面积为 3,

所以

1 3 1 3 c? c ? 3,? c ? 2.P(1, 3 ) .代入椭圆方程得: 2 ? 2 ? 1 , 2 a b 2

又 a2=b2+4,解得: a2 ? 2 3 ? 4, b2 ? 2 3. 故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 3 ?4 2 3
2 x2 y 2 a,0) ? ? 1 ,所以左焦点为 F1 (? 2 a2 a 2 2

11.解:椭圆方程可化为

2 a?2| x2 y2 2 由 ? 2 2 得 a ? 2 2 ,故所求椭圆方程为 8 ? 4 ? 1 . 2 x2 y2 ? ? 1. 12.解:由已知得:|PA|+|PB|=10,故所求 P 点轨迹方程为 16 25 |?
2.2.2 椭圆的几何性质(1) 1.C 2.B 3.B 4.D

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 5. 81 72 72 81

x2 y2 ? ?1 6.2 7. 6 3

8.3 或

1 3

9.

6 3

10.(1)当椭圆焦点在 x 轴上时,设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?a ? 2b, x2 y2 ? 2 2 ? ?1 由已知得 ? 4 36 解得:a =148,b =37,方程为 148 37 ? 2 ? 1. ? a2 b ?
y 2 x2 ? ? 1. 同理,当椭圆焦点在 y 轴上时,椭圆方程为 52 13
故所求椭圆方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1. 148 37 52 13

?a ? c ? 10 ? 5 , x2 y 2 (2)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? a b ?b ? c.
解得 a ? 10, b ? 5 所求椭圆方程为 11.(2)由已知得:a2+b2=169…①,

x2 y2 ? ? 1. 10 5

1 ?2a?2b…② .由① 解得 a=12,b=5. ② 2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1. 故椭圆 C 的标准方程为 144 25 25 144

a2 12.由 AB∥OP 得 b=c,又 c ? 4, x2 y2 ? ? 1. 故所求椭圆方程为 8 4
2.2.2 椭圆的几何性质(2) 1.C 2.C 3.B 4.A 5.4, 7 6. 2 ? 1 7.4 或 ?

5 4

8.

3 2 2

9. 10 ? 2 10,10 ? 2 10

10.设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 y1≠y2 时,线段 AB 的垂直平分线方程为:

y?

y1 ? y2 x ?x x ?x ? ? yl ? y 2 ( x ? 1 2 ) . 2 2 1 2
( x1 ? x2 )(a 2 ? b 2 ) . 2a 2

令 y=0 得:

由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a, 即得 ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? a ? a

y1=y2 时,x0=0.故得证.

11. 解: A(x1, 1), 2, 2)为椭圆 C 上关于直线 l 对称的两点, 的中点为 M(x0, 设 y B(x y AB
2 ? 2 ?4 x1 ? 9 y1 ? 36 y0).则 ? 2 相减整理得 2 ?4 x2 ? 9 y2 ? 36 ?

1 y1 ? y y1 ? y 4 ? 9 ? x ?x 2 ? x ? x 2 ? 0 ∴ 4 x0 ? 9 ? (? ) y0 ? 0 (1) 1 2 1 2 2

9 ? ? x0 ? ? 10 m ? 又 y0=2x0+m (2).由(1)、(2)得 ? ? y ? ? 4 m. ? 0 5 ?
∴AB 的方程为 y1-y0= ?

1 1 5 ( x ? x0 ) .即 y ? ? x ? m. 2 2 4

x2 y2 ? ? 1 得 100x2+180mx+225m2-576=0. 代入 9 4
由?>0 得,m2<4, .∴-2<m<2. 故所求的范围为-2<m<2. 12.设所求椭圆方程为
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

b2 3 由 e ? 1 ? 2 ? 得 a=2b,设椭圆上的点(x,y)到 P 点的距离为 d, a 4
则 d ? x ? ( y ? ) , d ? ?3( y ? ) ? 4b ? 3 ,其中-b≤y≤b
2 2 2 2 2 2

3 2

1 2

1 时,则当 y=-b 时,d2 最大, 2 1 3 2 3 1 2 此时 ( 7 ) ? (b ? ) , b ? 7 ? ? 与 b ? 矛盾. 2 2 2 2 1 1 (2) b ? 时,则当 y ? ? 时,d2 最大, 2 2
(1) b ? 此时( 7 )2=4b2+3,b=1,a=2.则所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

( 椭圆上 (? 3 ,? )、 3 ,? ) 点到 P 点的距离为 7 .

