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函数教材(生活数学)



第一章

集 合

无论是海洋里的生物,还是海面上航行的轮船;无论是在海 滩上游玩的人,还是天空中美丽的风筝,无论是草原上的羊群还 是我们班级中的同学,都可以看成一个整体,构成不同的集合。

1

我们是一个新集体(一) —— 集合的概念

“我们从四面八方来组成了我 们新的班级

” 新班级所有同学” 给我们什么样的印象?……

紧张、严肃而且难忘的军训生活结 束了,回首望去,阅兵式上,那一 排排英姿飒爽的身影留给我们什 么样的印象?

走进我们明亮的新教室,新教 室所有桌子或者所有的椅子给我 们什么样的印象?

集合是现代数学的基本概念,用它可以简洁、准确地表达数学内 容。学好集合可以为今后的数学学习奠定基础,并能进一步提高运用
2

数学语言去理解和处理问题的能力。 我们再来看下面的例子: 1.所有的整数。 2.青岛经济职业学校新高一年级的所有学生。 3.方程 x2=4 的所有实数根。 4.世界最高峰。

议一议:
1.你能确定问题的结果都是什么吗? 2.这四个问题描绘的对象都有怎样的特点?

一、集合的定义: 某些确定的对象的整体就成为一个集合,也简称集. 集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 . ............... .. 二.1.集合与元素的表示: 常用大写的英文字母表示集合,如集合 A,B,M,E 等;用小写 的英文字母表示集合里的元素,如 a,b,m,e 等. 例如 A={西藏高原上的所有藏羚羊},B={方程 x2=4 的实数根} C={青岛经济职业学校新高一的全体学生} 2.集合与元素关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 集合 A,记作 a ? A ...
3

注意:元素和集合之间的关系:对任何 a 与 A,a ? A 与 a ? A 这两种情 况有且只有一种成立.

随堂练习 用 “∈”和“ ? ”填空
1、球星姚明_____{青岛经济职业学校新高一的学生} 2、数字 5_____{自然数} 三.集合特点: (1)确定性:集合中的元素必须是确定的,不能模棱两可. (2)互异性:集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象) , 相同的元素在集合中只能算作一个。 例 1:判断下列各组对象能否确定一个集合,并说明理由。 (1) 小于 10 的实数的全体 (2) 非常小的实数 (3) 英文的 26 个字母 (4) 青岛经济职业学校高一新生中高个的学生 解: (1) 、 (3)能组成集合; (2) (4)不能组成集合。 因为: (2) “非常小”没有确切的标准。 (4 ) “高个”没有确切的标准。

随堂练习
判断下列各组对象能否确定一个集合,并说明理由 (1) 中国国旗的颜色 (2) 著名的歌手
4

(3) 9 的平方根 (4) 相反数等于它本身的数 四.集合分类 1.有限集:含有有限个元素的集合 2.无限集:含有无限个元素的集合 3.空集:不含有元素的集合。记做 ?

议一议:
0、{0}、与φ 有何不同?

五.常用数集及其表示方法 (1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合。记作 N (2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集。记作 N*或 N+ (3)整数集:全体整数的集合。记作 Z (4)有理数集:全体有理数的集合。记作 Q (5)实数集:全体实数的集合。记作 R

随堂练习
用符号∈, ? 填空 (1)-1____N, 0___N,1___N, 0.1__N, (2)-1____Z, 0___Z,1___Z, 0.1__Z, (3)-1____Q, 0___Q,1___Q, 0.1__Q, (4)-1____R, 0___R,1___R, 0.1__R,
6 __ N 6 __ Z 6 __ Q

