9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

函数教材(生活数学)



第一章

集 合

无论是海洋里的生物,还是海面上航行的轮船;无论是在海 滩上游玩的人,还是天空中美丽的风筝,无论是草原上的羊群还 是我们班级中的同学,都可以看成一个整体,构成不同的集合。

1

我们是一个新集体(一) —— 集合的概念

“我们从四面八方来组成了我 们新的班级

” 新班级所有同学” 给我们什么样的印象?……

紧张、严肃而且难忘的军训生活结 束了,回首望去,阅兵式上,那一 排排英姿飒爽的身影留给我们什 么样的印象?

走进我们明亮的新教室,新教 室所有桌子或者所有的椅子给我 们什么样的印象?

集合是现代数学的基本概念,用它可以简洁、准确地表达数学内 容。学好集合可以为今后的数学学习奠定基础,并能进一步提高运用
2

数学语言去理解和处理问题的能力。 我们再来看下面的例子: 1.所有的整数。 2.青岛经济职业学校新高一年级的所有学生。 3.方程 x2=4 的所有实数根。 4.世界最高峰。

议一议:
1.你能确定问题的结果都是什么吗? 2.这四个问题描绘的对象都有怎样的特点?

一、集合的定义: 某些确定的对象的整体就成为一个集合,也简称集. 集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 . ............... .. 二.1.集合与元素的表示: 常用大写的英文字母表示集合,如集合 A,B,M,E 等;用小写 的英文字母表示集合里的元素,如 a,b,m,e 等. 例如 A={西藏高原上的所有藏羚羊},B={方程 x2=4 的实数根} C={青岛经济职业学校新高一的全体学生} 2.集合与元素关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 集合 A,记作 a ? A ...
3

注意:元素和集合之间的关系:对任何 a 与 A,a ? A 与 a ? A 这两种情 况有且只有一种成立.

随堂练习 用 “∈”和“ ? ”填空
1、球星姚明_____{青岛经济职业学校新高一的学生} 2、数字 5_____{自然数} 三.集合特点: (1)确定性:集合中的元素必须是确定的,不能模棱两可. (2)互异性:集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象) , 相同的元素在集合中只能算作一个。 例 1:判断下列各组对象能否确定一个集合,并说明理由。 (1) 小于 10 的实数的全体 (2) 非常小的实数 (3) 英文的 26 个字母 (4) 青岛经济职业学校高一新生中高个的学生 解: (1) 、 (3)能组成集合; (2) (4)不能组成集合。 因为: (2) “非常小”没有确切的标准。 (4 ) “高个”没有确切的标准。

随堂练习
判断下列各组对象能否确定一个集合,并说明理由 (1) 中国国旗的颜色 (2) 著名的歌手
4

(3) 9 的平方根 (4) 相反数等于它本身的数 四.集合分类 1.有限集:含有有限个元素的集合 2.无限集:含有无限个元素的集合 3.空集:不含有元素的集合。记做 ?

议一议:
0、{0}、与φ 有何不同?

五.常用数集及其表示方法 (1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合。记作 N (2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集。记作 N*或 N+ (3)整数集:全体整数的集合。记作 Z (4)有理数集:全体有理数的集合。记作 Q (5)实数集:全体实数的集合。记作 R

随堂练习
用符号∈, ? 填空 (1)-1____N, 0___N,1___N, 0.1__N, (2)-1____Z, 0___Z,1___Z, 0.1__Z, (3)-1____Q, 0___Q,1___Q, 0.1__Q, (4)-1____R, 0___R,1___R, 0.1__R,
6 __ N 6 __ Z 6 __ Q

5

习题 1、1 知识技能
1、用符号∈, ? 填空: (1).1_______N, 0_______N,-4______N, 0.3_____N (2) 1_______Z, 0_______Z, -4______Z, 0.3_____Z (3) 1_______Q, 0_______Q, -4______Q, 0.3_____Q (4) 1_______R, 0_______R, -4______R, 0.3_____R (5) 1___ ? , 0_______ ? ,-4______ ? 2、说出下列集合中的所有的元素: (1)大于 2 且小于 7 的偶数构成的集合。 (2)平方等于 2 的的实数构成的集合。 3、判断下列语句描述的对象能否构成一个集合,并说明理由。 (1)小于 10 的自然数的全体; (2)经济学校所有性格开朗的高一新生; (3)非常接近 1 的数; (4)小于 2 且大于 3 的实数的全体; (5)中国所有的小河流 (6)你班所有的军训服。
6 __ R
2 ______N 2 ______Z 2 ______ Q 2 ______R

数学理解
走进新学校,肯定有许多新的景象,请你举出几个你的新学校中 集合的例子。
6

问题解决
王明同学是青岛经济学校珠宝鉴定 5 班的同学,军训时因为身体 不舒服,没能参加军训。请你完成下列问题:用符号∈, ? 填空 (1) 王明_________{珠宝鉴定 5 班} (2) 王明_________{珠宝鉴定五班军团}

7

第二节 我们是一个新集体(二) ——集合的表示方法
集合的表示方法,通常有列举法、描述法。 1、 列举法:

当集合中的元素不多时,我们就把集合中的元素一一列举出来, 写在大括号内,并用逗号分开,这种表示集合的方法叫列举法。 如, (1) 青岛经济学校所有的专业构成的集合, 可以表示为 {珠 宝,药剂,计算机,商务,视力矫正技术} 。

(2)由所有平方等于 1 的实数组成的集合,可以表示为{1,-1} ; (3)从 51 到 100 的所有整数组成的集合:{51,52,53,?,100} 例 1:用列举法表示下列集合: ⑴方程 x2-1=0 的解集; 解: {1,-1} ⑵绝对值小于 5 的偶数; 解: {-4,-2,0,2,4}
8

⑶中国古代四大发明构成的集合: 解: {造纸术、印刷术、指南针、火药} 。

随堂练习
用列举法表示下列集合: ⑴大于 3 且小于 10 的偶数的全体; ⑵绝对值等于 1 的实数的全体; ⑶比 2 大 3 的实数的全体; (4)一年中有 31 天的月份的全体。 2、性质描述法: 把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内,在各种表 示集合的方法叫性质描述法。 格式:A={x∈U| P(x)} 例 如 , 不 等 式 x ? 3 ? 2 的 解 集 可 以 表 示 为 {x ? R | x ? 3 ? 2} 或
{x | x ? 3 ? 2}

} 所有直角三角形的集合可以表示为 {x | x是直角三角形

例 2:用性质描述法表示下列集合: (1)小于 100 的自然数; (2)不等式 x+4<0 的解集; (3)大于 10 且小于 20 的自然数构成的集合;
9

(4)大于 10 且小于 20 的有理数构成的集合。

随堂练习
用性质描述法表示下列集合: (1)由山东省的省会城市构成的集合。 (2)由中华人民共和国的首都构成的集合。 (3)由高一、珠宝专业的所有同学构成的集合。 (4)绝对值等于 3 的实数的全体构成的集合。 (5)不等式 4x-5<3 的解构成的集合。

习题 1、2 知识技能
1.用列举法表示下列集合: ⑴平方为 1 的数; ⑵{x| |x|=3}; ⑶{x∈Z|-2 ? x<10}; ⑷9的平方根的全体构成的集合; ⑸一年中有 31 天的月份的全体; ⑹一年中的四季的全体。 2.用性质描述法表示下列集合: ⑴目前你所在的班级所有同学构成的集合; ⑵目前你所有的任课教师构成的集合;
10

⑶绝对值等于 3 的实数的全体构成的集合; ⑷9的平方根的全体构成的集合; ⑸大于3而小于10的实数的全体; ⑹不等式2x-1>3 的解构成的集合。

数学理解
通过两节课的学习,我们理解了集合的概念,你能说说“集合”和 “集体”的联系和区别吗?

问题解决
1、请你用两种方法表示出你所在的班级的全体班委成员构成的 集合。 2.马上就要举行运动会了, 帮助老师统计 一下你的班级中参加运动会各个项目的人员 并把他们用适当的方法表示出来。

11

第三节

我们是相亲相爱的一家人 ——集合之间的关系

走进我们经济学校的校园,你会发现一些肤色、语言、穿戴和我们 不太一样的中学生,他们是我们学校内地西藏中职班的学生,是藏 族的孩子。

想一想
集合 M={中国公民}与集合 A={西藏自治区公民}有何关系? 集合 M={中国公民}与集合 B={山东省公民}有何关系?

