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福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考2015届高三上学期期中数学试卷(理科)【解析版】



福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置. 1.命题 p:?x∈R,x +x ≥0 的否定是( A.?x∈R,x +x <0 C.?x∈R,x +x <0
3

2

3

﹣2

) B.?x∈R,x +x ≥0 D.?x∈R,x +x ≠0
3
﹣2

3

﹣2

3

﹣2

考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题 p:?x∈R,x +x ≥0 的否定是:?x∈R,x +x <0. 故选:C. 点评:本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 2.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上一点 P(﹣1,﹣2) , 则 sin2θ 等于( ) A.﹣ B.﹣ C. D.
3
﹣2

3

﹣2

考点:任意角的三角函数的定义;二倍角的余弦. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用任意角的三角函数的定义,求出 sinθ 和 cosθ 的值,可得 2sinθcosθ 的值. 解答: 解:∵角 θ 的终边经过点 P(﹣1,﹣2) ,∴x=﹣1,y=﹣2,r=|OP|= , ∴sinθ= = ,cosθ= = , = ,

则 sin2θ=2sinθcosθ=

故选:D. 点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 3.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a2014+a2015=96,则 a1+a2015 的值是( ) A.24 B.48 C.96 D.106 考点:等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:直接利用等差数列性质和题意,即可得出结论. 解答: 解:由等差数列的性质得,a2+a2014=a1+a2015, 代入 a1+a2+a2014+a2015=96,解得 a1+a2015=48, 故选:B.

点评:本题考查等差数列性质的应用,考查分析能力,属于基础题. 4.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( A.y=2
|x|

) C.y=2 ﹣2
x
﹣x

B.

D.

考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由函数奇偶性的定义,首先观察定义域是否关于原点对称,再计算 f(﹣x) ,与 f(x) 比较,对选项加以判断即可. 解答: 解:对于 A.有 f(﹣x)=2 对于 B.有
|﹣x|

=f(x) ,则为偶函数,不满足条件;

x,解得 x∈R,即定义域关于原点对称, +x)+lg( ﹣x)=lg(1+x ﹣x )=0,
﹣x

且有 f(﹣x)+f(x)=lg(

2

2

即有 f(x)为奇函数,则不满足条件; 对于 C.定义域 R 关于原点对称,且有 f(﹣x)+f(x)=2 ﹣2 +2 ﹣2 =0,则为奇函数, 不满足条件; 对于 D.定义域 R 关于原点对称,但 f(﹣x)= ﹣ x≠f(x) ,且≠﹣f(x) , 则既不是奇函数,也不是偶函数,满足条件. 故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断, 注意首先观察定义域是否关于原点对称, 再计算 f (﹣ x) ,与 f(x)比较,考查运算能力,属于基础题. 5.设 b=log32,a=ln2,c=0.5 ,则( A.b<c<a B.b<a<c 考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:由于 a=ln2>0,ln3>1,可得 b= >log3 = ,c= <
﹣0.01

x

x

﹣x

) C.c<a<b D.c<b<a

<ln2,即可得到 b 与 a 的大小关系.又 b=log32

= .即可得到 b 与 c 的大小关系.

解答: 解:∵a=ln2>0,ln3>1, ∴b= <ln2,即 b<a<1. = ,c=0.5
﹣0.01

又 b=log32>log3

=2

0.01

>1

综上可知:c>a>b. 故选:B . 点评:本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质,属于基础题.