5

习题 1、1 知识技能
1、用符号∈, ? 填空: (1).1_______N, 0_______N,-4______N, 0.3_____N (2) 1_______Z, 0_______Z, -4______Z, 0.3_____Z (3) 1_______Q, 0_______Q, -4______Q, 0.3_____Q (4) 1_______R, 0_______R, -4______R, 0.3_____R (5) 1___ ? , 0_______ ? ,-4______ ? 2、说出下列集合中的所有的元素: (1)大于 2 且小于 7 的偶数构成的集合。 (2)平方等于 2 的的实数构成的集合。 3、判断下列语句描述的对象能否构成一个集合,并说明理由。 (1)小于 10 的自然数的全体; (2)经济学校所有性格开朗的高一新生; (3)非常接近 1 的数; (4)小于 2 且大于 3 的实数的全体; (5)中国所有的小河流 (6)你班所有的军训服。
6 __ R
2 ______N 2 ______Z 2 ______ Q 2 ______R

数学理解
走进新学校,肯定有许多新的景象,请你举出几个你的新学校中 集合的例子。
6

问题解决
王明同学是青岛经济学校珠宝鉴定 5 班的同学,军训时因为身体 不舒服,没能参加军训。请你完成下列问题:用符号∈, ? 填空 (1) 王明_________{珠宝鉴定 5 班} (2) 王明_________{珠宝鉴定五班军团}

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第二节 我们是一个新集体(二) ——集合的表示方法
集合的表示方法,通常有列举法、描述法。 1、 列举法:

当集合中的元素不多时,我们就把集合中的元素一一列举出来, 写在大括号内,并用逗号分开,这种表示集合的方法叫列举法。 如, (1) 青岛经济学校所有的专业构成的集合, 可以表示为 {珠 宝,药剂,计算机,商务,视力矫正技术} 。

(2)由所有平方等于 1 的实数组成的集合,可以表示为{1,-1} ; (3)从 51 到 100 的所有整数组成的集合:{51,52,53,?,100} 例 1:用列举法表示下列集合: ⑴方程 x2-1=0 的解集; 解: {1,-1} ⑵绝对值小于 5 的偶数; 解: {-4,-2,0,2,4}
8

⑶中国古代四大发明构成的集合: 解: {造纸术、印刷术、指南针、火药} 。

随堂练习
用列举法表示下列集合: ⑴大于 3 且小于 10 的偶数的全体; ⑵绝对值等于 1 的实数的全体; ⑶比 2 大 3 的实数的全体; (4)一年中有 31 天的月份的全体。 2、性质描述法: 把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内,在各种表 示集合的方法叫性质描述法。 格式:A={x∈U| P(x)} 例 如 , 不 等 式 x ? 3 ? 2 的 解 集 可 以 表 示 为 {x ? R | x ? 3 ? 2} 或
{x | x ? 3 ? 2}

} 所有直角三角形的集合可以表示为 {x | x是直角三角形

例 2:用性质描述法表示下列集合: (1)小于 100 的自然数; (2)不等式 x+4<0 的解集; (3)大于 10 且小于 20 的自然数构成的集合;
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(4)大于 10 且小于 20 的有理数构成的集合。

随堂练习
用性质描述法表示下列集合: (1)由山东省的省会城市构成的集合。 (2)由中华人民共和国的首都构成的集合。 (3)由高一、珠宝专业的所有同学构成的集合。 (4)绝对值等于 3 的实数的全体构成的集合。 (5)不等式 4x-5<3 的解构成的集合。

习题 1、2 知识技能
1.用列举法表示下列集合: ⑴平方为 1 的数; ⑵{x| |x|=3}; ⑶{x∈Z|-2 ? x<10}; ⑷9的平方根的全体构成的集合; ⑸一年中有 31 天的月份的全体; ⑹一年中的四季的全体。 2.用性质描述法表示下列集合: ⑴目前你所在的班级所有同学构成的集合; ⑵目前你所有的任课教师构成的集合;
10

⑶绝对值等于 3 的实数的全体构成的集合; ⑷9的平方根的全体构成的集合; ⑸大于3而小于10的实数的全体; ⑹不等式2x-1>3 的解构成的集合。

数学理解
通过两节课的学习,我们理解了集合的概念,你能说说“集合”和 “集体”的联系和区别吗?