中国公民

中国公民

西藏公民 666666

归纳:上面两例中后者的任何一个元素都是前者的一个元素,后者是 前者的一部分,此时我们就说前集合包含后集合,或后集合包含于前 集合,也说后集合是前集合的子集。
12

一.子集的定义: 对于两个集合 A 和 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 元素,我们就说集合 A 包含于集合 B ,或集合 B 包含集合 A ,也说集 合 A 是集合 B 的子集。 记作: A ? B 或 B ? A 。读作“A 包含于 B”或“B 包含 A” 。
如图所示: B
A

根据这个定义可知,任何一个集合都是它本身的子集。即 A ? A , 如果集合 A 不包含于集合 B ,或集合 B 不包含集合 A ,就记作 A ? B (B ? A)。 读作“A 不包含于 B”或“B 不包含 A” 注意: 1. A ? B 和 B ? A 是同义的。 2.规定:空集是任何集合的子集, ? ? A 。 例 1:写出集合{a,b,c}的所有子集 解:集合{a,b,c}的所有子集有: φ {a } {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c} 8个

随堂练习
(1)写出集合{西藏公民,山东公民}的子集。 (2)写出集合{1,2,3}的所有子集。

13

二. 真子集:

如果 A ? B , 并且 B 中至少一个元素不属于 A,称集合 A 是集合 B 的 真子集.记作:A ? B(或 B ? A) 读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A” 。可用图形表示:
? ?

A

B

注意:空集是任何非空集合的真子集。 三.集合相等 定义:如果两个集合的元素完全相同,我们就说集合 A 等于集合 B 。 记作: A ? B 。 注意:. " ?"具有" ?"或" ?" 两种情况 . 根据子集、真子集定义可知: 1.对于集合 A, B, C ,如果 A ? B, B ? C ,则 A ? C . 2.对于集合 A, B, C ,如果 A ? B, B ? C ,则 A ? C .
? ?
?
?

例 2 写出集合{王珊珊,李文文,赵娜}的所有真子集. 解:集合{王珊珊,李文文,赵娜}}的真子集有: φ {王珊珊} {李文文} {赵娜} 7个 {王珊珊,李文文} {李文

文,赵娜} {王珊珊,赵娜}

随堂练习
1.写出集合{2,3,5,6}的所有真子集.

14

习题 1、3 知识技能
1、用适当的符号( ?,?, ?, ? ? )填空:
? ?

(1) a______{a,b} (3) ? ______{a,b} (5) {0}_______ ? (7) {1}_______{1,2,3} (9)0__________ ?

(2) {a}______{a,b} (4) 0__________{a,b} (6) {0}______ ?x | x2 ? 0? (8) ? _______{1,2,3} (10) {0}_______ ?

2、写出下列集合之间的关系: (1)A={x|x2-9=0}, B={-3,3}; (2)A={x|x 是等边三角形} (3)A={x|x>2}, B={x|x>4}; 3、集合{1}的子集有几个?真子集有几个? 集合{1,2}的子集有几个?真子集有几个? 集合{1,2,3}的子集有几个?真子集有几个? 总结一下,含有 n 个元素的子集有几个?真子集有几个? B={x|x 是等腰三角形};

数学理解
你知道,{中华民族}这个大家庭中有多少个民族吗?上网查一查 都有哪些名族?把它们用集 合表示出来,算一算{中华民 族}的所有子集有几个?所有 真子集有几个?
15

问题解决
我国有五个民族自治区:内蒙古自治区,新疆维吾尔自治区,宁 夏回族自治区,广西壮族自 治区,西藏自治区,你能写 出集合{中国所有自治区}的 所有子集和真子集吗?

第四节 运 动 会(一) — 集合间运算—交集

学校马上就要举行运动会了,体育委员统计了参加本次校运会 的人员他用集合 A 表示参加 200 米短跑的同学; 且 A={李丽、 王文、 张珊、 高俊、 李震、 刘振宇}; 集合 B 表示参加跳远的同学, 且 B={苏 鹏、李丽、刘振宇、姜浩}
16

想一想
C={李丽、刘振宇}与集合 A,B 之间有怎样的关系?

王 文 张 珊 李丽 高俊 姜浩 刘振宇A

苏 鹏 姜 浩

李 丽 刘振宇

B

C

1.交集的定义 一般地, 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的 交集。 记作 A∩B(读作"A 交 B") ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . 集合 A 与 B 的交集,可用图中的阴影表示:

A

B

2.交集基本性质 A∩B=B∩A; A∩A=A

A∩Ф =Ф ; A∩B=A ? A ? B

随堂练习
填空: (1) {1,2,3,6}∩{1,2,5}=___________; (2){a,b,c}∩{a,b,c}=___________, (3){a,b,c}∩Ф =__________; (4) {x|x 是运动会参加 800 米长跑的同学}∩{x|x 是运动会参加跳 高的同学}=____________;

17

例 1.设 A={x|x>-2},B={x|x<3} ,求 A∩B. 解:A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}

随堂练习
(1)设 A={x|x<-2},B={x|x>3} ,求 A∩B.

例 2.已知 A={x|x 是奇数} ,B={x|x 是偶数} ,Z={x|x 是整数} 求 A∩Z, B∩Z, A∩B 解:因为 A ? Z, B ? Z , 所以 A∩Z=A B∩Z=B

A∩B={x|x 是奇数}∩{x|x 是偶数}=Ф

随堂练习
A={x|x 是等腰三角形} ,B={x|x 是直角三角形} ,求 A∩B.

习题 1、4 知识技能
1.已知集合 A={3,4,5,6,7},B={5,7,9},求 A∩B. 2.设 A={x|x<-2},B={x|x ? 3} ,求 A∩B.
18

3、设 A={x|x>2},B={x|x<6} ,求 A∩B 4.已知集合 A=Ф ,B={1,2},求 A∩B. 5、已知集合 A={x|x2-9=0},B={x|x-3=0} ,求 A∩B

数学理解

运动会中午休息老师出了一个谜语: “刘邦闻之则喜,刘备闻之则悲” 上网查一查历史人物刘邦和刘备的故事,然后猜猜看。 不妨设集合 A={刘邦闻之则喜的事},B={刘备闻之则悲的事}, 求 A∩B

问题解决
4、运动会后,老师让体育委员统计一下,喜欢体育活动的人数,结 果是: 喜欢打篮球的有 35 人, 既喜欢打篮球又喜欢打排球的有 10 人, 既喜欢打篮球又喜欢踢足球的有 8 人,还有篮球、排球和足球都喜欢 的有 3 人,问只喜欢打篮球的有多少人?

19

第五节 运 动 会(二) — 集合间运算—并集
上节课体育委员统计了参加本次校运会的人员他用集合 M 表示 参加投铅球的同学;且集合 M={刘振、王俊、张宇};集合 N 表示 参加标枪的同学,且 N={苏瑞、王俊、刘振、赵泽浩}

想一想
P={刘振、王俊、张宇、苏瑞、赵泽浩}与集合 A,B 之间有怎样的关 系?
张宇 刘振 王俊 苏瑞 赵泽浩 刘振 王俊 张宇 苏瑞 赵泽浩

M 1.并集的定义

N

P

一般地,由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并 集。 记作 A ? B(读作"A 并 B") ,即 A ? B={x|x∈A 或 x∈B} .

20

集合 A 与 B 的并集,可用图中的阴影表示:

A?B

随堂练习
填空: (1) {1,2,5} ? {1,2,3,6}=___________ (2){a,b,c} ? {a,b,c}=___________, (3){a,b,c} ? Ф =__________; (4){x|x 是运动会参加掷标枪的同学}∪{x|x 是运动会参加掷铅球的 同学}=____________; 2.并集的基本性质 A ? B=B ? A; A ? A=A; A ? Ф =A; A ? B=B ? A ? B

例1. 设 A={x|x>-2},B={x|x<3} ,求 A ? B. 解:A ? B.={x|x>-2} ? {x|x<3}=R

随堂练习
求 A ? B. (1)A={x|x<-2},B={x|x>3} (2)A={x|x<-2},B={x|x<3} 例 2.已知 A={x|x 是奇数} ,B={x|x 是偶数} ,Z={x|x 是整数} 求 A∪Z, B∪Z, A∪B
21

解:因为 A ? Z, B ? Z , 所以 A∪Z=Z B∪Z=Z

A∪B={x|x 是奇数}∪{x|x 是偶数}=Z

随堂练习
A={x|x 是锐角三角形} ,B={x|x 是钝角三角形} ,求 A ? B.

习题 1、5 知识技能
1.已知集合 A={3,4,5,6,7},B={5,7,9},求 A ? B. 2.设 A={x|x<-2},B={x|x ? 3} ,求 A ? B. 3.已知集合 A=Ф ,B={1,2},求 A ? B. 4. 集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形} 求出 A∩B 和 A ? B.

问题解决
1.入场式结束,主席台广播:各班派两名没有任何项目的同学作为 服务人员。如果设: 集合 Z={x|x 是本班的同学},A={x|x 是参加本 班运动会中有项目的同学},B={x|x 是本班选派的大会服务的同学} 求 A∪Z, B∪Z, A∪B

22

第六节 歌 咏 比 赛 — 集合间运算—补集

1.