6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<

)的部分图象如图示,则下列说法不

正确的是( A.ω=2

)

B.f(x)的图象关于点 C.k(x)=f( ﹣

成中心对称

)+x 在 R 上单调递增

D.已知函数 g(x)=cos(ξx+η)图象与 f(x)的对称轴完全相同,则 ξ=2 考点:正弦函数的图象;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:首先根据函数的图象求出解析式,进一步利用函数的单调性、周期、对称中心求出结 果. 解答: 解:根据函数的图象: 所以:T=π, 利用 , ,

解得:ω=2; 当 x= 时,f( )=1, , ) ;

解得:A=1,Φ=

所以 f(x)=sin(2x+ 所以:①A 正确 ②B 令 2x+ 解得:x= =kπ, ,

当 k=1 时,对称中心为:



③g(x)=cos(ξx+η)图象与 f(x)的对称轴完全相同,则 ξ=2,由于 η 不确定. ④函数的区间有增有减. 故选:C 点评:本题考查的知识要点:函数解析式的确定,函数的单调性、周期、对称中心的应用.

7.定义在实数集 R 上的函数 y=f(x)的图象是连续不断的,若对任意的实数,存在常数使 得 f(t+x)=﹣tf(x)恒成立,则称 f(x)是一个“关于 t 函数 ”,下列“关于 t 函数”的结论正 确的是( ) A.f(x)=2 不是“关于 t 函数” B.f(x)=x 是一个“关于 t 函数” C.“关于 函数”至少有一个零点 D.f(x)=sinπx 不是一个“关于 t 函数” 考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用. 分析: 根据“关于 t 函数的概念”可知, 只有存在常数 t, 使得 f (t+x) +tf (x) =0 恒成立即可. 依 此逐项求 t 即可. 解答: 解:对于 A:f(x)=2 时,令 t=﹣1,可知 f(x﹣1)=﹣(﹣1)f(x)=f(x)=2.故 该函数是一个“关于﹣1 函数”,所以 A 错; 对于 B:对于函数 f(x)=x,假设存在 t,使得该函数是“关于 t 函数”,即 x+t+tx=0 恒成立, 即(t﹣1)x+t=0 恒成立,因此需满足 ,无解.所以 B 错;

对于 C:因为是“关于 函数”,所以 f(x+ )=﹣ f(x)恒成立,不妨取 x=x0,且 f(x0 ) ,

所以

,所以

,故在区间(x0,x0+ )必

有零点.故 C 正确. 对于 D:当 t=1 时,有 sinπ(x+1)=sin(πx+π)=﹣sinπx 恒成立.即 t=1,所 f(x)=sinπx 是一个“关于 1 函数”.故 D 错误. 故选 C. 点评:本题是一个新定义题目,要注意给的定义式是一个恒等式,需要在解题时引起注意. 8.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(﹣x)﹣x 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处 的切线方程是( ) A.y=x B.y=2x﹣1 C.y=3x﹣2 D.y=﹣2x+3 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:先根据函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(﹣x)﹣x 求出函 数 f(x)的解析式,然 后对函数 f(x)进行求导,进而可得到 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程的斜率, 最后根据点斜式可求导切线方程. 2 解答: 解:∵函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(﹣x)﹣x , 2 ∴f(﹣x)=2f(x)﹣x , 2 ∴f(x)=x , ∴f′(x)=2x, ∴f(1)=1,f′(1)=2, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y﹣1﹣2(x﹣1) ,即 y=2x﹣1.
2 2

故选 B. 点评: 本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义. 函数在某 点的导数值等于该点的切线方程的斜率.

9.已知 S= 的是( ) A.0.99818

?(sin

+sin

+sin

+…+sin

) ,则与 S 的值最接近

B.0.9999

C .1.0001

D.2.0002

考点:正弦函数的定义域和值域. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:把区间[0, 为 sin ]平均分成 20000 份,每一个矩形的宽为 ,第 k 个的矩形的高

,则 S 表示这 20000 个小矩形的面积之和,且这 20000 个小矩形的面积之 所围成的面积. 再根据定积分的定义求得 y=sinx 与 x=0、 x=

和略大于 y=sinx 与 x=0、 x=

所围成的面积为 1,可得 S 的值略大于 1,结合所给的选项,得出结论. 解答: 解:把区间[0, , 则 S= 面积之和, 且这 20000 个小矩形的面积之和略大于 y=sinx 与 x=0、x= 所围成的面积. ?(sin +sin +sin +…+sin )表示这 20000 个小矩形的 ]平均分成 20000 份,每一个矩形的宽为 ,第 k 高为 sin

再根据定积分的定义,y=sinx 与 x=0、x=

所围成的面积为

=﹣cosx

=1,

故 S 的值略大于 1,结合所给的选项, 故选:C. 点评:本题主要考查正弦函数的定义域和值域,定积分的定义,体现了转化的数学思想,属 于基础题.

