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二倍角公式课件



学习目标:1、记住公式内容。 2、掌握公式简单的直接应用。

一、复习两角和(差)的三角公式
C(α ?β)

cos?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

S(α?β)
?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos?

sin ?
tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

T(α

β)

二倍角公式的推导
cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 令:? ? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

利用 sin

2

? ? cos ? ? 1 变形为
2

cos 2? ? 2 cos ? ? 1
2

cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 令:? ? ?
tan ? ? tan ? 令:? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos?
? ? ? k? ?k ? Z ? 4

??

2 tan ? ? tan 2? ? ? ? ? k? 注: 2 2 1 ? tan ? ?

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例一、(公式的直接应用)求值:
1.sin22?30’cos22?30’ =
1 sin 45 0 ? 2 2 4

分析:对比公式 sin 2? ? 2 sin ? cos?

1 sin ? cos ? ? sin 2? 2

2 cos 2、

2

? 2 ? ? 1 ? cos ? 4 2 8

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 中,你是否找到了 从公式: cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 解题的办法呢?

3.

? 2 ? 2 ? sin ? cos ? ? cos ? ? 4 2 8 8
2

利用公式: cos 2?

? cos ? ? sin ?
2 2

试着找出解题的办法~

4. 8 sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

? ? ? =4 sin cos cos 24 24 12

请用二倍角的正弦公式:

? ? =2sin cos 12 12
? ? sin 6 1 ? 2

sin 2? ? 2 sin ? cos?
可得到:8 sin ? cos ? ? 4 ? 2 sin ? cos ? 48 48
48

? 4 ? sin 2 ?

?

48

? 4 ? sin

?

48

24

再用两次这个方法,问题就解决咯~

5 ? 例二、已知:sin ? ? , ? ? ( , ? ) 13 2
解:∵
∴ ∴
sin ? ? 5 ? , ? ? ( , ?) 13 2

求sin2?,cos2?,tan2?的值。
12 13

cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

sin2? = 2sin?cos? = ? cos2? = 1 ? 2 sin 2 ? ? tan2? =
sin 2a 120 ?? cos 2a 119

120 169

y 5 ? 13 ? x

119 169

? 12

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3 ? 练习:已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ) 5 2
3 ? sin ? ? , ? ? ( ,? ) 解:∵ 5 2 4 ∴ cos ? ? ? 5

求sin2?,cos2?,tan2?的值。
y ? ? ?

?

24 ∴sin2? = 2sin?cos? = ? 25
16 9 7 cos2? = cos ? ? sin ? ? 25 ? 25 ? 25 sin 2a 24 ?? tan2? = cos 2a 7
2 2

x

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归纳总结
1、二倍角公式是和角公式的特例,体现将一般化归为特 殊的基本数学思想方法。

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? cos 2 ? ?2 cos 2 ? ?1 2 ? ? ? cos 2 1 2 sin ?

2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

sin 2? ? 2 sin ? cos?

2、二倍角公式与和角、差角公式一样,反映的都是如何 用单角的三角函数值表示复角(和、差、倍)的三角 函数值,结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱 导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明 问题。

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