想一想
国庆节马上就要到了,学校要举行“歌唱祖国”歌咏比赛。我们 假设集合 U={全班同学组成的集合},集合 A={参加这次歌咏比赛的 同学},集合 B={没有参加这次歌咏比赛的同学}.那么这三个集合之间 有什么样的关系呢? 容易看出,集合 B 就是集合 U 中所有不属于集合 A 的元素构成 的集合。 2.M= {1,2,3,4} ,A={1,2}, B={3, 4},集合 B 与集合 S、 A 间有何关系? 容易看出,集合 B 就是集合 U 中所有不属于集合 A 的元素构成 的集合。 1.全集定义: 如果集合 U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合 就可以看作是一个全集。 2.补集定义: 一般地,设 U 是一个集合,A 是 U 的一个子集(即 A ? U) ,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U 中子集 A 的补集。记作 CUA,即 CUA={x|x∈U,但 x ? A} 如下图所示:绿色部分为集合 A 在全集 U 中的补集。

23

U
A

C UA

注意:一个集合的补集是相对于全集来说的,它与全集有密切的 关系。

随堂练习
填空: (1) 设全集 U={1,2,3,4,5,6 }, A={,1,3,5},CUA=_______________________
A ? CU A =__________, A ? CU A =___________,

CU (CU A) ? _________

(2) 设全集 U={a,b,c,d }, A= {a,b} ,CuA=_______________________
A ? CU A =__________, A ? CU A =___________.

CU (CU A) ? _________

(3)设全集 U={ x|x 是实数},Q={ x|x 是有理数},CUQ=__________
Q ? CU Q =__________, Q ? CU Q =___________. CU (CU Q) ? _________

3.性质:由补集的定义可知,对任意集合 A,有如下性质:
A ? CU A ? ? , A ? CU A ? U , CU (CU A) ? A

24

例 1:设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3} 求 CUA;A ? (CUA);A ? (CUA); 解:CUA={ 4,5 }
A ? CU A ? ?
A ? CU A ? U ={1,2,3,4,5}

例 2: 设全集 U={x|x 是小于 9 的正整数}, A= {1,2,3} ,B= {3,4,5,6} , 求 CUA;CUB;(CUA) ? (CUB);(CUA) ? (CUB) 解:U={x|x 是小于 9 的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8} CUA={4,5,6,7,8} CUB={1,2,7,8} (CUA) ? (CUB)={4,5,6,7,8} ? {1,2,7,8}={1,2,4,5,6,7,8} (CUA) ? (CUB)={4,5,6,7,8} ? {1,2,7,8}={7,8}

习题 1、6 知识技能
1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5, } 求 CUA;A ? (CUA);A ? (CUA); 2.设 A={x|x<-2},B={x|x ? 3} ,求 CUA;CUB;
2 C A ? {5} , 3.已知全集 U= {2,3, a ? 2a ? 3} ,若 A ? {b,2} , U

求实数 a,b.

数学理解
一个集合的补集是相对于全集来说的,它与全集有密切的关系.
25

求集合 A={高一 4 班男生}的补集,如果全集是 U={高一 4 班学 生},那么所求的补集为_______________;如果全集是 I={青岛经济 职业学校学生},那么补集应为__________________________.

问题解决

学校规定了 12 首必选歌曲,设集合 U={ <我的中国心> ,<龙的传 人>, <大中国> ,<红旗飘飘> ,<精忠报国> ,<我的祖国> ,<绿叶对根 的情意> ,<爱我中华>, <中国永远收获着希望> ,<走进新时代> ,< 中国的春天> ,<锦绣中华>} 其中高一 10 个班级共选唱 6 首,设为集合 A={ <我的中国心> , <龙的传人>, <大中国> ,<红旗飘飘> ,,<我的祖国> ,<爱我中华>, } 求 CuA=_________________________________,
A ? CU A =_________________________________,

A ? CU A =_________________________________,

________________________。 CU (CU A) ? _________

26

第七节 爬毛公山 — 充要条件

想一想
十月的秋天,秋高气爽。部分同学相约国庆节长假期间出去爬山 游玩。王浩同学说“如果明天不下雨,我们就去爬毛公山。”刘敏同 学说“如果明天下雨,我们就不去了。 ” 王浩同学说的“明天不下雨”和“我们去爬毛公山”有什么样的 关系呢? 刘敏同学说的“明天下雨”和“我们不去爬毛公山”有什么样的 关系呢? 在数学中,我们也经常用“如果 p,那么 q”的形式,当“如果 p, 那么 q”正确时,我们就说“p 可以推出 q”记作 p ?q 读作“P 推出 q” 此时,我们就说 p 是 q 的充分条件,又称 q 是 p 的必要条件。 也就是说: “如果 p,那么 q”是正确的命题; p ?q
27

p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 这四句话的含义是相同的。

随堂练习
1、判断命题的对错并填空: (1) 若x ? y, 则x2 ? y 2 ( )
x ? y ___________ x2 ? y 2

x ? y是x2 ? y 2的 ______ 条件 ;

x2 ? y 2是x ? y的 ______ 条件

(2) 若a ? 3, 则a ? 0 (
a ? 3是a ? 0的 ______ 条件

) ;

a ? 3___________ a ? 0
a ? 0是a ? 3的 ______ 条件

2、用“充分“或者“必要”条件填空

1. x ? 3是x2 =9的 ______ 条件
2. x ? 4是x ? 2的 ______ 条件
3. x ? R是x ? Z的 ______ 条件

4. x =5是x ? ?5的 ______ 条件
如果 p ?q 且 q ?p,那么我们就称 p 是 q 的充要条件,记作 p ?q 读作“p 和 q 等价”或者“p 与 q 互为充要条件” 。 例:指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件? (在“充分” 、 “必要” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”中选 出一种) (1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0.
28

(2)p:同位角相等;q:两直线平行 (3)p:x=3;q:x2=9. (4)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平行四边 解:(1)∵(x-2)(x-3)=0 x-2=0,

x-2=0 ? (x-2)(x-3)=0, ∴p 是 q 的必要而不充分条件; (2)∵同位角相等 ? 两直线平行, ∴p 是 q 的充要条件; (3)∵x=3 ?x2=9, x2=9 x=3,

∴p 是 q 的充分而不必要条件; (4)∵四边形的对角线相等 四边形是平行四边形, 四边形的对角线相等 四边形是平行四边形, ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.

习题 1、7 知识技能
1、用“充分”或“必要” “充要”填空, (1) .a 和 b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 _______ 条件; (2) . “四边相等”是“四边形是正方形”的 _________ 条件; (3) . “x ? 3”是“|x| ? 3”的 _________ 条件; (4) .x2=1 是 x=±1 的_____条件 (5).“a=2,b=3”是“a+b=5”的 _______ 条件;
29

(6).“个位数字是 5 的自然数”是“这个自然数能被 5 整除”的 ______条件。 (7).x ,y∈R,则 x=0 且 y=0 是 x2+y2=0 的_____条件 (8) “四边形的对边平行且相等” . 是 “四边形为平行四边形” 的_____ 条件 2、填空:

1. x2 =4的充要条件是________
2. x2 +y 2 =0的充要条件是_______

3. x =9的充要条件是________

4. x ? 3 + y ? 2 =0的充要条件是________
问题解决
应用本节课所学的知识,理解本课开始提到的王浩和刘敏说的 话,想一想, “明天不下雨”和“我们去爬毛公山”有什么样的关 系。 “明天下雨”和“我们不去爬毛公山”有什么样的关系。 你能举出现实生活中互为充要条件的两句话吗?

30

回 顾 与 思 考

1.什么叫集合?集合都有哪些特点? 2.集合有哪些表示方法?你会用它们表示集合吗? 3.集合之间都有什么关系?

B A

4.集合之间的基本运算有哪些? 交集运算:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . 并集运算:A ? B={x|x∈A 或 x∈B} . 补集运算:CUA={x|x∈U,但 x ? A}.

5.什么是充分条件?什么是必要条件?充要条件?