问题解决
1、请你用两种方法表示出你所在的班级的全体班委成员构成的 集合。 2.马上就要举行运动会了, 帮助老师统计 一下你的班级中参加运动会各个项目的人员 并把他们用适当的方法表示出来。

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第三节

我们是相亲相爱的一家人 ——集合之间的关系

走进我们经济学校的校园,你会发现一些肤色、语言、穿戴和我们 不太一样的中学生,他们是我们学校内地西藏中职班的学生,是藏 族的孩子。

想一想
集合 M={中国公民}与集合 A={西藏自治区公民}有何关系? 集合 M={中国公民}与集合 B={山东省公民}有何关系?

中国公民

中国公民

西藏公民 666666

归纳:上面两例中后者的任何一个元素都是前者的一个元素,后者是 前者的一部分,此时我们就说前集合包含后集合,或后集合包含于前 集合,也说后集合是前集合的子集。
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一.子集的定义: 对于两个集合 A 和 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 元素,我们就说集合 A 包含于集合 B ,或集合 B 包含集合 A ,也说集 合 A 是集合 B 的子集。 记作: A ? B 或 B ? A 。读作“A 包含于 B”或“B 包含 A” 。
如图所示: B
A

根据这个定义可知,任何一个集合都是它本身的子集。即 A ? A , 如果集合 A 不包含于集合 B ,或集合 B 不包含集合 A ,就记作 A ? B (B ? A)。 读作“A 不包含于 B”或“B 不包含 A” 注意: 1. A ? B 和 B ? A 是同义的。 2.规定:空集是任何集合的子集, ? ? A 。 例 1:写出集合{a,b,c}的所有子集 解:集合{a,b,c}的所有子集有: φ {a } {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c} 8个

随堂练习
(1)写出集合{西藏公民,山东公民}的子集。 (2)写出集合{1,2,3}的所有子集。

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二. 真子集:

如果 A ? B , 并且 B 中至少一个元素不属于 A,称集合 A 是集合 B 的 真子集.记作:A ? B(或 B ? A) 读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A” 。可用图形表示:
? ?

A

B

注意:空集是任何非空集合的真子集。 三.集合相等 定义:如果两个集合的元素完全相同,我们就说集合 A 等于集合 B 。 记作: A ? B 。 注意:. " ?"具有" ?"或" ?" 两种情况 . 根据子集、真子集定义可知: 1.对于集合 A, B, C ,如果 A ? B, B ? C ,则 A ? C . 2.对于集合 A, B, C ,如果 A ? B, B ? C ,则 A ? C .
? ?
?
?

例 2 写出集合{王珊珊,李文文,赵娜}的所有真子集. 解:集合{王珊珊,李文文,赵娜}}的真子集有: φ {王珊珊} {李文文} {赵娜} 7个 {王珊珊,李文文} {李文

文,赵娜} {王珊珊,赵娜}

随堂练习
1.写出集合{2,3,5,6}的所有真子集.

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习题 1、3 知识技能
1、用适当的符号( ?,?, ?, ? ? )填空:
? ?

(1) a______{a,b} (3) ? ______{a,b} (5) {0}_______ ? (7) {1}_______{1,2,3} (9)0__________ ?

(2) {a}______{a,b} (4) 0__________{a,b} (6) {0}______ ?x | x2 ? 0? (8) ? _______{1,2,3} (10) {0}_______ ?

2、写出下列集合之间的关系: (1)A={x|x2-9=0}, B={-3,3}; (2)A={x|x 是等边三角形} (3)A={x|x>2}, B={x|x>4}; 3、集合{1}的子集有几个?真子集有几个? 集合{1,2}的子集有几个?真子集有几个? 集合{1,2,3}的子集有几个?真子集有几个? 总结一下,含有 n 个元素的子集有几个?真子集有几个? B={x|x 是等腰三角形};

数学理解
你知道,{中华民族}这个大家庭中有多少个民族吗?上网查一查 都有哪些名族?把它们用集 合表示出来,算一算{中华民 族}的所有子集有几个?所有 真子集有几个?
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问题解决
我国有五个民族自治区:内蒙古自治区,新疆维吾尔自治区,宁 夏回族自治区,广西壮族自 治区,西藏自治区,你能写 出集合{中国所有自治区}的 所有子集和真子集吗?