10.若曲线 y=

与直线 y=kx+1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是

( A. C.

) B. D.

考点:函数的零点与方程根的关系.

专题:函数的性质及应用. 分析:作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论.

解答: 解:作出曲线 y=

的图象如图:

直线 y=kx+1 过定点(0,1) , 当 k=0 时,两个函数只有一个交点,不满足条件, 当 k>0 时,两个函数有 2 个交点,满足条件, 当 k<0 时,直线 y=kx+1 与 y= 此时
2

在 x>1 相切时,两个函数只有一个交点,

=kx+1,即 kx +(1﹣k)x﹣2=0,
2 2

判别式△ =(1﹣k) +8k=0,k +6k+1=0, 解得:k=﹣3+2 ,或 k=﹣3﹣2 (舍去) , 则此时满足﹣3+2 <k<0, 综上满足条件的 k 的取值范围是(﹣3+2 ,0)∪(0,+∞) , 故选:B. 点评: 本题主要考查函数与方程的应用, 利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关 键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.函数 [0,+∞) . 考点:函数的定义域及其求法. 专题:计算题. x 分析:由题意可得 2 ﹣1≥0,解不等式可得函数的定义域. x 解答: 解:由题意可得 2 ﹣1≥0, 解不等式可得 x≥0 所以函数的定义域是[0,+∞) 故答案为:[0,+∞) 的定义域是

点评:本题考查了求函数的定义域的最基本的类型:偶次根式型:被开方数大于(等于)0, 还考查了指数不等式的解法.属于基础试题. 12.tan600°= . 考点:诱导公式的作用. 专题:计算题. 分析:用诱导公式将较大的角转化成锐角三角函数进行化简. 解答: 解:∵tan600°) =tan60° = . 故答案为: . 点评: 本题主要考查三角函数的诱导公式, 诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角 函数利用角的周期性,转换为角度比较小的三角函数

13.若等比数列{an}的首项 a1=81,且 a4=

(2x)dx,则数列{an}的公比是 .

考点:定积分;等比数列的通项公式. 专题:导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析:由已知首先求出 a4,且然后通过等比数列的定义求公比. 解答: 解:由已知 a4= 所以 a4=a1q =3,解得 q= ; 故答案为: . 点评: 本题考查了定积分与等比数列相结合的问题; 关键是熟练掌握积分公式以及等比数列 的通项公式. 14. 已知锐角 A 是△ ABC 的一个内角, a, b, c 是三角形中各角的对应边, 若 sin A﹣cos A= , 则 b+c 与 2a 的大小关系为≤. (填<或>或≤或≥或=) 考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理求出 cos2A 的值,确定出 A 的度数, 设 B=60°+x,0≤x <60°,则有 C=60°﹣x, <cosx≤1,表示出 sinB+sinC,求出 2sinA 的值, 即可做出判断. 解答: 解:∵锐角△ ABC 中,sin A﹣cos A=﹣cos2A= ,即 cos2A=﹣ , ∴2A=120°,即 A=60°, 设 B=60°+x,0≤x<60°,则有 C=60°﹣x, <cosx≤1,
2 2 2 2 3

(2x)dx=x

2

=3,等比数列{an}的首项 a1=81,

∵sinB+sinC=sin(60°+x)+sin(60°﹣x)=2sin60°cosx=

cosx,2sinA=2×

=



∴sinB+sinC≤2sinA, 由正弦定理化简得:b+c≤2a, 故答案为:≤ 点评:此题考查了正弦定理,二倍角的余弦函数公式,以及和差化积公式,熟练掌握正弦定 理是解本题的关键.