复 习 题 知识技能
1.已知集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},C={6,7,8,9,}求: (1)A∩B,B∩C,A∩C (2)A ? B,B ? C,A ? C 2.用适当的符号( ?,?, ?, ?, ? )填空:
31

⑴ 2______{x|x 是奇数} ⑵ a_____{a} (3){0}______Ф (4)Z______R (5){a,b,,c,d}_________{b,a,c,d} (6){2,3}_____{x ? Z |0<x<5} 3.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},B={3,4,5},C={4,7,8}, 求:CUA,CUB,CUA∩CUB,CUA ? CUB 4. 用“充分”或“必要” “充要”填空, (1). x ? 3是x ? 5的 ______ 条件 。 (2). a≠0 是 ab≠0 的_____条件。 (3). x= - 3 且 y= 2 是 (x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 0 的__________条件。 (4)同位角相等时两直线相等的_________条件。 (5)两个三角形面积相等是两个三角形全等的______条件。

问题解决 1、用适当的方法表示下列集合:
(1)中国国旗图案颜色的全体所构成的集合。 (2)地球上最高的山峰所构成的集合。 (3)大于 1 且小于 100 的整数的全体构成的集合。 (4)能被 4 整除的所有自然数所构成的集合。 (5)相反数等于本身的实数的全体所构成的集合。 (6)绝对值等于 2 的实数的全体所构成的集合。
32

(7)9 的平方根的全体所构成的集合。 2.已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形}, 求 A∩B,A ? B

3.设方程 x2 ? px ? 3 ? 0 的解集为 A,方程 x2 +2x+q ? 0
且 A ? B ? {3}

的解集为 B,并

求(1)的值; (2 ) A ? B

阅读和实践
康托尔与集合论
在原始社会早期人类就有了集合思 想,当时人们按照“堆”、 “捆”等概 念来分东西和按照 “部落”来识别不同 的人就是集合思想的简单应用。 现在集合知识是由德国数学家康托 尔(1845~1918)创立起来的. 他主要研究 无限集合的性质。 在 1874—1876 年期间,德国数学家康托尔向 神秘的无穷宣战。 他成功地证明了一条直线上的点 能够和一个平面上的点一一对应, 也能和空间中的 点一一对应。这样看起来,1 厘米长的线段内的点
33

与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,这个有趣 的事实,是康托尔的理论创造。集合论不仅有趣而且十分有用,集合 论已成为现代数学的基础之一。 后来几年, 康托尔对这类 “无穷集合” 问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论。 康托尔的集合论是现代数学中意向很有价值的内容,但在当时由 于人们对康托尔方法的不理解, 康托尔的集合理论并没有马上被理认 可。 他受到了多方面的责难, 这其中包括他的老师克罗内克。 有人说, 康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚 至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了 康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院。 真金不怕火炼,康托尔的思想终于大放异彩。1897 年举行的第一 次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗 素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜 悦。1918 年 1 月 6 日,康托尔在一家精神病院去世,享年 71 岁。 康托尔一生热爱数学,面对问题勇于运用智慧创造性地工作,, 遇到困难不屈不挠,始终坚持真理,敢于同困难作斗争,这是值得我 们学习的。

34

第二章

函 数

当你坐在摩天轮上时, 人的高度随时 在变化,那么变化是否有规律呢,时 间和高度存在一种什么样的函数关 系呢?

篮球场上,投球的那一刻扣人心弦,激动人心,你可曾注意 到那投出的篮球,在空中画出一条美丽的抛物线,你可曾想到抛 物线的背后,隐藏着篮球的高度和时间的函数关系。

函数是数学中的重要概念, 它描述了某一变化过程中变量之 间的相互依赖和相互制约的关系。 本章, 我们将进一步学习体会、 理解函数的概念和基本性质。

35

第一节

今天,我们去旅游(一) — 函数的概念

初中我们已经学过变量与函数的概念:一般地,在某个变化过程 中,有两个变量 x 和 y,如果给定一个 x 值,相应地就确定了唯一一 个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量。 下面我们通过生活实例,进一步研究函数,请认真思考,并尝试解决 提出的问题。

议一议:
1.路程问题: 五一劳动节珠宝鉴定专业的 师生乘一辆大巴到崂山游玩,汽车在去 崂山的道路上以 100km/h 的速度匀速行 驶 2h,请写出行驶路程 s(km)和行驶时 间 t(h)的关系式,并指出 t 的取值范围 2、剩油问题:出发时大巴的油箱中储油 42 公升,使用时耗油 6 公升 /小时,列出油箱中剩油量 S 和使用时间 t 之间的关系式,并指出 t 的 取值范围。

在路程问题中,由路程=速度 ? 时间, 得 S=100t(t ? [0,2]) (1)

在剩油问题中,由剩油量 = 原有油量 用油量。得: 剩油量与 t 的关系式是: M=42-6t,(t ? [0,7])。 (2)
36

在(1)中我们认为路程 S 随时间的变化而变化。 在(2)中我们认为剩油量 M 随时间 t 的变化而变化; 也就是说,变量 t 是自变量,而路程 S 和剩油量 M 都是因变量。 以上两例,我们可以看出: (1) 每个例子都给出了自变量的取值集合; (2) 每个例子都给出了对应法则, 法则要求: 对自变量的任一个值, 因变量都有唯一确定的值与之对应,对应法则可以通过公式、 数表和图像给出。 因此,我们得到函数概念的另一表述: (集合语言) 设集合 A 是一个非空的实数集,按照某种确定的对应法则 f,对 A 中 的任意的实数 x,都有唯一确定的实数值 y 与之对应,则称这种对应 法则为集合 A 上的一个函数。记作: y=f(x) 其中 x 为自变量,y 为因变量。自变量 x 的取值集合 A 叫做函数的定 义域,对应的因变量 y 的取值集合叫函数的值域。 有时,函数的对应关系也可以用字母 g,h 等表示。比如: y=g(x),或者 y=h(x),等等。 函数 y=f(x)也经常写成 f(x)或者 f, 函数 y=f(x)在 x=a 处对应的函数值,记作 f(a)

例 1:函数 f ( x) ? x 3 ? x ,求当 x 分别取 0,3,-3,a, -a 时,所对应的 函数值。 解:分别用 0,3,-3,a, -a 代替 f ( x) ? x 3 ? x 中的 x 得到:
37

f (0) ? 03 ? 0 ? 0
f (3) ? 33 ? 3 ? 30

f (?3) ? (?3) 3 ? (?3) ? ?30
f ( a) ? a 3 ? a
f (?a) ? (?a) 3 ? (?a) ? ?a 3 ? a

随堂练习
1.在旅游时,王明看到商场中一件玛 瑙手镯的价格是 40 元/件,假设他想 买 x 件这样的手镯,请你写出他付款 金额 y(元)与购买数量 x(件)的函数 关系式,并且指出自变量和因变量。 2.已知函数 f ( x) ?
1 , 求 f(1) ,f(-2), x ?1
2

f(-x), f(x+1)

习题 2、1

知识技能
1、求下列函数的值:
x?2 ,在 x= -1 ,0 ,1 时的值。 2x ? 1 x?2 (2) 求函数 f(x)= , 在 x= -1 ,0 ,1, 2 时的值 2x ? 1

(1) 求函数 f(x)=

(3)设函数 f(x)=

,f(-1), f(0), f(b) 2 x 2 ? 1, 求 f(1)

2、已知函数 f(x)=4x+1, x∈{0,1,2,3,4},求这个函数的值域。

38

数学理解
上网查阅有关崂山的资料:太清宫 到崂顶的路程是多少,实际测测我们爬 山的速度,从中你能达到有关函数的数 学问题吗?

问题解决
崂山太清宫前的地面上有一个圆形的花坛,李丽想计算出花坛的 周长和面积,你能帮她写出计算花坛的周长 L 及面积 S 与花坛的半 径 r 的关系式吗?李丽量出花坛的半径是 5.5 米, 请问花坛的周长和 面积分别是多少?

39

第二节

今天,我们去旅游(二) — 函数的概念

议一议:
上节课引例 1,由路程=速度 ? 时间,得 S=100t(t ? [0,2])(1) 引例 2,由剩油量=原有油量-用油量。得: 剩油量与 t 的关系式是: M=42-6t,(t ? [0,7])。 (2) 在(1)中自变量时间 t 的取值范围是(t ? [0,2])。 在(2)中自变量时间 t 的取值范围是(t ? [0,7]); 两例中,自变量 t 的取值范围就是函数的定义域。

随堂练习:
一旅游团从青岛乘坐旅游大巴前往泰山。当时油箱中共储油 140 升,使用时耗油 20 升/小时。 (1)请你列出油箱中剩油量 y 和使用时间 x 之间的函数关系式, 并指出定义域。 (2)已知从青岛到泰山需要四个 小时,并且来回所用的时间是一样的, 请问在返回青岛的途中,大巴车需要 加油吗? 由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,因此,我 们把函数的定义域和对应法则称为函数的两要素。 根据定义,我们检验定两个变量之间的关系是不是函数,只要检验: (1) 定义域是否给出。
40

(2) 对应法则是否给出,并且根据这个法则,能否由自变量 x 的每 一个值,确定唯一的函数值 y. 函数的定义域是指这个式子有意义的 x 的取值范围。 实际问题中, 函 数的定义域根据自变量 x 的实际意义来确定。 例:人、物体的个数只能是正整数;数式中, 函数定义域是指使这 个式子有意义的 x 的取值范围。 例 1、求下列函数的定义域: 1、 f(x)= 2、f(x)= 3、f(x)=
1 x?3

2? x

x x ?1
1 有意义,必须 x ? 3 ? x?3

解: (1)要使

0 ,即 x ? ?3

所以这个函数的定义域是{x|x∈R,且 x

? ?3 }

(2) 要使 2 ? x 有意义,必须 2 ? x ? 0 ,即 x ? 2 ,所以这个函数的 定义域是{x|x≤2} (3) 要使 x 有意义,必须 x ? 0 且 x ? 1 ? 0
x ?1

,即 x ? 1 ,所以这个函

数的定义域是 x x ? 0 且x ? 1

?