第四节 运 动 会(一) — 集合间运算—交集

学校马上就要举行运动会了,体育委员统计了参加本次校运会 的人员他用集合 A 表示参加 200 米短跑的同学; 且 A={李丽、 王文、 张珊、 高俊、 李震、 刘振宇}; 集合 B 表示参加跳远的同学, 且 B={苏 鹏、李丽、刘振宇、姜浩}
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想一想
C={李丽、刘振宇}与集合 A,B 之间有怎样的关系?

王 文 张 珊 李丽 高俊 姜浩 刘振宇A

苏 鹏 姜 浩

李 丽 刘振宇

B

C

1.交集的定义 一般地, 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的 交集。 记作 A∩B(读作"A 交 B") ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . 集合 A 与 B 的交集,可用图中的阴影表示:

A

B

2.交集基本性质 A∩B=B∩A; A∩A=A

A∩Ф =Ф ; A∩B=A ? A ? B

随堂练习
填空: (1) {1,2,3,6}∩{1,2,5}=___________; (2){a,b,c}∩{a,b,c}=___________, (3){a,b,c}∩Ф =__________; (4) {x|x 是运动会参加 800 米长跑的同学}∩{x|x 是运动会参加跳 高的同学}=____________;

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例 1.设 A={x|x>-2},B={x|x<3} ,求 A∩B. 解:A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}

随堂练习
(1)设 A={x|x<-2},B={x|x>3} ,求 A∩B.

例 2.已知 A={x|x 是奇数} ,B={x|x 是偶数} ,Z={x|x 是整数} 求 A∩Z, B∩Z, A∩B 解:因为 A ? Z, B ? Z , 所以 A∩Z=A B∩Z=B

A∩B={x|x 是奇数}∩{x|x 是偶数}=Ф

随堂练习
A={x|x 是等腰三角形} ,B={x|x 是直角三角形} ,求 A∩B.

习题 1、4 知识技能
1.已知集合 A={3,4,5,6,7},B={5,7,9},求 A∩B. 2.设 A={x|x<-2},B={x|x ? 3} ,求 A∩B.
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3、设 A={x|x>2},B={x|x<6} ,求 A∩B 4.已知集合 A=Ф ,B={1,2},求 A∩B. 5、已知集合 A={x|x2-9=0},B={x|x-3=0} ,求 A∩B

数学理解

运动会中午休息老师出了一个谜语: “刘邦闻之则喜,刘备闻之则悲” 上网查一查历史人物刘邦和刘备的故事,然后猜猜看。 不妨设集合 A={刘邦闻之则喜的事},B={刘备闻之则悲的事}, 求 A∩B

问题解决
4、运动会后,老师让体育委员统计一下,喜欢体育活动的人数,结 果是: 喜欢打篮球的有 35 人, 既喜欢打篮球又喜欢打排球的有 10 人, 既喜欢打篮球又喜欢踢足球的有 8 人,还有篮球、排球和足球都喜欢 的有 3 人,问只喜欢打篮球的有多少人?

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第五节 运 动 会(二) — 集合间运算—并集
上节课体育委员统计了参加本次校运会的人员他用集合 M 表示 参加投铅球的同学;且集合 M={刘振、王俊、张宇};集合 N 表示 参加标枪的同学,且 N={苏瑞、王俊、刘振、赵泽浩}

想一想
P={刘振、王俊、张宇、苏瑞、赵泽浩}与集合 A,B 之间有怎样的关 系?
张宇 刘振 王俊 苏瑞 赵泽浩 刘振 王俊 张宇 苏瑞 赵泽浩

M 1.并集的定义

N

P

一般地,由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并 集。 记作 A ? B(读作"A 并 B") ,即 A ? B={x|x∈A 或 x∈B} .