1 2

1 2

2.3
2.3.1 双曲线的标准方程 1.A 2.D 3.D 4.C 5. (0,3)、 ,? 3) (0 6.12 7.

双曲线

y2 x2 ? ? 1 8. (?3 3,0)、 3,0) (3 25 75

x2 ? 2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 9 27 9 27 x2 ? 2 ? ? 1 的焦点坐标为(0,3)、(0,-3),所以双曲线方程可设为 10.因为椭圆 27 36
9.

y 2 x2 16 15 ? ? 1 且 a2+b2=9…(1),又 (? 15,4) 在双曲线上,? 2 ? 2 ? 1?(2) a 2 b2 a b
y2 x2 ? ? 1. 由(1)(2)得 a =4,b =5.故所求双曲线方程为 5 4 x2 y 2 11. 由已知得 A(-2, D(2, E (1, 3) . 0), 0), 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) , a b
2 2

?1 3 ? ? ? 1, 则 ? a 2 b2 解得 a2 ? 4 ? 2 3, b2 ? 2 3 ?c ? 2. ?
故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 4?2 3 2 3

?| AF1. | ? | BF1 | ? | AB |? 26?(1) 12.依题意有 ? ?| AF2 | ? | BF2 |? 5?(2)
(1)-(2)得(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)=16,∴4a?=16,a=4,∵c =5,∴b=3 故所求双曲线方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1. 16 9 16 9

2.3.2 双曲线的几何性质(1) 1.A 2.C 3.A 4.B 5.

3 y2 x2 x ? ? 1 6.3 7. y ? ? 4 16 9
x2 4 y2 y2 x2 ? ?1或 ? ?1 9 81 4 9

8. ?

1 4

9.

10.设 F2(c,0),P(c,y0),因为 P 点在双曲线上,所以 y0 ? a ,

b2

b2 ? | PF2 |? a ? 在直角三角形 PF1F2 中,
∵∠PF1F2=30°,∴|F1F2|= 3 | PF | ,即 2c ? 2 (1)代入 c2=a2+b2 得

b2 3 ? a ?(1)

b ? 2 .故所求渐近线方程为 y ? ? 2x. a

? b2 4 ?1 ? a 2 ? , 3 ? 11.由题意得 ? 解方程组得 a2=3,b2=1. 3 ? ab ? , 2 2 2 ? a ?b ?
故所求双曲线方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

12.(1)

x2 ? y2 ? 1 . 4

(2)假设存在符合条件的点 A、B 关于点(4,1)对称.设 A(x1,y1)、B(x2,y2)则 x1+x2
2 x12 x2 2 2 ? y1 ? 1 与 ? y2 ? 1 相减得 kAB=1. =8,y1+y2=1 由 4 4 x2 ? y 2 ? 1 得 3x2-24x+40=0,?>0. 故 AB 的方程为 x-y-3=0,代入 4

所以存在符合条件的直线 AB,其方程为 x-y-3=0. 2.3.2 双曲线的几何性质(2) 1.D 2.C 3.C 4.B 5. k ?

1 1 或k ? ? 3 3

6.

10 2

7.3 8.x2+y2-10x+9=0 9.

21 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ? 1. 10.所求椭圆方程为 49 36 9 4 x2 2 ? ? ( ? ? 0) 11.设双曲线方程为 y ? ? 4
当?>0 时,c2=5?=25,∴?=5,方程为

y2 x2 ? ? 1. 5 20
x2 y2 ? ? 1. 20 5

当?<0 时,c2=-5?=25,∴?=-5,方程为

y2 x2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1. 故所求双曲线方程为 5 20 20 5
12.? e ?