15.对于函数 f(x)=

,有下列 4 个命题:

①任取 x1、x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立; k * ②f(x)=2 f(x+2k) (k∈N ) ,对于一切 x∈[0,+∞)恒成立; ③对任意 x>0,不等式 f(x)≤ 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ④函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1)有 3 个零点; 则其中所有真命题的序号是①②④. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.[来源:Zxxk.Com] 分析:本题考查三角函数和对数函数的图象及性质,先由题意分析条件函数 f(x)定义域 为 x∈[0,+∞) ,以 2 为变化区间的正弦类型的曲线,且当 x>2 时,后面每个周期都是前一 个周期振幅的 ,然后根据相应性质判断命题即可. 解答: 解:①任取 x1、x2∈[0,+∞) , 当 x1、x2∈[0,2],|f(x1)﹣f(x2)|=|sinπx1﹣sinπx2|≤2, 当 x∈(2,+∞) ,f(x)= f(x﹣2)=( ) sinnπ, 综上都有任取 x1、x2∈[0,+∞) ,|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立,①正确; ②∵f(x)= f(x﹣2) ,∴f(x+2k)=( ) f(x) , ∴f(x)=2 f(x+2k) (k∈N ) ,对于一切 x∈[0,+∞)恒成立,②正确; ③对任意 x>0,不等式 f(x)≤ 恒成立, 则有 k≥xf(x) ,|f(x)|≤1,当 x→∞,xf(x)→∞, 则实数 k→+∞, ∴k 的取值范围不是 ,故③错误.
k * k n



④函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1)的定义域为(1,+∞) , 当 x=2 时,y=sin2π﹣ln1=0, 而 f(x)=sinπx 是周期为 2 的类正线曲线;当 x>2 时,f(x+2k)=( ) f(x) ,图象只发 生振幅变化, y=ln(x﹣1)为对数函数 y=lnx 图象向右平移 1 个单位得到,过定点(2,0) , 做上述两函数图象可知:当 1<x<2 以及 x>2 时两图象各有一交点,
k

则 f(x)=有 3 个零点正确; 故答案为:①②④. 点评:本体解题的关键是对于函数的理解,能顺利做出函数的草图,利用图象及三角函数值 得有界性解题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知 A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R},B={x|m﹣3≤x≤m+3,m∈R}. (Ⅰ)若 A∪B={x|﹣1≤x≤6},求实数 m 的值; (Ⅱ)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;并集及其运算. 专题:简易逻辑. 分析: (Ⅰ)根据集合的基本运算,即可求实数 m 的值; (Ⅱ)利用充分条件和必要条件的定义和集合之间的关系即可得到结论. 2 解答: 解: (Ⅰ)由题设得:A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R}={x|﹣1≤x≤3},B={x|m﹣3≤x≤m+3, m∈R}. 因为 A∪B={x|﹣1≤x≤6}, 故 ,即 ,
2

所以 m=3. (Ⅱ)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件, 故 ,即 ,

解得 0≤m≤2, 经检验①②不会同时成立, 所以 0≤m≤2. 点评:本题主 要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用,比较基础. 17.设数列{an}满足 an=3an﹣1+2(n≥2, n∈N ) ,且 a1=2,bn=log3(an+1) (Ⅰ)证明:数列{an+1}为等比数列; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.
*

考点:数列的求和;等比关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an=3an﹣1+2(n≥2,n∈N ) ,变形为 an+1=3(an﹣1+1) ,即可证明; (2)由等比数列的通项公式可得 = = ,于是 bn=log3(an+1)=n.因此
*

.再利用“裂项求和”即可得出.
*

解答: (1)证明:∵an=3an﹣1+2(n≥2,n∈N ) , ∴an+1=3(an﹣1+1) , 又 a1+1=3, ∴数列{an+1}为等比数列.