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集合 A 与 B 的并集,可用图中的阴影表示:

A?B

随堂练习
填空: (1) {1,2,5} ? {1,2,3,6}=___________ (2){a,b,c} ? {a,b,c}=___________, (3){a,b,c} ? Ф =__________; (4){x|x 是运动会参加掷标枪的同学}∪{x|x 是运动会参加掷铅球的 同学}=____________; 2.并集的基本性质 A ? B=B ? A; A ? A=A; A ? Ф =A; A ? B=B ? A ? B

例1. 设 A={x|x>-2},B={x|x<3} ,求 A ? B. 解:A ? B.={x|x>-2} ? {x|x<3}=R

随堂练习
求 A ? B. (1)A={x|x<-2},B={x|x>3} (2)A={x|x<-2},B={x|x<3} 例 2.已知 A={x|x 是奇数} ,B={x|x 是偶数} ,Z={x|x 是整数} 求 A∪Z, B∪Z, A∪B
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解:因为 A ? Z, B ? Z , 所以 A∪Z=Z B∪Z=Z

A∪B={x|x 是奇数}∪{x|x 是偶数}=Z

随堂练习
A={x|x 是锐角三角形} ,B={x|x 是钝角三角形} ,求 A ? B.

习题 1、5 知识技能
1.已知集合 A={3,4,5,6,7},B={5,7,9},求 A ? B. 2.设 A={x|x<-2},B={x|x ? 3} ,求 A ? B. 3.已知集合 A=Ф ,B={1,2},求 A ? B. 4. 集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形} 求出 A∩B 和 A ? B.

问题解决
1.入场式结束,主席台广播:各班派两名没有任何项目的同学作为 服务人员。如果设: 集合 Z={x|x 是本班的同学},A={x|x 是参加本 班运动会中有项目的同学},B={x|x 是本班选派的大会服务的同学} 求 A∪Z, B∪Z, A∪B

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第六节 歌 咏 比 赛 — 集合间运算—补集

1.

想一想
国庆节马上就要到了,学校要举行“歌唱祖国”歌咏比赛。我们 假设集合 U={全班同学组成的集合},集合 A={参加这次歌咏比赛的 同学},集合 B={没有参加这次歌咏比赛的同学}.那么这三个集合之间 有什么样的关系呢? 容易看出,集合 B 就是集合 U 中所有不属于集合 A 的元素构成 的集合。 2.M= {1,2,3,4} ,A={1,2}, B={3, 4},集合 B 与集合 S、 A 间有何关系? 容易看出,集合 B 就是集合 U 中所有不属于集合 A 的元素构成 的集合。 1.全集定义: 如果集合 U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合 就可以看作是一个全集。 2.补集定义: 一般地,设 U 是一个集合,A 是 U 的一个子集(即 A ? U) ,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U 中子集 A 的补集。记作 CUA,即 CUA={x|x∈U,但 x ? A} 如下图所示:绿色部分为集合 A 在全集 U 中的补集。

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U
A

C UA

注意:一个集合的补集是相对于全集来说的,它与全集有密切的 关系。

随堂练习
填空: (1) 设全集 U={1,2,3,4,5,6 }, A={,1,3,5},CUA=_______________________
A ? CU A =__________, A ? CU A =___________,

CU (CU A) ? _________

(2) 设全集 U={a,b,c,d }, A= {a,b} ,CuA=_______________________
A ? CU A =__________, A ? CU A =___________.

CU (CU A) ? _________

(3)设全集 U={ x|x 是实数},Q={ x|x 是有理数},CUQ=__________
Q ? CU Q =__________, Q ? CU Q =___________. CU (CU Q) ? _________

3.性质:由补集的定义可知,对任意集合 A,有如下性质:
A ? CU A ? ? , A ? CU A ? U , CU (CU A) ? A

24

例 1:设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3} 求 CUA;A ? (CUA);A ? (CUA); 解:CUA={ 4,5 }
A ? CU A ? ?
A ? CU A ? U ={1,2,3,4,5}

例 2: 设全集 U={x|x 是小于 9 的正整数}, A= {1,2,3} ,B= {3,4,5,6} , 求 CUA;CUB;(CUA) ? (CUB);(CUA) ? (CUB) 解:U={x|x 是小于 9 的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8} CUA={4,5,6,7,8} CUB={1,2,7,8} (CUA) ? (CUB)={4,5,6,7,8} ? {1,2,7,8}={1,2,4,5,6,7,8} (CUA) ? (CUB)={4,5,6,7,8} ? {1,2,7,8}={7,8}

习题 1、6 知识技能
1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5, } 求 CUA;A ? (CUA);A ? (CUA); 2.设 A={x|x<-2},B={x|x ? 3} ,求 CUA;CUB;
2 C A ? {5} , 3.已知全集 U= {2,3, a ? 2a ? 3} ,若 A ? {b,2} , U

求实数 a,b.

