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2017届江苏省南京市高三年级学情调研数学试题



南京市 2017 届高三年级学情调研


注意事项:



2016.09

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡

上.试题的答案写在答题卡 上对应 ... 题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 1 锥体的体积公式:V=3Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答 题卡 相应位置 . .. .... 上. 1.已知集合 A={0,1,2},B={x|x2-x≤0},则 A∩B= 2.设复数 z 满足(z+i)i=-3+4i (i 为虚数单位), 则 z 的模为 ▲ .
0.04 0.03 0.01 40 50 60 70 80 时速/km




频率 组距

3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机

抽测了通过这段公路的 200 辆汽车的时速,所得数 0.02 据均在区间[40, 80]中, 其频率分布直方图如图所示, 则在抽测的 200 辆汽车中,时速在区间[40,60)内的 汽车有 ▲ 辆.
开始 k←1 S←1

(第 3 题)

π 4.若函数 f(x)=sin(ωx+6) (ω>0)的最小正周期为 π, π 则 f(3)的值是 ▲ . ▲ .

5.右图是一个算法的流程图,则输出 k 的值是 6.设向量 a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b. 若 a∥c,则实数 x 的值是 ▲ .

S←2S+k S>80 Y 输出 k 结束

k←k+1 N

7.某单位要在 4 名员工(含甲、乙两人)中随机选 2 名到某、地 出差,则甲、乙两人中,至少有一人被选中的概率是 ▲ .

(第 5 题)

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C:a2 - 4 =1(a>0)的一条渐近线与直线 y=2x +1 平行,则实数 a 的值是 ▲ .

9.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=16 相 交于 A,B 两点,且△ABC 为直角三角形,则实数 a 的值是 ▲ .

10.已知圆柱 M 的底面半径为 2,高为 6;圆锥 N 的底面直径和母线长相等.若圆柱 M 和 圆锥 N 的体积相同,则圆锥 N 的高为 ▲ .

11.各项均为正数的等比数列{an},其前 n 项和为 Sn.若 a2-a5=-78,S3=13,则数列{an} 的通项公式 an= ▲
3



?12x-x , x≤0, ? 12. 已知函数 f(x)=? 当 x∈(-∞, m] 时,f(x)的取值范围为 [-16, +∞), x>0. ?-2x, ?

则实数 m 的取值范围是





→ 1→ → → 13.在△ABC 中,已知 AB=3,BC=2,D 在 AB 上, AD =3 AB .若 DB · DC =3,则 AC 的长 是 ▲ .

1 14 .已知 f( x ) , g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f( x ) + g ( x)= (2) x .若存在 1 x0∈[2,1],使得等式 af(x0)+g(2x0)=0 成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答 题卡 指定区域内 作答,解答时应写出文 . .. ..... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 以 x 轴正半轴为始边的锐角 α 和钝角 β 的终边分别与 3 10 2 5 单位圆交于点 A,B.若点 A 的横坐标 是 10 ,点 B 的纵坐标 是 5 . ... ... (1)求 cos(α-β)的值;
B y

(2)求 α+β 的值.
O

A x

(第 15 题)

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M,N 分别为线段 A1B,AC1 的中点. (1)求证:MN∥平面 BB1C1C;
B D A

(2)若 D 在边 BC 上,AD⊥DC1,求证:MN⊥AD.

C

M

N C1

B1 A1 (第 16 题)

17. (本小题满分 14 分) 如图,某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心,AB 为直径),现 计划对其进行改建.在 AB 的延长线上取点 D,OD=80 m,在半圆上选定一点 C,改建后 的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成,其面积为 S m2.设∠AOC=x rad. (1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x),并指出 x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积 S 取得最大值.
C

A

O

B

D

(第 17 题)

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1, → → F2,P 为椭圆上一点(在 x 轴上方) ,连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q,设PF1=λF1Q. 3 (1)若点 P 的坐标为 (1,2),且△PQF2 的周长为 8,求椭圆 C 的方程; (2)若 PF2 垂直于 x 轴,且椭圆 C 的离心率 1 2 e∈[2, 2 ],求实数 λ 的取值范围.
F1 Q O F2 x y P