5 y2 x2 ,∴a=2b,设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 2 b 4b

2 2 设双曲线上的 Q(x,y)到 P 点距离最近,则|PQ|= x ? ( y ? 5)

消去 x 得|PQ|=

5 ( y ? 4)2 ? 5 ? b2 (| y |? 2b) 4
2
2

y2 ? x 2 ? 1. (1)0<b≤2 时, 5 ? b =2,b =1,此时双曲线方程为 4
(2)b>2 时

3 5 7 (2b ? 4)2 ? 5 ? b2 ? 2, b ? 或 b ? (舍) 2 4 2

此时双曲线方程为

y2 4x2 ? ? 1. 49 49
y2 y2 4x2 ? x2 ? 1 或 ? ? 1. 4 49 49

故所求双曲线方程为

2.4

抛物线

2.4.1 抛物线的标准方程 1.D 2.B 3.B 4.C 5.(18,12)或(18,-12) 6.x2=±3y 或 y2=±3x 7.(0,-2);y=2 8.y2=16x 或 x2=-8y 9. 3 10.解方程组 ?

? y ? ? 2 x, ? 得直线 y ? ? 2 x 与圆 x2+y2-6x=0 的交点为 2 2 ? x ? y ? 6 x ? 0. ?

A(0,0)、B(2, ? 2 2 ),所以抛物线方程可设为 x2=-2py 或 y2=2px(p>0) B(2, ? 2 2 )坐标代入得所求抛物线方程为 x2 ? ? 2 y 或 y2=4x.
2 2 11.设动圆圆心为 P(x,y),则有 ( x ? 2) ? y ? 2? | x | 2 2 (1)x≥0 时,有 ( x ? 2) ? y ? 2 ? x ,化简得 y2=8x. 2 2 (2)x<0 时,有 ( x ? 2) ? y ? 2 ? x ,化简得 y=0(x<0).

所求圆心的轨迹方程为 y2=8x(x≠0)或 y=0(x<0). 12.因为 Q 在椭圆上,所以|QF1|+|QF2|=4…(1). 在三角形 F1QF2 中,由余弦定理得: |QF1|2+|QF2|2-2|QF1||QF2|cos60°=|F1F2|2=12…(2) 由(1)(2)得|QF1||QF2|=

4 1 3 , S ?F1QF2 ? | QF1 || QF2 | sin 60? ? ? 3 3 2 1 3 1 4 2 . | F1F2 | y0 ? ,? y0 ? , x0 ? 3 3 2 3

设 Q(x0,y0),则 x0>0,y0>0,? S ?F1QF2 ?
2 ? y0 ? px0 ,? p ?

2 2 2 x. .故所求抛物线方程为 y ? 24 24

2.4.2 抛物线的几何性质(1) 1.D 2.B 3.D 4.B 5.2 6. 4 2 7.5.625 8. ( ,0)

4 3

9. 2 p

10.设 AB 方程为:y=x+b,代入 y=-x2+3 得 x2+x+b-3=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-1,y1+y2=x1+b+x2+b=(x1+x2)+2b=-1 +2b. ∴AB 的中点为 (?

1 1 , ? ? b) . 2 2

? AB 的中点在 x+y=0 上, 1 1 ∴ ? ? ? b ? 0 ,∴b=1.∴ |AB|= 3 2 . 2 2

?62 ? 2 px ? 11.依题意设 P(x,±6),则 ? ∴x=9,P=2 或 x=1,P=18. p ? x ? ? ? 10 2 ?
点 P 的横坐标为 9, 抛物线方程为 y2=4x; 或点 P 的横坐标为 1, 抛物线方程为 y2=36x. 12.(1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 y1y2=-4p2,x1 x2=4p2 均为定值. (2)直线 AB 的方程可化为 2p(x-2p)-(y1+y2)y=0,所以直线 AB 过定点(2p,0). 2.4.2 抛物线的几何性质(2) 1.B 2.A 3.C 4.C 5.