数学理解
一个集合的补集是相对于全集来说的,它与全集有密切的关系.
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求集合 A={高一 4 班男生}的补集,如果全集是 U={高一 4 班学 生},那么所求的补集为_______________;如果全集是 I={青岛经济 职业学校学生},那么补集应为__________________________.

问题解决

学校规定了 12 首必选歌曲,设集合 U={ <我的中国心> ,<龙的传 人>, <大中国> ,<红旗飘飘> ,<精忠报国> ,<我的祖国> ,<绿叶对根 的情意> ,<爱我中华>, <中国永远收获着希望> ,<走进新时代> ,< 中国的春天> ,<锦绣中华>} 其中高一 10 个班级共选唱 6 首,设为集合 A={ <我的中国心> , <龙的传人>, <大中国> ,<红旗飘飘> ,,<我的祖国> ,<爱我中华>, } 求 CuA=_________________________________,
A ? CU A =_________________________________,

A ? CU A =_________________________________,

________________________。 CU (CU A) ? _________

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第七节 爬毛公山 — 充要条件

想一想
十月的秋天,秋高气爽。部分同学相约国庆节长假期间出去爬山 游玩。王浩同学说“如果明天不下雨,我们就去爬毛公山。”刘敏同 学说“如果明天下雨,我们就不去了。 ” 王浩同学说的“明天不下雨”和“我们去爬毛公山”有什么样的 关系呢? 刘敏同学说的“明天下雨”和“我们不去爬毛公山”有什么样的 关系呢? 在数学中,我们也经常用“如果 p,那么 q”的形式,当“如果 p, 那么 q”正确时,我们就说“p 可以推出 q”记作 p ?q 读作“P 推出 q” 此时,我们就说 p 是 q 的充分条件,又称 q 是 p 的必要条件。 也就是说: “如果 p,那么 q”是正确的命题; p ?q
27

p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 这四句话的含义是相同的。

随堂练习
1、判断命题的对错并填空: (1) 若x ? y, 则x2 ? y 2 ( )
x ? y ___________ x2 ? y 2

x ? y是x2 ? y 2的 ______ 条件 ;

x2 ? y 2是x ? y的 ______ 条件

(2) 若a ? 3, 则a ? 0 (
a ? 3是a ? 0的 ______ 条件

) ;

a ? 3___________ a ? 0
a ? 0是a ? 3的 ______ 条件

2、用“充分“或者“必要”条件填空

1. x ? 3是x2 =9的 ______ 条件
2. x ? 4是x ? 2的 ______ 条件
3. x ? R是x ? Z的 ______ 条件

4. x =5是x ? ?5的 ______ 条件
如果 p ?q 且 q ?p,那么我们就称 p 是 q 的充要条件,记作 p ?q 读作“p 和 q 等价”或者“p 与 q 互为充要条件” 。 例:指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件? (在“充分” 、 “必要” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”中选 出一种) (1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0.
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(2)p:同位角相等;q:两直线平行 (3)p:x=3;q:x2=9. (4)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平行四边 解:(1)∵(x-2)(x-3)=0 x-2=0,

x-2=0 ? (x-2)(x-3)=0, ∴p 是 q 的必要而不充分条件; (2)∵同位角相等 ? 两直线平行, ∴p 是 q 的充要条件; (3)∵x=3 ?x2=9, x2=9 x=3,

∴p 是 q 的充分而不必要条件; (4)∵四边形的对角线相等 四边形是平行四边形, 四边形的对角线相等 四边形是平行四边形, ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.

