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高考数学4应用题的解法50



高考数学应用题的解法
2007 年全国数学考试大纲(课标版)中,能 能 力要求中指出,能力是指思维能力、运算能力、 力要求 空间想象能力以及实践能力 实践能力和创新意识,其中对 实践能力 实践能力的界定是: 能综合应用所学数学知识、 思 想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、 生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材 料, 并对所提供的信息资料进行归纳、 整理和分类, 将实际问题抽象为数学问题, 建立数学模型; 应用 相关的数学方法解决问题并加以验证, 并能用数学 语言正确地表达和说明. 实践能力是将客观事物数学化的能力.主要过 程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系, 构造数学模型, 将现实问题转化为数学问题, 并加 以解决. 2007 年山东数学考试说明对实践能力的界 定是: 能够综合运用所学知识对问题所提供的信息 资料进行归纳、 整理和分类, 将实际问题抽象为数 学问题; 能应用相关的数学方法解决问题, 并能用 数学语言正确地表述、说明. 对实践能力的考查主要采用解决应用问题的 形式.命题时要坚持“贴近生活,背景公平,控制 难度” 的原则, 试题设计要切合中学数学教学的实 际, 考虑学生的年龄特点和实践经验, 使数学应用 问题的难度符合考生的水平. 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型 之一, 高考中一般命制一道解答题和两道选择填 空题. 由于这类题目文字叙述长,数学背景陌生, 涉及面又广, 对相当一部分学生来讲, 连题目都不 “敢”去看了,心理失衡,导致在阅读和理解方面 存在着一定困难. 解答这类问题的要害是消除心理和语言障 碍,深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语 言的翻译转化, 自信, 冷静地去读完题目, 保持冷 静,认真对待,不能随意放弃.读题是翻译的基础, 读题时要抓住题目中的关键字、词、句,弄清题中 的已知事项, 初步了解题目中讲的是什么事情, 要 求的结果是什么。 在读题的基础上, 要能复述题目 中的要点,深思题意,很多情况下,可将应用题翻 译成图表形式, 形象鲜明地表现出题中各数量之间 的关系,将文字语言、符号语言、图表语言转化成 数学语言,这个过程其实就是建模。函数,数列, 不等式,排列组合、概率是较为常见的模型,而三 角,立几,解几等模型也时有出现. 一般来说, 可采用下列策略建立数学模型:1) ( 双向推理列式, 利用已知条件顺向推理, 运用所求 结果进行逆向搜索; (2)借助常用模型直接列式, 平均增长率的问题可建立指、 对数或方程模型, 行 程、工程、浓度问题可以建立方程(组)或不等式 模型,拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次 - 34 -

模型, 测量问题可建立解三角形模型; 计数问题可 建立排列组合问题;机会大小问题可建立概率模 型,优化问题可建立线性规划模型……

一、 建构函数模型的应用性问题
解答函数型应用题, 一般先从建立函数的解析 表达式入手, 通过研究函数的性质获得解答. 因此, 这类问题的难点一般有两个:一是解析式的建立, 二是数学知识的灵活应用. 1.某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没 有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店, 并约定用该 店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利
q 60

24 1 40 58 81 p

息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元; 该店每 月销售量 q(百件)与销售价 p(元/件)之间的 关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人 每月工资为 600 元, 该店应交付的其它费用为每月 13200 元. (Ⅰ)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正 好收支平衡,求该店的职工人数; (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则该店最早 可在几年后还清所有债务, 此时每件消费品的价格 定为多少元? 所给条件零散杂 讲解 本题题目的篇幅较长, 乱,为此,不仅需要划分段落层次,弄清每一层次 独立的含义和相互间的关系, 更需要抓住矛盾的主 要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平 衡”“还清所有债务” 、 ,不难想到,均与“利润” 相关. 从阅读和以上分析, 可以达成我们对题目的整 体理解,明确这是一道函数型应用题.为此,首先 应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品 的销售价 p 之间的关系,然后,通过研究解析式, 来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量, 所 以,先考虑月利润. (Ⅰ) 设该店的月利润为 S 元, 有职工 m 名. 则

S = q ( p ? 40 ) × 100 ? 600m ? 13200 .
由 图 可 知 :



??2 p + 140, ? q=? ?? p + 82 ?
所以,

( 40 ≤ p ≤ 58) . ( 58 < p ≤ 81)
( 40 ≤ p ≤ 58 ) ( 58<p ≤ 81)

但每生产一件次品将亏损

A 元,故厂方希望定出 2

?( ?2 p + 140 )( p ? 40 ) ×100 ? 600m ? 13200 ? S =? ?( ? p + 82 )( p ? 40 ) ×100 ? 600m ? 13200 ?