(2)解:∵数列{an+1}为等比数列,首项为 3,公比为 3. ∴ ,即 an=3 ﹣1. =n. = .
n

∴bn=log3(an+1)= ∴ =

∴Sn= = = .

+…+

点评:本题考查了等比数列的定义及其通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.在△ ABC 中,a +c ﹣b = (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a=4,且 ≤A≤ ,求边 c 的取值范围.
2 2 2

acsinB.

考点:余弦定理的应用. 专题:计算题;解三角形. 分析: (1)利用余弦定理列出关系式,与已知等式结合整理后求出 tanB 的值,根据 B 为三 角形内角,利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数; (2)利用正弦定理表示出 c,根据 A 的范围利用正弦函数值域即可确定出 c 的范围. 2 2 2 解答: 解: (1)由余弦定理,可得 a +c ﹣b =2accosB … 又 a +c ﹣b = 所以可得 tanB= 又∵0<B<π, ∴B= ;… …
2 2 2

acsinB… …

(2)由正弦定理,

得 c= 又 ≤A≤

=2+ ,故 tanA∈[ ,

… ]…

∴c∈[4,8]… 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理是解本题 的关键.

19.中国正在成为汽车生产大国,汽车保有量大增,交通拥堵日趋严重.某市有关部门进行 了调研,相关数据显示,从上午 7 点到中午 12 点,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟) 与车辆进入该路段的时刻 t 之间关系可近似地用如下函数给出:

y=

,求从上午 7 点到中午 12 点,车辆通过该路段用

时最多的时刻. 考点:分段函数的应用. 专题:计算题;应用题;函数的性质及应用. 分析: 由分段函数, 讨论①当 7≤t<9 时, 由三角函数的性质, 即可得到最大值, ②当 9≤t≤10 时,由一次函数的单调性,可得到最大值,③当 10<t≤12 时,由二次函数的性质,即可得 到最大值,最后比较即可得到答案. 解答: 解:①当 7≤t<9 时,即 故当 t﹣ t﹣ < ,y=18sin( ) ,

,即 t=8 时,y 有最大值,ymax=18;

②当 9≤t≤10 时,y=4t﹣27 是增函数, 故 t=10 时,ymax=13; 2 ③当 10<t≤12 时,y=﹣3(t﹣11) +16, 故 t=11 时,ymax=16. 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点. 点评:本题考查分段函数及运用,考查分段函数的最值,注意讨论各段的最值,再比较,考 查运算能力, 20.己知函数 f(x)=2sinωx?cosωx+2bcos ωx﹣b(其中 b>0,ω>0)的最大值为 2,直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x) 图象的任意两条对称轴,且|x1﹣x2|的最小值为 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)若 f(a)= ,求 sin( ﹣4a)的值; .
2

(Ⅲ)对?a∈ R,在区间(a,a+s]上 y=f(x)有且只有 4 个零点,请直接写出满足条件的所 有 S 的值并把上述结论推广到一般情况. (不要求证明) 考点:两角和与差的正弦函数;函数的零点与方程根的关系;正弦函数的对称性. 专题:归纳猜想型;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)先化简函数 f(x)根据已知求出 b 的值,从而确定函数 f(x)的解析式进而可 得单调增区间; (Ⅱ)若 f(a)= ,可求得 sin(2a+ )= ,从而可求 sin( ﹣4a)的值;

(Ⅲ)由三角函数的图象与性质和已知即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=sin2ωx+bcos2ωx= sin(2ωx+φ)