2 5 5

6. x ?
2

1 y 2

7.(1,0)

8.(x-1)2+y2=4 9. y ? x ?
2

1 4

10.设抛物线与圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2)(不妨设 y1>0). 则|y1|+|y2|= 2 3. 且|y1|=|y2|, ∴y1= 3 代入圆的方程得:A(1, 3 )或 A(-1, 3 ). 故所求抛物线方程为 y2=3x 或 y2=-3x.

11.分别过点 A、B 作 AA1、BB1 与准线垂直, 垂足分别为 A1、B1,由|BC|=2|BF|得 |BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°. 由此得直线 AB 的倾角为 60°. ∴直线 AB 的方程为 y ?
2

3( x ?

p ), 2

3 2 p ? 0. 4 5 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1 ? x2 ? p . 3 1 由|AF|=3 得|AA1|=3, |AC|=3,|AC|=6,于是|CF|=|AC|-|AF|=3 2 1 P p 8 ?| BF |? | CF |? 1, | AB |?| AF | ? | BF |? 4 ,所以 x1 ? ? x2 ? ? p ? 4 3 2 2 3 3 p ? ,所求抛物线方程为 y2=3x. 2
代入 y2=2px 得 3 x ? 5 px ?

12.设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x,y),
2 2 则 x1+x2=2x, x1 ? x2 ? 2 y . 2 2 由|AB|=a 得(x1-x2)2+( x1 - x2 )2=a2,(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=a2

(1 ? 4 x 2 )( y ? x 2 ) ?
(1)a≥1 时, y ?

1 a2 a2 2 ? 1) , y ? (4 x ? 1 ? 4 x 2 ?1 4 4

2a ? 1 a ?1 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. 4 4 2a ? 1 故中点 M 离 x 轴的最近距离为 . 4 a2 a2 2 ? 故中点 M 离 x 轴的最近距离为 ? (2)0<a<1 时, +1=1, 4x x=0 时, 最小值为 y 4 4 1 1 (1)另解:由抛物线定义得, | AF |? y1 ? , | BF |? y2 ? ? 4 4 y ? y2 1 1 1 1 2a ? 1 y? 1 ? (| AF | ? | BF | ? ) ? (| AB | ? ), y ? ,当且仅当 AB 过焦 2 2 2 2 2 4 2a ? 1 点 F 等号成立.由 a≥1,得弦 AB 可过焦点,故中点 M 离 x 轴的最近距离为 . 4

2.5
1.C 2.A 3.A 4.D 5.(1)(3)(4) 6. 2

直线与圆锥曲线
2 2

7.8 8.6 9.

10.设点 C(x,y),则|CA|-|CB|=±2,由双曲线的定义,可得 C 点轨迹方程为

? 2 y2 y ? 1, ?x ? x2 ? =1.由 ? 得 x2+4x-6=0,得|DE|= 4 5 . 2 2 ?y ? x ? 2 ?
2

11.(1)k=-4. (2)直线 AB 的方程为 2x-y-4=0,设 P(x0,0),则 P 点到直线 AB 的距离为 d=

| 2 x0 ? 4 | 1 | 2 x0 ? 4 | ? 由三角形面积为 9, ? 3 5 ? ?9, ∴ 解得 x0=-1 或 x0=5, 所求 P(- 2 5 5
1,0)或 P(5,0). 12.(1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由 ?

? y ? x ? 1, ?ax ? y ? 2
2 2

得(a+1)x2+2x-1=0

∵四边形 OAPB 为矩形,∴OA⊥OB.∴x1x2+y1y2=0. ? (2)设 P(x,y),则 OP 中点为 Q ( , ) .