合适的日产量. (Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额 T (元)表示为日产量 x(件)的函数; (Ⅱ) 当日产量为多少时, 可获得最大利润? 讲解: 讲解 (Ⅰ)当 x 每天的盈利额 T

由已知,当

( ?2 p + 140 )( p ? 40 ) ×100 ? 600m ? 13200 = 0
解得 m = 50 .即此时该店有 50 名职工. (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润 ?( ?2 p +140)( p ? 40) ×100 ? 37200 ( 40 ≤ p ≤ 58) ? S =? ( 58<p ≤ 81) ?( ? p + 82)( p ? 40) ×100 ? 37200 ? 当 40 ≤

p = 52 时, S = 0 ,即

> c 时, P =

2 ,所以, 3

p ≤ 58 时,求得 p = 55 时,S

取最大 取

值 7800 元.

当 58 <

p ≤ 81 时,求得 p = 61 时,S

最大值 6900 元. 综上,当

p = 55 时,S 有最大值 7800 元.

1 2 A xA ? x ? = 0 . 3 3 2 1 当 1 ≤ x ≤ c 时, P = ,所以,每 96 ? x 1 ? ? 日生产的合格仪器约有 ? 1 ? ? x 件,次品 ? 96 ? x ? ? 1 ? 约有 ? ? x 件.故,每天的盈利额 ? 96 ? x ? =
? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T = ?1 ? ?A ? xA ? ? ?x? = ?x ? ? 2 ( 96 ? x ) ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ?

解得 n ≥ 5 . 所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时 消费品的单价定为 55 元. 点评 求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅 读量都比较大, 要通过阅读审题, 找出关键词、 句, 理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型, 将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已 建立的数学模型. 2.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技 术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道, 该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x(件)之 间 大 体 满 足 关 系 :

有 12 n × 7800 ? 268000 ? 200000 ≥ 0 .

设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x > c 时,每天的盈 利额为 0. ? . 3x 当 1 ≤ x ≤ c 时, T = ? x ? ? ?A ? ? 2 ( 96 ? x ) ? ? 为 表 达 方 便 , 令

综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件) 的函数关系为: ?? ? 3x ?? x ? ? A, 1 ≤ x ≤ c . T = ?? 2 ( 96 ? x ) ? ? x>c ?0,

0 < 96 ? c ≤ t ≤ 95 .故

96 ? x = t

, 则

? 1 ? 96 ? x (1 ≤ x ≤ c, x ∈ N ) 1 ? 1 ? 144 144 ? 147 P =96 ? t ? 96 (等号 T= ? A = 97 ? t ? . A ≤ ? 97 ? 2 t ? A > 0. ?A= ? 2 ? 2 2 2 t t ? 2 ? ? ( x > c,tx ∈ N ) ?3 ?
当且仅当 t

? 3 ( 96 ? t ) ? 144 ? 1 ? 1 T = ? 96 ? t ? ? A = ? 97 ? t ? ? A ≤ 97 ? 2 2t t ? 2 ? 2 ? ?

次品数 注:次品率 P = ,如 P = 0.1 表示每 生产量
生产 10 件产品, 约有 1 件为次品. 其余为合格品. 已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,

( 其中c为小于96的正常数 )