习题 1、7 知识技能
1、用“充分”或“必要” “充要”填空, (1) .a 和 b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 _______ 条件; (2) . “四边相等”是“四边形是正方形”的 _________ 条件; (3) . “x ? 3”是“|x| ? 3”的 _________ 条件; (4) .x2=1 是 x=±1 的_____条件 (5).“a=2,b=3”是“a+b=5”的 _______ 条件;
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(6).“个位数字是 5 的自然数”是“这个自然数能被 5 整除”的 ______条件。 (7).x ,y∈R,则 x=0 且 y=0 是 x2+y2=0 的_____条件 (8) “四边形的对边平行且相等” . 是 “四边形为平行四边形” 的_____ 条件 2、填空:

1. x2 =4的充要条件是________
2. x2 +y 2 =0的充要条件是_______

3. x =9的充要条件是________

4. x ? 3 + y ? 2 =0的充要条件是________
问题解决
应用本节课所学的知识,理解本课开始提到的王浩和刘敏说的 话,想一想, “明天不下雨”和“我们去爬毛公山”有什么样的关 系。 “明天下雨”和“我们不去爬毛公山”有什么样的关系。 你能举出现实生活中互为充要条件的两句话吗?

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回 顾 与 思 考

1.什么叫集合?集合都有哪些特点? 2.集合有哪些表示方法?你会用它们表示集合吗? 3.集合之间都有什么关系?

B A

4.集合之间的基本运算有哪些? 交集运算:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . 并集运算:A ? B={x|x∈A 或 x∈B} . 补集运算:CUA={x|x∈U,但 x ? A}.

5.什么是充分条件?什么是必要条件?充要条件?

复 习 题 知识技能
1.已知集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},C={6,7,8,9,}求: (1)A∩B,B∩C,A∩C (2)A ? B,B ? C,A ? C 2.用适当的符号( ?,?, ?, ?, ? )填空:
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⑴ 2______{x|x 是奇数} ⑵ a_____{a} (3){0}______Ф (4)Z______R (5){a,b,,c,d}_________{b,a,c,d} (6){2,3}_____{x ? Z |0<x<5} 3.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},B={3,4,5},C={4,7,8}, 求:CUA,CUB,CUA∩CUB,CUA ? CUB 4. 用“充分”或“必要” “充要”填空, (1). x ? 3是x ? 5的 ______ 条件 。 (2). a≠0 是 ab≠0 的_____条件。 (3). x= - 3 且 y= 2 是 (x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 0 的__________条件。 (4)同位角相等时两直线相等的_________条件。 (5)两个三角形面积相等是两个三角形全等的______条件。

问题解决 1、用适当的方法表示下列集合:
(1)中国国旗图案颜色的全体所构成的集合。 (2)地球上最高的山峰所构成的集合。 (3)大于 1 且小于 100 的整数的全体构成的集合。 (4)能被 4 整除的所有自然数所构成的集合。 (5)相反数等于本身的实数的全体所构成的集合。 (6)绝对值等于 2 的实数的全体所构成的集合。
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(7)9 的平方根的全体所构成的集合。 2.已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形}, 求 A∩B,A ? B