?

随堂练习
求下列函数的定义域: 1、 f(x)= 2、f(x)=
1 x?5

x ?1 ? x ? 3

41

习题 2、2 知识技能
1、求下列函数的定义域: (1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)= (5)f(x)=
1 x?3

x ?9

1 2x ? 3
1 1 ? x?4 x?4

x?3 ? 4? x

数学理解
你能举出生活中的更多的函数的例子吗?你知道他们的定义域是什 么吗?

问题解决
观光时,王老师买了一幅长方形镜 框。在返程途中,王老师想借机考察一 下同学们。 她说, 已知我的镜框的长为 4, 你能说出镜框的面积 y 和宽 x 之间有什 么函数关系吗?该函数的定义域是什 么?假如你在当时的车上,你能回答王 老师的问题吗?

42

第三节

我进步了

—函数的表示方法
一个函数 y=f(x)除了直接用自然语言描述外,常用的表示方法有解析 法、列表法和图像法。 1、解析法 在上一节的剩油问题和路程问题中给出的两个函数 M=42-6t , (t ? [0,7])。S=100t (t ? [0,2])都是用等式来表示两个变量之间的函数

关系。这种用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析 法。 这个等式叫解析式。 例如初中我们所学的正比例函数、 一次函数, 二次函数的解析式分别为:y=kx, y=kx+b, y ? ax2 ? bx ? c . 用解析法表示函数关系的有点:函数关系清楚,容易由自变量的值求 出对应的函数值,便于用解析式研究函数的性质。 2、列表法 把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数关系,这种方法,叫 作列表法。 例如:下面表格是李超同学统计的自己高中两年在校学习期间。 的期中、期末成绩。通过比较,他发现自己的数学学习进步了。 次数 成绩 1 68 2 81 3 86 4 90 5 93 6 96

上表中, 次数和成绩是两个变量, 表中列出了李超同学高中两年期中、 期末时对应的数学成绩。
43

学习之余,同学们喜欢观看 CBA 联赛, 你知道:

中国男子篮球职业联赛 CBA(2012-2013)积分 表也是用列表法来表示函数关系的。

球 广 山 北 新 辽 广 东 浙 八 山 佛 江 福 上 吉 天 青 队 东 东 京 疆 宁 厦 莞 江 一 西 山 苏 建 海 林 津 岛 积 60 56 53 53 51 49 49 48 48 48 47 45 43 42 42 42 40 分

列表法的优点是:能够直接表示函数关系中的一些对应值,不必 通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值,使用比较方便。 3、图像法 所谓图像法就是用图像来表示 两个变量之间函数关系的方法。 我们平常查体所做的心电图就是用 图像法来描述你的心律活动。

气象台应用自动记录器描绘温 度随时间变化的曲线,也是用图象法表示函数关系的.

44

议一议: 你还能举出日常生活中应用图像来表示函数关系的例子吗? 用图像法表示函数关系的优点: 能直观形象地表示出函数的自变量变化时函数值的变化趋势, 使得我 们可以通过函数图像来研究函数的性质。 例 1:李超的本子用完了,他想到商店去买,他发现一种日记本, 每 本 3 元,问如果他要买 x 本( x ? ? 1,2,3,4 ? 这种日记本,那么他用的钱 数(元)为 y(元),写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,画这个函 数的图像。

12 9 6 3

0

1

2

3

4

解:这个函数的定义域为 x ? ? 1,2,3,4, ?,函数的解析式为: y=3x, x ? ? 1,2,3,4, ? 它 的 图 像 由 4 个 离 散 的 点 组 成 , 它 们 是 点 A (1, 3), C(3,9), D(4,12) B (2,6),

初中我们学习了一次函数 例 2:做一次函数 y=2x+1 的图像

45

列表: x y=2x+1 0 1 y
4 3 2 1 1

1 3

x
0 1 2

-2

-1

例 3:周末李超做完作业了,妈妈让他算一 算这个月的水费。已知青岛市最新的生活用 水标准是:每户每月用水未超过 5 方时,每 立方米收费 1 元;超过 5 方时,超过的部分, 每立方米收费 2 元。即居民每月应缴纳的水 费 y 元与用水量 x 函数式为: x y= x? 5

5+2(x-5) x>5

做出上述函数的图像,并计算本月李超家的应交水费,已知李 超家本月用水 8 方。 解:x ? 5 时,f(x)=x,它的图像是一条线段.
46

当 x>5 时,它的图像是一条不含点(5,5)的射线。 李超家本月用水 8 方,大于 5 方,所以用的水费为: y=5+2(x-5)= 5+2(8-5)=11 元 图像如下所示:
8 7 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

像例 3 这样的函数, 在函数定义域内, 对于自变量 x 的不同取值区间, 有不同的对应法则,这样的函数叫分段函数。 综上所述,函数图像可以是连续的曲线,也可以是直线,折线、离散 的点,等等。
y y

???????

x

x

y

x
47

习题 2、3

知识技能
1、口答下列问题: (1)函数的表示方法有哪几种形式? (2)函数 y=f(x)的图像如图所示 说出函数的定义域、值域 及 f(0)的值。
-2 -1 -1 1 4 3 2 1 1

y=f(x)
0 1 2

2 画出下列函数的图像 (1) y=3x (2)y= -2x+1 (3) y ? x 2 (4) y ?
2 x

数学理解
1、你还能举出日常生活中用函数图像做成的建筑物的例子吗?

48

2、刘刚每天造成骑自行车到校上课, 路上他以每分钟 5 米匀速行驶。 你能写 出路程 s 和时间 t 的函数解析式,列出 表格,画出图像吗?

问题解决
周末,妈妈派王丽到快递公司给远在外 地的爷爷奶奶邮寄衣服, 已知快递公司的收 费标准是按邮寄物品的质量进行计算, 公式 是: x y= 5+2(x-5) x>5 请画出这个函数的图像,并计算出王丽需要付的邮费是多少?(王丽 给爷爷奶奶邮寄的包裹为 15 斤) x? 5

49

第四节 上升还是下降了 —函数的单调性

考察函数 y=x,
y

y=-x
y =x

y= x 2 图像
y

y

y =-x
x

y ? x2
0

0

x

0

x

我们可以看到,当自变量 x 在 (??, ??) 上由小变 大时,函数 y=x 的值也随着逐渐增大,函数 y=-x 的值反而减小,在 区间 (??, 0] 上,函数 y= x 2 的函数值随着自变量的增大而逐渐减小, 在区间 [0, ??) 上, 函数值又随着自变量的增大而逐渐增大, 为了刻画 这种函数的增减性质,我们引入增减函数的概念 在函数 y=f(x)的图像上任取两点 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 如下图所示; y
f ( x2 )

y
f ( x1 )
f ( x2 )
y=f(x)

x1
x1 ? x2

x2

x

x1

x2
x1 ? x2

x

f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x1 ) ? f ( x2 )
50

一般地,对于函数 y=f(x)在给定区间上任意两个不相等的值 x1 , x2 , 当 x1 < x2 时, 有 f ( x1 ) ? ( f x 2 ) ,那么就说,函数 y=f(x)在这个区间上

是增函数;增函数的图像从左到右逐渐上升。 当 x1 < x2 时, 有 f ( x1 ) ? ( f x 2 ) ,那么就说,函数 y=f(x)在这个区间上

是减函数。减函数的图像从左到右逐渐下降。 由此我们得到, 由一个函数的解析式判断这个函数在给定区间上是增 函数和减函数的一般步骤是: (1) 在给定区间上任取两个不相等的自变量 x1 , x2 ,并设 x1 < x2 。
(2) (3)

计算 f ( x1 ) ? ( f x2 ) 判断:

当 f ( x1 ) ? ( f x 2 ) ? 0 时,函数 y=f(x)在这个区间上是增函数; 当 f ( x1 ) ? ( f x 2 ) ? 0 时,函数 y=f(x)在这个区间上是减函数 如果一个函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或者是减函数, 我们 就说这个函数在这个区间上有(严格的)单调性。这个区间叫函数的 单调区间。 例 1: 如下图, 函数 y=f(x)的定义域是[-5,5], 根据图像指出函数 y=f(x) 的单调区间,并指出在每个区间上函数 y=f(x)的单调性。 解:函数 y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [-2,2], [2,3], [3,5] 其中函数 y=f(x)在区间[-5,-2],[2,3]上是减函数;) 在区间[-2,2]],[3,5]上是增函数

51

y

-5 -4 -3 -2 -1

2 3 4 5

x

随堂练习
如下图,函数 y=f(x)和函数 y=g(x),根据图像指出两个函数的单 调区间,并指出在每个区间上函数的单调性。

( 1)

f ( x) ?