=

144 ,即 t = 12 (即x = 88 ) 时成 t ≥ 88 时, Tmax = 147 A (等号 2

立) .所以, (1)当 c 当且仅当 x

= 88 时成立) . (2) 当 1 ≤ c < 88 时,由 1 ≤ x ≤ c 得 12 < 96 ? c ≤ t ≤ 95 ,易证函数

- 35 -

g (t ) = t +

144 在 t ∈ (12, +∞) 上单调递增 t

时只须求 x=4 时, 每台产品售价为

R ( 4) =2.4 (万 4

6?c

元/百台)=240(元/台). 4.为处理含有某种杂质的污水, 要制造一个底 所以, g (t ) ≥ g 96 ? c .所以, 宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱(如图) ,污水从 A 144 ? 144 ? 144 189 2 ? 1 ? 1 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a T = ? 97 ? t ? A>0 ? A ≤ ? 97 ? ( 96 ? c ) ? ? A = 米, 高度为 c 米, 已知流出的水中该杂质的质量分 t ? 96 ? c ? 192 ? 2 b ? 2 ? 2 数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平 ? 144 + 189c ? 2c 2 ? 144 方米,问当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出的 ? A=? ?A> 0. 水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略 96 ? c 192 ? 2c ? ? 不计)? ? 144 + 189c ? 2c 2 ? 分析: 关键在于理解题意而列出关系式, 找到 即 Tmax = ? (等号 ? A. a 与 b 间的等量关系.函数最小值可应用重要不等 192 ? 2c ? ? 式或利用导数解决. 当且仅当 x = c 时取得) 解法一: 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量 综上,若 88 ≤ c < 96 ,则当日产量为 88 k 则由条件 y= (k>0 为比例系数)其中 分数为 y, 件时,可获得最大利润;若 1 ≤ c < 88 ,则当日 ab 产量为 c 时,可获得最大利润. a、b 满足 2a+4b+2ab=60 ① 基本不等式和函数的单调性是求解函 点评 要求 y 的最小值,只须求 ab 的最大值. 数最值问题的两大重要手段. 由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0) 3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验 且 ab=30–(a+2b) 得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x(百 应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)–4 台) ,其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元, 并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元 (总 ≥ 2 ( a + 2)( 2b + 2) ? 4 = 12 成本=固定成本+生产成本) ,销售收入 R(x)满足 ∴ab≤18,当且仅当 a=2b 时等号成立 R(x)= 将 a=2b 代入①得 a=6,b=3.

(证明过程略) .

(

)

?? 0.4 x 2 + 4.2 x ? 0.8 ? ?10.2

(0 ≤ x ≤ 5) ( x > 5)

.假

故当且仅当 a=6,b=3 时, 经沉淀后流出的水中 该杂质的质量分数最小. 解法二:由 2a+4b+2ab=60,得 b 记u

定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律. (1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么 范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求 此时每台产品的售价为多少? 解:依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x), 则

=

= ab =

(30 ? a )a (0<a<30)则要求 y 2+a
,令 u′=0 得 a=6

30 ? a , 2+a

的最小值只须求 u 的最大值. 由 u′ =

?? 0.4 x 2 + 3.2 x ? 2.8 f ( x) = ? ?8.2 ? x

(0 ≤ x ≤ 5) ( x > 5)

64 ? (a + 2) 2 (a + 2) 2

(1)要使工厂有赢利,则有 f(x)>0. 当 0 ≤x≤5 时,有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得 1<x<7,∴1<x≤5. 当 x>5 时,有 8.2–x>0,得 x<8.2,∴5<x<8.2. 综上,要使工厂赢利,应满足 1<x<8.2.即产品 应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=–0.4(x–4)2+3.6 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时 f(x)<8.2–5=3.2 所以当工厂生产 400 台产品时, 赢利最大, 此

且当 0<a<6 时,u′>0,当 6<u<30 时 u′<0, ∴u b=3. 从而当且仅当 a=6,b=3 时,y=

=

(30 ? a )a 在 a=6 时取最大值,此时 2+a k 取最小值. ab

5.运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种 运输工具中选择, 它们的速度分别为 v 千米/小时、 2v 千米/小时、10v 千米/小时,每千米的运费分别 为 a 元、b 元、c 元.且 b<a<c,又这批海鲜在运输 过程中的损耗为 m 元/小时,若使用三种运输工具 - 36 -

分别运输时各自的总费用 (运费与损耗之和) 互不 相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.(题中 字母均为正的已知量) 5.解:设运输路程为 S(千米) ,使用汽车、火 车、 飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为 y1( 元 ) 、 y2( 元 ) 、 y3( 元 ). 则 由 题 意 ,

y1 = aS +

S m m m = (a + ) S . y 2 = (b + ) S , v v 2v m m y 3 = (c + ) S . y1 ? y 2 = [(a ? b) + ]S 10v 2v 2m ]S.令 5v
y3–y2>0,由 c>b

,由 a>b,各字母均为正值,所以 y1–y2>0,即 y2<y1. 由 y3–y2=[(c–b)–

9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间内有 6 个小时可供冲浪者运动即上 午 9:00 至下午 15:00. 7.某外商到一开放区投资 72 万美元建起一座 蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后每 年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元. (1)若扣除投资及各种经费,则从第几年开 始获取纯利润? (2)若干年后,外商为开发新项目,有两种 处理方案:①年平均利润最大时以 48 万美元出售 该厂; ②纯利润总和最大时, 16 万元出售该厂, 以 问哪种方案最合算? 解:由题意知,每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 设纯利润与年数的关系为 f(n), 则 f(n)=50n–[12n+

