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数列不等式



数列
知识点 1、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 2、等差数列符号表示: an?1 ? an ? d 。 3、若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

4、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

5、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 6、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

7、等比数列符号表示:

an ?1 ) ? q (注:等比数列中不会出现值为 0 的项; an
2

8、若 G ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G ? ab 不能得出 a , G , b 成等
2

比,由 a , G , b ? G ? ab )
2

9、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 .
* 10、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; * 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an

2

? a p ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 11、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
12.常用结论 1)1+2+3+...+n = 3) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

n( n ? 1) 2 2)1+3+5+...+(2n-1) = n 2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

习题
1.已知等差数列 ?an ? 的前 3 项分别为 2、4、6,则数列 ?an ? 的第 4 项为 A.7 B.8 C.10 D.12 )

2.已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1,则 a12 的值是( A.15 B.30 C.31 3.已知 1, x,9 成等比数列,则实数 x ? . 4.在正项等比数列{an}中,a1=4,a3=64. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)记 bn=log4an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; D.64

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a 2 ? 2 , a 4 ? 4 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ?前 5 项的和 S 5 .
a

6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? n . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? 1

?2?

an

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

7.已知数列 ?an ? 满足: a3 ? ?13 , an ? an?1 ? 4 (n ? 1, n ? N ) . (1)求 a1 , a2 及通项 a n ; (2)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,则数列 S1 , S 2 , S 3 ,…中哪一项最小?并求出这个 最小值.

n ? 8.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2 ? a a为常数,n ? N .

?

?

⑴求 a1 , a2 , a3 ; ⑵若数列 ?an ? 为等比数列,求常数 a 的值及 an ;

不等式
知识点 1、不等式的性质:① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ??, n ? 1? ;

⑧a ? b ? 0?

n

a ? n b ? n ? ? , n ? 1? .

2,一元二次不等式的求解: 特例一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程 有两相等实根

有两相异实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 3.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(2) 转化为整式不等式 (组) 4.含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a

f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ? 0 ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

(a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: x | x ? ?a, 或x ? a

?

?

5、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.

6、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数.

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2

a?b ? ab . 2 8、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有:⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy
7、均值不等式定理:若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 取得最大值 习题 1.已知 a、b、c ? R , a ? b ,则( A. a ? c ? b ? c B. a ? c ? b ? c ) C. a ? c ? b ? c D. a ? c ? b ? c

s2 .⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 4

2.下列坐标对应的点中,落在不等式 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的是 A. ? 0, 0? B. ? 2, 4 ? C. ? ?1, 4? D. ?1,8 ? )

3. 已知点 ( x, y ) 在如图所示的平面区域 (阴影部分) 内运动, 则 z ? x ? y 的最大值是 (

A.1 B.2 C.3 D.5 11.已知 m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n ? 4 ,则 mn 的最大值是. 4.如图,某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室,其总面积为 24 平方米,设熊猫居 室的一面墙 AD 的长为 x 米(2≤x≤6). (1)用 x 表示墙 AB 的长; (2)假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为 每米 1000 元,请将墙壁的总造价 y(元)表示为 x(米)的函数; (3)当 x 为何值时,墙壁的总造价最低? F D x B A E C



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