T=2× T= 解

=π = ,所以 ω=1 =2 得 b= , ,故 f(x)=2sin(2x+ ≤ +2kπ,k∈Z 得:kπ﹣ , ],k?Z ) ,k?Z

因为 b>0,所以 b= 由 2kπ ≤2x+

所以函数 f(x)的单调增区间为[kπ (Ⅱ)由 f(a)= 得 sin(2a+ sin( =2 =﹣ . (Ⅲ)s=2π ﹣4a)=sin[ )=

﹣2(2a+

)]=﹣cos[2( 2a+

)]

推广:对?a∈R,在区间(a,a+s]上 y=f(x)有且只有 n(n∈N )个零点,则 s 的值为
*

*



若写:对?a∈R,在区间(a,a+s]上 y=f(x)有且只有 2n(n∈N )个零点,则 s 的值为 nπ. 点评:本题主要考察了三角函数的图象与性质,函数的零点与方程根的关系,正弦函数的对 称性,属于中档题. 21.已知 f(x)=(x﹣1)e +1,x∈[0,1] (Ⅰ)证明:f(x)≥0 (Ⅱ)若 a< <b 在 x∈(0,1)恒成立,求 b﹣a 的最小值.
x

(Ⅲ)证明:f(x)图象恒在直线 y=x﹣ 的上方.

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导数判断函数的单调性,即可得出 f(x)≥f(0)=0; (Ⅱ)令 g(x)= ,利用导数判断函数的单调性,求出函数的最大值、最小值,即可

得出 a≤1,b≥e﹣1,即可得出结论;

(Ⅲ)由题意可得只需证 f(x)>x﹣ ,即证(x﹣1)e ﹣x+ >0 在[0,1]上恒成立.令 k(x)=(x﹣1)e ﹣x+ ,利用导数判断函数的单调性,得出最值,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=xe ≥0 即 f(x)在[0,1]上单调递增.… 所以 f(x)≥f(0)=0,即结论成立.… (Ⅱ)令 g(x)= ,则 g′(x)= ≥0,x∈(0,1)…
x x

x

所以,当 x∈(0,1)时,g(x)<g(1)=e﹣1, 要使 <b,只需 b≥e﹣1 …

要使

>a 成立,只需 e ﹣ax﹣1>0 在 x∈(0,1)恒成立.…
x

x

令 h(x)=e ﹣ax﹣1x∈(0,1) x x 则 h′(x)=e ﹣a,由 x∈(0,1) ,e ∈(1,e) , 当 a≤1 时,h′(x)≥0 此时 x∈(0,1) ,有 h(x)>h(0)=0 成立. 所以 a≤1 满足条件. 当 a≥e 时, h′(x)≤0,此时 x∈(0,1)有 h(x)<h(0)=0, 不符合题意,舍去. 当 1<a<e 时,令 h′(x)=0,得 x=lna, 可得当 x∈(0,lna)时,h′(x)≤0.即 x∈(0,lna)时,h(x)<h(0)=0, 不符合题意舍去. 综上,a≤1 … 又 b≥e﹣1,所以 b﹣a 的最小值为 e﹣2.… (Ⅲ)由题意只需证 f(x)>x﹣ ,即证(x﹣1)e ﹣x+ >0 在[0,1]上恒成立. 令 k(x)=(x﹣1)e ﹣x+ ,k′(x)=xe ﹣1 … k (x)=(x+1)e >0,即 k′(x)在[0,1]上单调递增. 又 且 <0,k′(1)>0,所以 k′(x)在[0,1]有唯一的解,记为 x0, ﹣1=0,即 …
″ x x x x

可得当 x∈(0,x0)时,k′(x)≤0,当 x∈(x0,1)时,k′(x)≥0, 所以只需最小值 k(x0)=(x0﹣1) 易得 ﹣x0+ = ﹣( ) …

< ,x0∈( ,1) ,所以 k(x)>0.

所以结论得证.… 点评:本题主要考查利用导数研究函数的有关性质,判断函数的单调性、求函数的极值、最 值等知识,考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力,属于难题.



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