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 a2·a3=15,S4=16. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)数列{bn}满足 b1=a1,bn+1-bn=a ·a . n n+1 ①求数列{ bn}的通项公式; ②是否存在正整数 m,n(m≠n),使得 b2,bm,bn 成等差数列?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R. (1)当 a=b=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)当 b=2a+1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)当 a=1,b>3 时,记函数 f(x)的导函数 f ′(x)的两个零点是 x1 和 x2 (x1<x2). 3 求证:f(x1)-f(x2)> -ln2. 4

南京市 2017 届高三年级学情调研
数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题目 ... 的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 . 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 为 圆 O 的一条弦,C 为圆 O 外一点. CA,CB 分别交圆 O 于 D,E 两点. 若 AB=AC,EF⊥AC 于点 F,求证:F 为线段 DC 的中点.
B

2016.09

O

E

B.选修 4—2:矩阵与变换
A D F C

已知矩阵 A=?

? 2 -2? ? 1 0? ?,B=? ? ,设 M=AB. ? 0 -1? ? 1 -3?

(第 21 题 A)

(1)求矩阵 M ; (2)求矩阵 M 的特征值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 已知曲线 C 的极坐标方程为 ?=2cosθ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(θ+6)=m.若直 线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点,求实数 m 的值.

D.选修 4—5:不等式选讲 解不等式 |x-1|+2|x|≤4x.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解 . ....... 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 线段 PC 的中点.
P

(1)求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小; (2)若点 F 在线段 PB 上,使得二面角 F-DE- 3 PF B 的正弦值为 3 ,求PB的值.
F D A (第 22 题) B C E

23. (本小题满分 10 分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人 2 2 都已投球 3 次时结束.设甲每次投篮命中的概率为 5,乙每次投篮命中的概率为 3,且各次 投篮互不影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望.

南京市 2017 届高三年级学情调研 数学参考答案及评分标准 说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.) 1.{0,1} 5 7.6 13. 10 2.2 5 8.1 3.80 9.-1 1 4.2 10.6 5.5 11.3n
-1

6.4 12.[-2,8]

5 14.[2 2,2 2]

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (本小题满分 14 分) 3 10 解: 因为锐角 α 的终边与单位圆交于 A,且点 A 的横坐标是 10 , 3 10 所以,由任意角的三角函数的定义可知,cosα= 10 , 10 从而 sinα= 1-cos2α= 10 . 2分 2 5 因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B,且点 B 的纵坐标是 5 , 2 5 5 所以 sinβ= 5 , 从而 cosβ=- 1-sin2β=- 5 . 分 (1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 3 10 5 10 2 5 2 = 10 ×(- 5 )+ 10 × 5 =- 10 . …………………… …………………… 4 ……………………

8分 (2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 10 5 3 10 2 5 2 = 10 ×(- 5 )+ 10 × 5 = 2 . 11 分 π 3π 因为 α 为锐角,β 为钝角,故 α+β∈(2, 2 ), 3π 所以 α+β= 4 . 14 分 16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)如图,连结 A1C. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 为平行四边形. 又因为 N 为线段 AC1 的中点, 所以 A1C 与 AC1 相交于点 N, 即 A1C 经过点 N,且 N 为线段 A1C 的中点. 因为 M 为线段 A1B 的中点, 所以 MN∥BC. 又 MN?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C, 所以 MN∥平面 BB1C1C. 分 (2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 分 因为 AD⊥DC1,DC1?平面 BB1C1C,CC1?平面 BB1C1C,CC1∩DC1=C1, 所以 AD⊥平面 BB1C1C. 分 又 BC?平面 BB1C1C,所以 AD⊥BC. 分 又由(1)知,MN∥BC,所以 MN⊥AD. 分 17. (本小题满分 14 分) …………………… 14 …………………… 12 …………………… 10 …………………… 8 …………………… 6 ……………… 4 分 ……………… 2 分
B1 A1 (第 16 题) M N C1 B A D C

……………………

……………………

解: (1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m,∠AOC=x rad, 所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC= 分 在△ COD 中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x, 1 所以△ COD 的面积 S△ COD=2·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx. …………………… 4分 从而 S=S△ COD+S 扇形 AOC=1600sinx+800x,0<x<π. 分 (2)由(1)知, S(x)=1600sinx+800x,0<x<π. 1 S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+2). 8分 2π 由 S′(x)=0,解得 x= . 3 2π 2π 从而当 0<x< 时,S′(x)>0;当 <x<π 时, S′(x)<0 . 3 3 2π 2π 因此 S(x)在区间(0, )上单调递增; 在区间( , π)上单调递减. …………………… 11 3 3 分 2π 所以 当 x= 3 ,S(x)取得最大值. 2π 答: 当∠AOC 为 3 时, 改建后的绿化区域面积 S 最大. 分 18. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为 F1,F2 为椭圆 C 的两焦点,且 P,Q 为椭圆上的点, 所以 PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2 的周长为 4a. 由题意,得 4a=8,解得 a=2. 分 3 1 9 因为点 P 的坐标为 (1,2),所以a2+4b2=1, 解得 b2=3. …………………… 2 …………………… 14 …………………… …………………… 6 x·OA2 2 =800x,0<x<π. …………………… 2