1 x

(2)

例 1,证明函数

在(0,+∞)上是减函数

证明: 设 x1 , x2 ,是任意两个不相等的负实数,且 x1 < x2 。 则
f ( x2 ) ? ( f x1 )= 1 1 x2 ? x1 ? ? x1 x2 x1 x2

因为 x1 , x2 ,是任意两个不相等的负实数,所以 x1 x2 >0.
52

又因为: x1 < x2 ,所以 x2 - x1 >0,
? x2 ? x1 ?0 x1 x2

f ( x1 ) ? ( f x2 ) ? 0

函数 f ( x) ?

1 在(0,+∞)上是减函数 x

随堂练习
练习:证明
1 f ( x) ? 在(-∞,0)上是减函数。 x

习题 2、4 知识技能
1、 (1) 已知函数 f(x)在区间[-1, 10]上是増函数, 比较 f(0)与 f(8) 的大小 (2)已知函数 f(x)在区间(-1,100)上是 减函数,比较 f(8)与 f(88)的大小 2、说出下列函数的单调区间和在这些区间上的单调性

y=x,

y=-x

y= x 2

(-?, +? ) 3、 (1)证明函数 f(x)=2x+1 在 上是增函数。 (-?,0) (2)证明函数 f(x)= x2+1 在 上是减函数。
53

数学理解
2013 年 5 月 3 日青岛市气象局发布 1981 年到 2012 年 32 年的气 温变化评价函数图像如下:

(1)你能找出几个典型的单调递增区间和单调递减区间吗? (2) 用今天我们所学的知识对 32 年的气温做一个评价吗?说说看, 看谁分析的更仔细,更准确。(可参考下面李丽同学的分析) 1981 年我市的平均气温为 12.1℃。在 1984 年到 1985 年,青岛 市平均气温大幅下降,此时函数是减函数。从 1985 年开始到 1989 年 我市全年平均气温持续上升,此时是增函数。从 1997 到 1999 年间, 全市平均气温呈现上升趋势,此时是增函数。达到 13℃以上。2003 年到 2009 年气温忽高忽低, 呈现出大幅波动趋势, 但均未低于 13℃。

54

问题解决
暑假期间, 王润一家开车自 驾游,汽车匀速行驶,1.5 小时 行驶路程为 90km,求旅途中, 他们的汽车行驶路程 y 与时间 t 之间的函数关系式,画出图像, 并用图像法和定义法判断函数的单调性。

55

第五节 美丽的对称 —函数的奇偶性
无论是大自然巧夺天工的杰作, 还是人类的独具匠心的设计都离不 开“对称”下面我们就让数学知识引领我们走进美丽的“对称世界”

= 的图像, 观察我们学过的两个函数 f ( x) =x 2 和 g ( x)

1 x

= 的图关 我们会发现函数 f ( x) 函数 g ( x) =x 2 的图像关于 y 轴成轴对称,

1 x

于原点成中心对称。那么,如何用函数的数量关系来表述函数图像的 这个特征呢? 在函数式 f ( x) =x 2 中, 因为 f (-3) =(-3)2 ? 9 因为 f (-2) =(-2)2 ? 4 因为 f (-1) =(-1)2 ? 1
2 f () 3 = 3 ? 2 f () 2 = 2 ? 2 f () 1 = ? 1

9

所以

f(-3)=f(3) f(-2)=f(2) f(-2)=f(2)
56

4 所以
1 所以

实际上,对于函数 f ( x) =x 2 的定义域 R 中的任意一个 x,都有
f (? x) ? (? x)2 ? x2 ? f ( x)

这时,我们就称函数 f ( x) =x 2 为偶函数。
= 中, 在函数式 g ( x) 1 x

= 因为 g(-3)
= 因为 g(-2)

1 1 ?? ?3 3
1 1 ?? ?2 2

1 g( 3 )= 3

所以 所以
1

g(-3)=-g(3) g(-2)=-g(2) g(-1)=-g(1)

1 g( 2 )= 2
1 g( 1 )= ? 1
1 x

= 因为 g(-1)

1 ? ?1 ?1

所以

= 的定义域 R 中的任意一个 x,都有 实际上,对于函数 g ( x) 1 1 ? ? ? ? f ( x) ?x x 1 = 为奇函数。 这时,我们就称函数 g ( x) x g(? x) ?

一般地,对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数。 一般地,对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数。 一个函数是偶函数的充要条件是, 它的图像是以 y 轴为对称轴的 轴对称图形。 一个函数是奇函数的充要条件是, 它的图像是以原点为对称中心 的中心对称图形。 由此可知,函数是奇函数或者偶函数的前提条件是:定义域关于 关于原点对称。 研究函数的奇偶性对于了解函数的性质非常重要,如果我们知
57

道一个函数是奇函数或偶函数, 我们就可以把这个函数的定义域分成 关于原点对称的两部分, 由函数在其中一部分上的图像和性质来研究 函数在另一部分上的图像和性质。

随堂练习
两个函数 f(x)=x 和 g(x)=|x|的图像如下,判断函数的奇偶性。

我们也可以用定义来判断函数的奇偶性。 例 1:判断下列函数的奇偶性; (1) f ( x) ? x ? x3 ? x (3) f(x)=x+1 (2) f ( x) ? x2 ? 1 (4) f ( x) ? x2 , x ? [?1, 2]

解: (1)函数 f ( x) ? x ? x3 ? x5 的定义域为 R 因为对于定义域的每一个 x,都有
3 5 f (? x) ? ? x ? (-x) ? (-x)

=-x-x 3 ? x 5 =-(x+x 3 ? x 5 ) =-f(x)

所以函数 f ( x) ? x ? x3 ? x5 是奇函数。 (2)函数 f ( x) ? x2 ? 1 的定义域为 R 因为对于定义域的每一个 x,都有
2 f (? x) ? (-x) +1

=x 2 +1 =f(x)

58

所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 是偶函数 (3)函数 f ( x) ? x ? 1 的定义域为 R 因为对于定义域的每一个 x,都有
f ( ? x ) ? - x +1 =-(x-1)

因为 所以 又因为

-f(x)=-(x+1) f(-x)≠-f(x) f(-x)≠f(x)

所以函数 f ( x) ? x ? 1 是非奇非偶函数 (4)因为函数 f ( x) ? x2 , x ? [?1, 2] 的定义域是 x ? [?1, 2] ,不关于原点对 称,所以函数 f ( x) ? x2 , x ? [?1, 2] 是非奇非偶函数。如下图所示:

习题 2、5 知识技能
1、已知函数 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,下图分别是它们的局部 图像,试求 f(-2),g(1),并把这两个函数的图像补充完整。
59

4 3 2 1

4 3 2 1

-4

-3

-2

-1 -1 -2 -3 -4

0

1

2

3

4

x

-4

-3

-2

-1 -1 -2 -3 -4

0

1

2

3

4

x

2、判断下列函数的奇偶性;

(1) f ( x) ? 2 x (3) f(x)=x2+1

(2) f ( x) ? - x2 (4) f ( x) ?
1 , x ? [ ?3, 2] x ?1
2

数学理解
1、 “奇偶函数无处不在,我们生活在美丽的“对称世界”中。你能找 出生活中奇偶函数的美丽 “图像’吗?你能举出生活中中心对称和轴 对称的美丽图案吗?
y

x
0

60

问题解决
如图所示,要在街道旁修建一个奶 站,向居民区 A,B 提供牛奶,奶站应 建在什么位置, 你能用今天学到的 “对 称”找一点,使从 A、B 到它的距离之 和最短吗?

61

第六节 怎么种,产量才能最高? — 二次函数的图像和性质(一)
崂山一果农的果园有 100 棵桃树,每一棵树平均结 200 个桃,现 在准备多种些桃树以提高产量,但是,如果多种树,那么树之间的距 离和每一棵树所接受的阳光就会减少, 根据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结 5 个桃子, 并且增加的桃 树最多不得超过 20 棵。问种多少棵桃 树, 才可以使果园桃子的总产量最多?