3.设方程 x2 ? px ? 3 ? 0 的解集为 A,方程 x2 +2x+q ? 0
且 A ? B ? {3}

的解集为 B,并

求(1)的值; (2 ) A ? B

阅读和实践
康托尔与集合论
在原始社会早期人类就有了集合思 想,当时人们按照“堆”、 “捆”等概 念来分东西和按照 “部落”来识别不同 的人就是集合思想的简单应用。 现在集合知识是由德国数学家康托 尔(1845~1918)创立起来的. 他主要研究 无限集合的性质。 在 1874—1876 年期间,德国数学家康托尔向 神秘的无穷宣战。 他成功地证明了一条直线上的点 能够和一个平面上的点一一对应, 也能和空间中的 点一一对应。这样看起来,1 厘米长的线段内的点
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与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,这个有趣 的事实,是康托尔的理论创造。集合论不仅有趣而且十分有用,集合 论已成为现代数学的基础之一。 后来几年, 康托尔对这类 “无穷集合” 问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论。 康托尔的集合论是现代数学中意向很有价值的内容,但在当时由 于人们对康托尔方法的不理解, 康托尔的集合理论并没有马上被理认 可。 他受到了多方面的责难, 这其中包括他的老师克罗内克。 有人说, 康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚 至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了 康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院。 真金不怕火炼,康托尔的思想终于大放异彩。1897 年举行的第一 次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗 素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜 悦。1918 年 1 月 6 日,康托尔在一家精神病院去世,享年 71 岁。 康托尔一生热爱数学,面对问题勇于运用智慧创造性地工作,, 遇到困难不屈不挠,始终坚持真理,敢于同困难作斗争,这是值得我 们学习的。

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第二章

函 数

当你坐在摩天轮上时, 人的高度随时 在变化,那么变化是否有规律呢,时 间和高度存在一种什么样的函数关 系呢?

篮球场上,投球的那一刻扣人心弦,激动人心,你可曾注意 到那投出的篮球,在空中画出一条美丽的抛物线,你可曾想到抛 物线的背后,隐藏着篮球的高度和时间的函数关系。

函数是数学中的重要概念, 它描述了某一变化过程中变量之 间的相互依赖和相互制约的关系。 本章, 我们将进一步学习体会、 理解函数的概念和基本性质。

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第一节

今天,我们去旅游(一) — 函数的概念

初中我们已经学过变量与函数的概念:一般地,在某个变化过程 中,有两个变量 x 和 y,如果给定一个 x 值,相应地就确定了唯一一 个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量。 下面我们通过生活实例,进一步研究函数,请认真思考,并尝试解决 提出的问题。

议一议:
1.路程问题: 五一劳动节珠宝鉴定专业的 师生乘一辆大巴到崂山游玩,汽车在去 崂山的道路上以 100km/h 的速度匀速行 驶 2h,请写出行驶路程 s(km)和行驶时 间 t(h)的关系式,并指出 t 的取值范围 2、剩油问题:出发时大巴的油箱中储油 42 公升,使用时耗油 6 公升 /小时,列出油箱中剩油量 S 和使用时间 t 之间的关系式,并指出 t 的 取值范围。

在路程问题中,由路程=速度 ? 时间, 得 S=100t(t ? [0,2]) (1)

在剩油问题中,由剩油量 = 原有油量 用油量。得: 剩油量与 t 的关系式是: M=42-6t,(t ? [0,7])。 (2)
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在(1)中我们认为路程 S 随时间的变化而变化。 在(2)中我们认为剩油量 M 随时间 t 的变化而变化; 也就是说,变量 t 是自变量,而路程 S 和剩油量 M 都是因变量。 以上两例,我们可以看出: (1) 每个例子都给出了自变量的取值集合; (2) 每个例子都给出了对应法则, 法则要求: 对自变量的任一个值, 因变量都有唯一确定的值与之对应,对应法则可以通过公式、 数表和图像给出。 因此,我们得到函数概念的另一表述: (集合语言) 设集合 A 是一个非空的实数集,按照某种确定的对应法则 f,对 A 中 的任意的实数 x,都有唯一确定的实数值 y 与之对应,则称这种对应 法则为集合 A 上的一个函数。记作: y=f(x) 其中 x 为自变量,y 为因变量。自变量 x 的取值集合 A 叫做函数的定 义域,对应的因变量 y 的取值集合叫函数的值域。 有时,函数的对应关系也可以用字母 g,h 等表示。比如: y=g(x),或者 y=h(x),等等。 函数 y=f(x)也经常写成 f(x)或者 f, 函数 y=f(x)在 x=a 处对应的函数值,记作 f(a)

例 1:函数 f ( x) ? x 3 ? x ,求当 x 分别取 0,3,-3,a, -a 时,所对应的 函数值。 解:分别用 0,3,-3,a, -a 代替 f ( x) ? x 3 ? x 中的 x 得到:
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f (0) ? 03 ? 0 ? 0
f (3) ? 33 ? 3