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. 分

…………………… 5

(2)方法一:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0.设 Q(x1,y1). 2 c2 y0 b2 b2 因为 P 在椭圆上, 所以a2+ b2 =1, 解得 y0= a , 即 P(c,a ). 7分 b2 → → 因为 F1(-c,0),所以PF1=(-2c,- a ),F1Q=(x1+c,y1). b2 → → 由PF1=λF1Q,得-2c=λ(x1+c),- a =λy1, λ+2 λ+2 b2 b2 解得 x1=- λ c, y1=-λa, 所以 Q(- λ c, -λa). 分 λ+2 b2 因为点 Q 在椭圆上,所以( λ )2e2+λ2a2=1, 即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1, 因为 λ+1≠0, 3e2+1 4 所以(λ+3)e2=λ-1, 从而 λ= -3. 2= 1-e 1-e2 分 1 2 1 1 7 因为 e∈[2, 2 ],所以4≤e2≤2,即3≤λ≤5. 7 所以 λ 的取值范围为[3, 5]. 分 方法二:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0. 2 c2 y0 b2 b2 因为 P 在椭圆上, 所以a2+ b2 =1, 解得 y0= a , 即 P(c,a ). 7分 b2 因为 F1(-c,0),故直线 PF1 的方程为 y=2ac(x+c). …………………… 16 …………………… 14 …………………… 11

……………………

……………………

由 x2 y2 a2+b2=1,

? ? ?

b2 y=2ac(x+c),

得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.

b2 因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c, a ).设 Q(x1,y1), 则 2b2c . 4c2+b2 → → 因为PF1=λF1Q, 所 以 3. 4c2+b2 3c2+a2 3e2+1 2c 4 λ = = = = = = - b2 -c-x1 a2-c2 1-e2 1-e2 …………………… 14 分 1 2 1 1 7 因为 e∈[2, 2 ],所以4≤e2≤2,即3≤λ≤5. 7 所以 λ 的取值范围为[3, 5]. 分 19. (本小题满分 16 分) 解: (1)设数列{an}的公差为 d,则 d>0.
?(a1+d)(a1+2d)=15, 由 a2·a3=15,S4=16,得? ?4a1+6d=16, ?a1=1, ?a1=7, 解得? 或 ? (舍去) ?d=2, ?d=-2.

x1



c





2b2c 4c2+b2







c



x1



…………………… 11 分

…………………… 16

所以 an=2n-1. 分 1 (2)①因为 b1=a1,bn+1-bn= , an·an+1 所以 b1=a1=1, bn+1-bn= 6分 即 1 1 b2-b1=2(1-3), 11 1 b3-b2=2(3-5), …… 1 1 1 bn-bn-1=2( - ), (n≥2) 2n-3 2n-1 n-1 1 1 累加得: bn-b1=2(1- )= , 2n-1 2n-1 分 1 1 1 1 1 = =2 ( - ), an·an+1 (2n-1)·(2n+1) 2n-1 2n+1

…………………… 4

……………………

…………………… 9

n-1 n-1 3n-2 所以 bn=b1+ =1+ = . 2n-1 2n-1 2n-1 b1=1 也符合上式. 3n-2 故 bn= , n∈N*. 2n-1 分 ②假设存在正整数 m、n(m≠n),使得 b2,bm,bn 成等差数列, 则 b2+bn=2bm. 3n-2 3 4 1 3 1 又 b2=3,bn= = - ,bm=2- , 2n-1 2 4n-2 4m-2 4 3 1 3 1 1 1 1 所以3+(2- )=2(2- ),即 =6+ , 4n-2 4m-2 2m-1 4n-2 7n-2 9 化简得: 2m= =7- . n+1 n+1 分 当 n+1=3,即 n=2 时,m=2, (舍去) ; 当 n+1=9,即 n=8 时,m=3,符合题意. 所以存在正整数 m=3, n=8, 使得 b2, bm, bn 成等差数列. 分 20. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为 a=b=1,所以 f(x)=x 2-x+lnx, 1 从而 f ′(x)=2x -1+x . 因为 f(1)=0,f ′(1)=2,故曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-0=2(x-1), 即 0. 2x - y - 2 = …………………… 16 …………………… 14 …………………… 11