议一议:
(1)上述问题中,假设果园增种 x 棵桃树,那么果园共有多少棵桃 树?这时平均每棵树多结多少个桃子? (2)如果果园桃子的总产量为 y 个,请写出 y 与 x 之间的函数关系 式。 果园共有(100+x)棵桃树,平均每棵树结(200-5x)个桃子,因此 桃子的总产量
y ? ( 6 0?0 x 5 ) ? (1 x0 0 即:y ? ? 5 x ? 10 x0 ?
2

) 60000

一般地,形如函数 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0) 的函数叫二次函数,它的定义域是 R,它的图像是一条抛物线,其中 a 是二次项系数,b 是一次项系数,C 是常数项。 下面我们来研究它的图像和性质。 例 1:求作函数 y ? 2x2 ? 4x ? 3的图像 解:函数式整理得:
62

y ? 2 x2 ? 4 x ? 3 =2 (x 2 ? 2 x ? 1) ? 1 ? 3 ? 2( x ? 1) 2 ? 5

由于对任何实数 x,都有 ( 2 x ? 1)2 ? 0, 所以 y ? ?5 ,并且当 x=1 时取 等号,说明该函数在 x=1 时取得最小值-5,记为 ymin ? ?5. 以 x=1 为中 间值,对称地取 x 得一些值,列出表格如下: x y …… …… -1 3 0 -3 1 -5 2 -3 3 3 …… ……

在直角坐标系内描点作图得:

从图像上可以看出, 关于直线 x=1 对称的两个自变量的值所对应的的 函数值是相等的,也就是说,函数的图像是以过点(1,-5)并且平 行于 y 轴的直线 l 为对称轴的轴对称图形,即抛物线关于直线 x=1 对 称。

注意:
通过点(m,0)且平行于 y 轴的直线上所有点的横坐标都是 m,通常把 这条直线记为直线 x=m. 例 2:求作函数 y ? - x2 ? 2x+3的图像 解:函数式整理得:
63

y ? - x 2 ? 2 x +3 =-(x 2 ? 2 x) ? 3 ? ?( x 2 +2x+1) 2 ? 4 ? ?( x ? 1) 2 ? 4

由于对任何实数 x,都有 -(x ? 1)2 ? 0, 所以 y ? 4 ,并且当 x=-1 时取 等号,说明该函数在 x=-1 时取得最大值 4,记为 ymax ? 4. 以 x=-1 为中 间值,对称地取 x 得一些值,列出表格如下: x y … … -4 -5 -3 0 -2 3 -1 4 0 3 1 0 2 -5 … …

在直角坐标系内描点作图得:

从图像上可以看出,关于直线 x=-1 对称的两个自变量的值 所对应的的函数值是相等的,也就是说,函数的图像是以过点(-1, 4)并且平行于 y 轴的直线 l 为对称轴的轴对称图形,即抛物线关于直 线 x=-1 对称。

随堂练习
(1) 求作函数,y ? x2 ? 2x ? 3的图像 并说明当 x 为多少时, y 取得最值, 最值是多少?
64

现在我们看看本节开始提到“种多少棵桃树最好”的问题增种桃 树的数量 x(棵)与桃子总产量 y(个)的二次函数关系式为,
y??5 x2 ? 1 0 x0 ? 60000

解:函数式整理得
y ? ?5 x 2 ? 100 x ? 60000 =-5 (x 2 ? 20 x) ? 60000 ? ?5( x 2 ? 20 x ? 100) +60000+500 =-5(x-10)2 ? 60500

由于对任何实数 x,都有 -5(x ? 10)2 ? 0, 所以 y ? 60500 , 并且当 x=10 时取等号, 说明该函数在 x=10 时取得最大值 608500, 记为 ymax ? 60500. 即:当增种 10 棵时,即种 110 棵时产量最大,最大产量为 60500 个。

习题 2、6 知识技能
1、求作函数 y ? -x2 +2x+3的图像 ,并说明当 x 为多少时,y 取得最值, 最值是多少? 2、求作函数 y ? x2 +2x+2的图像 ,并说明当 x 为多少时,y 取得最值, 最值是多少?

数学理解
节日的喷泉给人们带来喜庆,夏日的喷泉给人带来凉爽,你是否 注意到喷泉水流所经过的路线?纷繁复杂的现实生活中, 你可曾注意 到还存在着另外一些优美的曲线? “生活中的抛物线无处不在”你 能举出一些吗?
65

问题解决
1、随着人们生活水平的提高,近年来农家旅游公司、农家宴备受人 们的青睐。而且它们的规模、服务质量也日渐扩大和提高。青岛崂山 “农家乐”旅游公司有客房 300 间,每间日房租 20 元,每天都客满, 公司于提高档次,提高租金,如果每间客房日房租增加 2 元,客房出 租数就会减少 10 间,若不考虑其他因素,旅游公司将房间租金提高 到多少元时,每天客房的租金总收入最高?(提示:客房租金每间提 高 x 个 2 元,则有 10 x 个房间空出)

2、有 300 长的篱笆材料,如果利用已有的一面墙(设长度够用)作 为一边,围成一块矩形菜地,问矩形的 长、宽各为多少时,这块菜地的面积最 大,最大面积是多少?

66

第七节 足球几秒钟会落地? — 二次函数的图像和性质(二)
想一想:
我们知道,踢足球时,一个足球被运 动员从地面上踢出, 它距离地面的高度 h (m)可以用二次函数 h ? ?4.9t 2 ? 19.6t 来 表示, 其中 t(s)表示足球踢出后经过的时 间。问此运动员踢出的这个球距离地面 的最高高度是多少?多少时间后落到地 面上?什么时间段在上升,什么时间段在下降? 为解决这一问题,我们先来分析二次函数的性质: 对任意一个二次函数 y ? ax2 ? bx ? c, a ? 0) 通过配方化为: y ? a( x ?
b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a

有上式,我们得到二次函数如下的性质: (1) 二 次 函 数 的 图 像 是 一 条 抛 物 线 , 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是
(b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a
b 2a b 处取得最小值 2a

抛物线的对称轴方程是直线 x=-

(2) 当 a>0 时,抛物线开口向上;函数在 x=ymin 4ac ? b 2 ? ; 4a

在区间 (-?,-

b b ] 上是减函数,在区间 [- , +? ) 上是增函数 2a 2a

67

(3) 当 a<0 时,抛物线开口向下;函数在 x=ymax ? 4ac ? b 2 ; 4a

b 处取得最小值 2a

在区间 (-?,-

b b ] 上是增函数,在区间 [- , +? ) 上是减函数 2a 2a

例 1:已知二次函数 y ? 3x2 +2 x+1,求: (1) 函数的最小值及它的图像的对称轴。 (2) 在哪个区间上是增函数,哪个区间上是减函数。 解:在函数 y ? 3x2 +2 x+1中,a=3,b=2,c=1,则
b 1 =- , 2a 3 4ac ? b 2 2 = 4a 3
1 2 3 3

(- , ) 所以图像的顶点坐标是

(1) 因为 a=3>0,所以函数图像开口向上,函数有最小值 . 函数的对称轴方程为 x=- .
+? ) (2) 在区间 (-?,- ] 上是减函数,在区间 [- , 上是增函数 1 3 1 3 1 3

2 3

例 2:已知二次函数 y ? x2 ? x ? 6 ,问: (3) x 取哪些值时,y=0? (4) x 取哪些值时,y>0? x 取哪些值时,y<0?

分析: (1) 当 y=0 时, 二次函数 y ? x2 ? x ? 6 可以化为 x2 ? x ? 6 ? 0 , 所以,使 y=0 的 x 的值就是一元二次方程 x2 ? x ? 6 ? 0 的根。 (2)当 y>0 时,二次函数 y ? x2 ? x ? 6 可以化为 x2 ? x ? 6 ? 0 , 所以,使 y>0 的 x 的值就是一元二次不等式 x2 ? x ? 6 ? 0 的解集。 (3)当 y<0 时,二次函数 y ? x2 ? x ? 6 可以化为 x2 ? x ? 6 ? 0 ,
68

所以,使 y<0 的 x 的值就是一元二次不等式 x2 ? x ? 6 ? 0 的解集。 解:(1)令 y=0 时,则 x2 ? x ? 6 ? 0 ,解得:
x1 ? ?2,
x2 ? 3 ,

也就是说,当 x1 ? ?2, 或

y=0. x 2 ? 3 时,函数值 ,

(2)画出二次函数 y ? x2 ? x ? 6 的简图。

从图像上可以看出,它与 x 轴相交与两点, (-2,0) , (3,0)这两个点 把 x 轴分成三个区间:
当x ? (?2,3)时,y ? 0. 当x ? (-?, ? 2,)( ? 3,+?)时,y>0.

议一议:
一元一次方程,一元二次不等式与二次函数有密切的关系。 (1) 求 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 解 , 就 是 求 二 次 函 数
y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 y=0 时的自变量 x 的值。

(2) 求 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 , 就 是 求 二 次 函 数
y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 y<0 时的自变量 x 的值。

(3) 求 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 , 就 是 求 二 次 函 数
y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 y>0 时的自变量 x 的值。
69

随堂练习
已知二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 ,问: (1) x 取哪些值时,y=0? (2) x 取哪些值时,y>0? x 取哪些值时,y<0?

例 3:利用二次函数的图像和性质求解不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 解:令 x 2 ? x ? 2=0 解得
x1 ? ?1 x2 ? 2 ,

作出函数 y ? x2 ? x ? 2 的简图

由 简 图 得 出 不 等 式
x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集为: (-?, ? 1,)( ? 2,+?)

现在我们看看本节课开始提到足球的问题。 足球到达的最高点为: ymax ? 令 h=0 得: ?4.9t 2 ? 19.6t =0 在 t ? (0. ?
4ac ? b2 4 ? (-4.9) ? 0-19.62 = =19.6 (m) 4a 4? (-4.9)

解得 t=0 或者 t=4 即 4 秒后足球落地。

b 19.6 )( = 0, )( = 0, 2) 时 足球上升。 2a 2? (-4.9)

(2,4) 在 t? 时 足球下降。

70

习题 2、7 知识技能
1、已知二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 ,问: (1) x 取哪些值时,y=0? (3) x 取哪些值时,y>0? x 取哪些值时,y<0?