2 2 ? +1=0, a ? 3 . a ?1 a ?1

x y 2 2

?2 x12 ? y12 ? 2, y1 ? y y1 ? y y1 ? y ? ? 2 ? x ? x 2 ? x ? x 2 ? 0 ∵l 恒过(0,1)点,当 x≠0 时, x ? x 2 ? ? 2 2 1 2 1 2 1 2 ?2 x2 ? y2 ? 2, ?

y y ?1 ?1 y 2 2 ?2 ? ? ? 0. x x x 2 2
化简得 2x2+y2-2y=0.当 x=0 时,P(0,2),显然满足 2x2+y2-2y=0. ∴P 点轨迹方程为:2x2+y2-2y=0.(y≠0). 单元达标 1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6. ?

3 16

7. y ?
2

1 px ( x ? 0) ? 2

8.2 9.

1 2 3 2

10.由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0),点 ( , 6 ) 代入得 p=2. 故此抛物线方程为 y2=4x. 在双曲线中,c=1,∴a2+b2=1…(1),因为点 ( , 6 ) 在双曲线上,

3 2

1 3 9 6 ? 2 ? 1 …(2),由(1)(2) a 2 ? , b 2 ? ? 2 4a b 4 4 2 4y 2 ? 1. 得故此双曲线方程为 4 x ? 3

11.(1)猜想: kk 0 ? ?

b2 ? 证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0),则 a2

2 2 x12 y12 x2 y 2 ? ? 1? ①, 2 ? 2 ? 1? ② a 2 b2 a b

①-②得:
2 2y (y ? y ) y12 ? y2 b2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) b2 ?? 2 ? 0 1 2 2 ? ? a2 ? x12 ? x2 a ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) 2 x0 ( x1 ? x2 )

??

b2 b2 ? k0 k ? ? 2 ? a2 a 1 ( x ? x0 ) . k

(2)F(1,0),设弦 AB 的中点为 M(x0,y0),则 l1 的方程为 y-y0= ? 令 y=0,得:d=ky0+x0…③

3 3 ? y0 ? ? x0 k ? ? 4 , ?ky0 ? ? 4 x0 , ? ? 由? 解得 ? 2 ? x ? 4k ? ? k ? k ? y0 , FM ? 0 4k 2 ?3 ? x0 ?1 ? ?
k2 1 , k 2 ? (0,?? ) 所以,截距 d 的取值范围是 0 ? d ? . 代入③得: d ? 4 k 2 ?3 4

12.(1)直线 l 的方程为:y=tan30°(x+3),即 x ? 3 y ? 3 ? 0. 椭圆方程为:

x2 y2 ? ? 1. 6 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 (2)由 ? 6 得:2x2+6x+3=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2) ?x ? 3 y ? 3 ? 0 ?
则 x1+x2=-3,x1x2=

3 1 2 ,所以|AB|= (1 ? )(x1 ? x2 ) ? 2 . 2 3 1 3 3 , ) ,∴|F1M|=1= |AB|. 2 2 2

设弦 AB 的中点为 M,则 M (?

故点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上.

(3)设 H(x0,y0),则 y0≠0 时,CD 方程为 y-y0= ? y0 ( x ? x0 ) . 0
2 2 x0 x0 x0 x0 即 y ? ? y x ? y0 ? y ,记 k ? ? y ? ①, m ? y0 ? y ? ② 0 0 0 0

x

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0. ? 6 ? 2 ?1 ?

6km 3m2 ? 6 , x3 x4 ? ? 设 C(x3,y3),D(x4,y4),则 x3+x4= ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
∵OC⊥OD,∴x3x4+y3y4=0,化简得 2m2=3k2+3. ①②代入并化简得 x0 ? y0 ?
2 2

3 ? 2

? x ? x0 , ? 当 y0=0 时,由 ? x 2 y 2 ? 6 ? 2 ?1 ?
得 x3=x4=x0,y3=
2 2 6 ? x0 6 ? x0 , y4 ? ? ? 3 3
2

3 3 2 2 ,H 点的坐标也适合方程 x0 ? y0 ? . 2 2 3 2 2 综上点 H 的轨迹方程为 x ? y ? . 2
代入 x3x4+y3y4=0 得, x0 ?



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