…………………… 3 分

(2)因为 b=2a+1,所以 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,
2 1 2ax -(2a+1)x+1 (2ax-1)(x-1) 从而 f ′(x)=2ax-(2a+1)+ = = , x>0. ………… 5 x x x

分 当 a≤0 时, x∈(0,1)时,f ′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0, 所以,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.…………………… 7 分

1 当 0<a< 时, 2 由 f ′(x)>0 得 0<x<1 或 x> 1 1 ,由 f ′(x)<0 得 1<x< , 2a 2a

1 1 所以 f(x)在区间(0,1)和区间( ,+∞)上单调递增,在区间(1, )上单调递减. 2a 2a 1 当 a= 时, 2 因为 f ′(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号) , 所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 1 当 a> 时, 2 1 1 由 f ′(x)>0 得 0<x< 或 x>1,由 f ′(x)<0 得 <x<1, 2a 2a 1 1 所以 f(x)在区间(0, )和区间(1,+∞)上单调递增,在区间( ,1)上单调递减. 2a 2a …………………… 10 分 2x2-bx+1 (3)方法一:因为 a=1,所以 f(x)=x -bx+lnx,从而 f ′(x)= (x>0). x
2

1 由题意知,x1,x2 是方程 2x2-bx+1=0 的两个根,故 x1x2=2. 1 3-b 记 g(x) =2x2-bx+1,因为 b>3,所以 g(2)= 2 <0,g(1)=3-b<0, 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 bxi=2x2 i +1 (i=1,2). 2 分 x1 x1 2 2 2 f(x1)-f(x2)=(x2 1-x2)-(bx1-bx2)+lnx =-(x1-x2)+lnx .
2 2

…………………… 12

1 1 2 因为 x1x2= ,所以 f(x1)-f(x2)=x2 2- 2-ln(2x2),x2∈(1,+∞). 2 4x2 分 2∈(2,+∞),φ(t)=f(x )-f(x )= t - 1 -lnt. 令 t=2x2 1 2 2 2t 因为 φ′(t)= (t-1)2 ≥0,所以 φ(t)在区间(2,+∞)单调递增, 2t2

……………… 14

3 3 所以 φ(t)>φ(2)= -ln2, 即 f(x1)-f(x2)> -ln2. 4 4 分

…………………… 16

2x2-bx+1 方法二:因为 a=1,所以 f(x)=x -bx+lnx,从而 f ′(x)= (x>0). x
2

由题意知,x1,x2 是方程 2x2-bx+1=0 的两个根. 1 3-b 记 g(x) =2x2-bx+1,因为 b>3,所以 g(2)= 2 <0,g(1)=3-b<0, 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 f(x)在[x1,x2]上为减函数. 2 分 1 1 b 1 3 b 所以 f(x1)-f(x2)>f( )-f(1)=( - +ln )-(1-b)=- + -ln2. 2 4 2 2 4 2 3 b 3 因为 b>3, 故 f(x1)-f(x2)>- + -ln2> -ln2. 4 2 4 分 …………………… 16 …………………… 12

南京市 2017 届高三年级学情调研 数学附加参考答案及评分标准 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:因为点 A、D、E、B 在圆 O 上,即四边形 ADEB 是圆内接四边形, 所 EDC. 因为 AB=AC, 所以∠B=∠C. 5分 所以∠C=∠EDC, 从而 ED=EC. 分 又因为 EF⊥DC 于点 F, 所以 F 为线段 DC 中点. 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1) M=AB=? 5分 (2)矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)= ? ……………………… 10 ……………………… 7 以 ∠ B = ∠

……………………… 3 分 ………………………

? 2 -2? ? 1 0? ? 2 2? ? ? ? = ? ? . ? 1 3? ? 1 -3? ? 0 -1?

………………………

? λ-2 -2 ? ? =(λ-2)(λ-3)-2 ? -1 λ-3?