2、利用二次函数的图像和性质求解下列不等式 (1) x2 ? x ? 2 ? 0 (3) x 2 ? 5x+6 ? 0 (2) x2 +x ? 12 ? 0 (3) x2 ? 3x-4 ? 0

数学理解
你知道下雨天汽车在马路上行 驶为什么要放慢速度吗? 汽车在马路上行驶时的刹车距 离在晴天和雨天是不一样的,因为 影响叉车距离的主要因素是汽车行 驶的速度和摩擦系数。晴天,汽车 在某一路段上行驶时,汽车的速度 v(km/h)与刹车距离 s(m)的关系 式为二次函数:
s? 1 2 v 100

(100 为晴天时这一路段的摩擦系数)

雨天行驶时,这一公式为:
s? 1 2 v 50

(50 为雨天时这一路段的摩擦系数)

所以,雨天行驶时,摩擦系数小,要靠减慢速度来减小刹车距离,提
71

高安全性。

问题解决
你知道火箭发射的有关知识吗? 一般的火箭有好几节,回来的那个叫返回舱、 其中有几节在太空中要丢掉的 因为每丢掉一节, 火箭的速度就会加快。目的当然就是为了摆脱地 球引力。 某种做抛物线运动的火箭, 它的高度 h(m)与时间 t(s)的关系可 以用公式
h ? ?5t 2 +150x+10

问 (1) 经过多长时间, 火箭达到它的最高点, 最高点的高度是多少? (2)在那个时间段火箭上升,需要多长时间,在那个时间段火箭 下降,需要多长时间。

回 顾 与 思 考

1.什么叫函数?函数的两要素是什么?函数的定义域是什么?怎样 求函数值? 2.函数有哪些表示方法?你会用它们表示函数吗? 3.函数的单调性是什么?怎样判断函数的单调性? 4、函数的奇偶性是什么?怎样判断函数的奇偶性? 5、二次函数的定义、图像是什么?二次函数的性质有哪些?在生活
72

中都有哪些应用?

复 习 题 知识技能
1.已知函数 f ( x) ?
1 1 , 求f (?2),f (0), f ( ). 3x ? 1 2

2.求下列函数的定义域: (1)
y? 1 ; x?4

(2) y ? x ? 2; (4) y ?
1 x +2 ;

(3) y ? x2 ? 9;

3.判断下列函数在指定区间上的单调性; 1.用适当的方法表示下列集合:
2 (1) f ( x) ? ? x ? 1,.x ? (??,0);

(2) f ( x) ? ?2 x ? 1,.x ? (??, ??); 4.判断下列函数的奇偶性:
3 (1) f ( x) ? 5x ? x ? 1; 2 (2) f ( x) ? x ? x; 3 (4) f ( x) ? x , x ? (?2,9);

(x ? 1)( x ? 1) (3) f ( x) ?

5.画出下列函数的图像: (1) y ? x ? 3, x ? {?1,0,1, 2,3} (2) y ? x2 ? 4x ? 5;

73

问题解决
1、某淘宝网站出售一种牛仔裤,若每件 80 元, 每月可以售出 30 件,如果每件定价 120 元,则 每月可以售出 20 件。如果本网站售出的牛仔裤 件数是定价的一次函数, 请写出售出件数 y 关于 定价 x 的函数。 2、 小明帮助爷爷围菜地:有 40 米长的篱笆材料, 借助一面足够长的旧墙,问:怎么围,菜地的面 积恰好是 200 平米?

3、一跳水运动员进行 10 米跳台训练,在正常情况下运动员必须在距 离水面 5 米以前完成规定的翻腾动作, 并且调整 好入水姿势, 否则就容易出现失误, 假设运动员 起跳后的运动时间 t( 秒)和运动员距离水面的 高度 h(米)满足关系:
h ? 10 ? 2.5t ? 5t 2

那么她最多有多长时间完成动作?

74

阅读和实践
“函数”的创始人—莱布尼茨
函数在其发展的过程中, 经历了一个漫 长的过程 ,1673 年,莱布尼茨首次使用 “function” (函数)一词”。他在数学界更 伟大的贡献是创建了微积分。 莱布尼茨是德国著名数学家, 和牛顿同为 微积分的创建人。 17 世纪中期,莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家, 从小就受到非常好的教育,并具有很高的天赋,幼年时期就对数学和 历史有着浓厚的兴趣。 17 世纪后期,随着科学技术的不断进步,数学也在一定程度上得 到了很大的发展。经过各国数学家的努力与历史的积累,建立在函数 与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。 关于微积分思想,最早是有阿基米德提出的,在寻找计算物体面积 和体积的方法中提出了微积分。 几乎是同时,牛顿和莱布尼茨发表了微积分思想的论著。 因此,西方数学界在微积分的定位上, “是牛顿和莱布尼茨大体上 完成的,但不是由他们发明的” 。 然而关于微积分创立的优先权, 牛顿与莱布尼茨之间曾经进行激烈 的争论,一时间让两个人陷入水火不容的境地。实际上,牛顿在微积
75

分方面的研究虽早于莱布尼茨,但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。 在研究微积分方面,牛顿的出发点是建立在物理学的知识上,运用 集合方法研究微积分,其应用上更多地结合了运动学,造诣高于莱布 尼茨。而莱布尼茨的微积分则是建立在几何基础上,运用分析学方法 引进微积分概念,得出运算法则,其属性的严密性与系统性是牛顿所 不及的。 莱布尼茨依靠天生的聪明才智,经过不间断的研究,在数学方面取 得了巨大的成就。他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域,他的 一系列重要数学理论的提出,为后来的数学理论奠定了基础。 莱布尼茨最先提出负数和复数的概念,并着手进行研究。在负数方 面,由于当时数字主要是用来计数,对不存在的东西都记为零,并不 存在负的概念。莱布尼茨从数学的角度出发,提出了负数的概念。不 仅如此,在对复数的研究方面也作出了贡献,他提出复数的对数并不 存在,共轭复数的和是实数的结论。 经过数学家的研究,证明了莱布尼茨的结论是正确的。他还对线性 方程组进行研究,对消元法从理论上进行了探讨,并首先引入了行列 式的概念,提出行列式的某些理论。此外,莱布尼茨还创立了符号逻 辑学的基本概念。 由于卓越的成就,1673 年,莱布尼茨受邀到巴黎去制造了一个能 进行加、减、乘、除及开方的计算机。这是继帕斯卡加法机后,计算 工具的又一进步。从这点上来说,现在计算机的发展也有莱布尼茨的 一份力量。
76

晚年,他系统的阐述了二进制计数法,并将它和中国的八卦联系起 来,从某种意义上来说,当时的莱布尼茨已经开始重视东方的数学成 就,为数学的发展作出了巨大的贡献。

77



更多相关文章:
函数教材(生活数学)
函数教材(生活数学)_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合 无论是海洋里的生物,还是海面上航行的轮船;无论是在海 滩上游玩的人,还是天空中美丽的风筝,无论是...
高一数学优秀教案集锦
教学内容分析 《普通高中课程标准实验教科书· 数学(1)》(人教 A 版)第 44 ...五、教学重点和难点 重点:了解函数数学中的核心地位,以及在生活里的广泛应用;...
职高数学教材分析
职高数学教材分析_理学_高等教育_教育专区。中等职业学校数学教材分析一、课程性质...(1)要结合生活及职业岗位的实例 进一步理解函数的概念, 引入函数的单 调性及...
高一数学教案:函数教材分析
高一数学教案:函数教材分析_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数 教材分析本章...日常生活中遇到的销售利润的计算也会涉及这类问题 例 3 是物理方面的问题,这...
高一数学基本初等函数教案
二、编写意图与教学建议: 1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和 激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要...
《变量与函数》教案
“14.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级 上册第十四章第...学生 初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识,感知数学是有用、有趣的学 科。 ...
函数教学设计
函数教学设计_初一数学_数学_初中教育_教育专区。...与原传统教材相比, 新教材更注重感性材料,让学生...展示一些与学生实际生活有关的图片,如心电图片,天气...
北师大版《数学》八年级上函数教案
函【教材】北师大版《数学》八年级上《函数》第一课时 数 【教材分析】本节...同时使学生学会在生活 中多从数学的角度去观察和分析身边的变化,培养学生观察...
一次函数自学教材
一次函数自学教材_数学_初中教育_教育专区。(八年级数学)第 17 章函数及图象-...;在这个式子中,变量是 5、生活用水每吨 3 元,每月排污费 5 元,则小明家七...
更多相关标签:
生活中的数学教材    高中数学函数说教材    高二数学教材    数学教材全解    高中数学教材    高等数学教材    初中数学教材    八年级数学教材全解    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图