令 f(λ)=0,解得 λ1=1,λ2=4, 所以矩阵 M 的特征值为 1 或 4. 10 分 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 C 的极坐标方程为 ?=2cosθ, 化为直角坐标方程为 x +y =2x. 即(x-1) +y =1,表示以(1,0)为圆心,1 为半径的圆. 3分
2 2 2 2

………………………

………………………

π 1 3 直线 l 的极坐标方程是 ? sin(θ+ )=m,即 ?cosθ+ ?sinθ=m, 6 2 2 化 0. 为 直 角 坐 标 方 程 为 x + 3 y - 2m =

……………………… 6 分 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, |1-2m| 1 3 所以 =1,解得 m=-2或 m=2. 2 1 3 所以,所求实数 m 的值为-2 或 2. ………………………

10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 解:原不等式等价于
?x≤0, ? ?1-x-2x≤4x ?x>1, ? ?x-1+2x≤4x.



?0<x≤1, ? ?1-x+2x≤4x



……………………… 6 分

?x≤0, 解? 得 x∈?; ?1-x-2x≤4x, ?0<x≤1, 1 解? 得 3≤x≤1; ?1-x+2x≤4x, ?x>1, 解? 得 x>1. ?x-1+2x≤4x.

1 所以原不等式的解集为 [3,+∞). 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)

………………………

解: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, → → → 所以 DA、DC、DP 两两垂直,故以{ DA , DC , DP }为正交基底,建立空间直角坐标系 D -xyz. 因为 PD=DC,所以 DA=DC=DP,不妨设 DA=DC=DP=2,
z 则 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0) .

因为 E 是 PC 的中点,所以 E(0,1,1).

P

E F D C y

→ → 所以 AP =(-2,0,2), BE =(-2,-1,1), → → AP · BE 3 → → 所以 cos< AP , BE >= → = → 2, | AP |·| BE | → → π 从而< AP , BE >=6. π 因此异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为6. 分 → → → (2)由(1)可知, DE =(0,1,1), DB =(2,2,0), PB =(2,2,-2). → → → → → → 设 PF =λ PB ,则 PF =(2λ,2λ,-2λ),从而 DF = DP + PF =(2λ,2λ,2-2λ). 设 m=(x1,y1,z1)为平面 DEF 的一个法向量, ……………………… 4

? ?m·→ DF =0, ?λx1+λy1+(1-λ)z1=0, 则? 即? ?y1+z1=0, ? m·→ DE =0, ?
取 z1=λ,则 y1=-λ,x1=2λ-1. 所以 m=(2λ-1,-λ,λ)为平面 DEF 的一个法向量. 设 n=(x2,y2,z2)为平面 DEB 的一个法向量, ……………………… 6 分

? ?n·→ DB =0, ?2x2+2y2=0, 则? 即? ?y2+z2=0, ?n·→ DE =0, ?
取 x2=1,则 y2=-1,z2=1. 所以 n=(1,-1,1)为平面 BDE 的一个法向量. 分 3 6 因为二面角 F-DE-B 的正弦值为 3 ,所以二面角 F-DE-B 的余弦的绝对值为 3 , 6 即 |cos<m,n >|= 3 , 所以 |m·n | 6 = , | m|·| n | 3 |4λ-1| 3· (2λ-1) +2λ
2 2=

………………………… 8

6 3,

化简得,4λ2=1,因为点 F 在线段 PB 上,所以 0≤λ≤1, 1 PF 1 所以 λ=2,即PB=2. 分 23. (本小题满分 10 分) ………………………… 10

解: (1)设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai (i=1,2,3),则 A1,A2,A3 彼此互斥. 甲获胜的事件为 A1+A2+A3. 2 P(A1)=5; 3 1 2 2 P(A2)=5×3×5=25; 3 1 2 2 P(A3)=(5)2×(3)2×5=125. 2 2 2 62 所以 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=5+25+125=125. 62 答: 甲获胜的概率为125. 4分 (2)X 所有可能取的值为 1,2,3. 2 3 2 4 则 P(X=1)=5+5×3=5; 2 3 1 3 2 4 P(X=2)=25+5×3×5×3=25; 3 1 1 P(X=3)=(5)2×(3)2×1=25. 即 X 的概率分布列为 X P 1 4 5 2 4 25 3 1 25 …………………… … 8分 4 4 1 31 所以 X 的数学期望 E(X)=1×5+2×25+3×25=25. 10 分 ……………………… ………………………



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