及 每 字 母 都 是 正 值 , 得 c>b+

2m 5v

.所以,当

n(n ? 1) ×4]–72 2

c>b+

2m 5v

时 y2<y3, 由 y2<y1 即 y2 最 小 , 当

=–2n2+40n–72 (1)获纯利润就是要求 f(n)>0,∴–2n2+40n– 72>0,解得 2<n<18.由 n∈N 知从第三年开始获利. (2)①年平均利润=

b<a<c<b+

2m 时,y3<y2<y1,y3 最小. 5v

f ( n) 36 =40–2(n+ ) n n

6.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位小时)的函数,记作 y=f(t),下表 是某日各时的浪高数据
t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.49 15 1 18 0.51 21 0.99 24 1.5

经长期观测 y=f(t)的曲线可近似地看成函数 y=Acosωt+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对 冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天 内的上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有多少时间 可供冲浪者进行运动. 解: 由表中数据, T=12, (1) 知 ω=

2π π = T 6

.

A=

1 1 π ,∴y= cos t + 1 2 2 6

由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.所以,A=0.5,b=1.振幅

≤16.当且仅当 n=6 时取等号.故此方案先获利 6× 16+48=144(万美元) , 此时 n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128. 当 n=10 时,f(n)|max=128.故第②种方案共获利 128+16=144(万美元). 故比较两种方案, 获利都是 144 万美元, 但第 ①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故选 择第①种方案. 8.某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、 Q, 该厂的生产能力是月产 P 产品最多有 2500 件, 月产 Q 产品最多有 1200 件; 而且组装一件 P 产品 要 4 个 A、2 个 B,组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个; B 零件最多 12000 个.已知 P 产品每件利润 1000 元, Q 产品每件 2000 元,欲使月利润最大,需要组装 P、Q 产品各多少件?最大利润多少万元. 解:设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件,则有
?0 ≤ x ≤ 2500 ?4 x + 6 y ≤ 14000 ?2 x + 3 y ≤ 7000 依题意有? 则有? ? 0 ≤ y ≤ 1200 2 x + 8 y ≤ 12000 ? ? ? x + 4 y ≤ 6000



1 π π cos t + 1 >1, cos t >0. 2 6 6
∴2kπ–

(2)由题意知,当 y>1 时,才可对冲浪者开放.

设利润 S=1000x+2000y=1000(x+2y) 要使利润 S 最大,只需求 x+2y 的最大值. x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) ∴?

π

2

<

π

6

t < 2kπ +

π
2

?2 m + n = 1 ?3m + 4n = 2

, 有 x+2y= - 37 -

2 ? ∴ ?m = 5 ? ? ?n = 1 ? 5 ?

即有 12k–3<t<13k+3. 由 0 ≤t≤24,故可令 k=0,1,2,得 0 ≤t<3 或

2 1 (2x+3y)+ (x+4y) 5 5

2 1 ×7000+ ×6000. 5 5 ?2 x + 3 y = 7000 当 且 仅 当 ? ? x + 4 y = 6000


解 得

? x = 2000 ? ? y = 1000

时 取 等 号 , 此 时 最 大 利 润

系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内 的个数超过 108 的时候小白鼠将死亡. 但注射某种 药物,将可杀死其体内该病毒细胞的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第 一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才 能维持小白鼠的生命?(精确到天) 已知:lg2=0.3010.

Smax=1000(x+2y) =4000000=400(万元). 另外此题可运用“线性规划模型”解决. 9. 随着机构改革工作的深入进行,各单位要 减员增效,有一家公司现有职员 2 a 人 (140< 2 a <420, a 为偶数)每人每年可创利 b 且 , 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 ... 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元, .... 但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 万元的生活 费, 并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职 员的

天数 t 1 2 3 4 5 6 7 …
数为

病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32 64 …
则由 2 n ?1 ≤ 10 8 ,

讲解 (1)由题意病毒细胞关于时间 n 的函

y = 2 n ?1 ,

3 ,为获得最大的经济效益,该公司应裁员 4

两边取对数得

y万 元,则 y = ( 2 a ? x )(b + 0.01bx ) ? 0.4bx b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] + 2ab =? 100 3 依题意 2 a ? x ≥ ? 2 a 4 a ∴0< x ≤ . 2 又 140< 2 a <420, 70< a <210. a (1)当 0< a ? 70 ≤ ,即 70< a ≤140 时, 2 x = a ? 70 , y 取到最大值; a a (2)当 a ? 70 > ,即 140< a <210 时, = x , 2 2 y 取到最大值; 综上所述, 70< a ≤140 时, 当 应裁员 a ? 70 a 人;当 140< a <210 时,应裁员 人. 2
在多字母的数学问题当中,分类求解时需要 搞清:为什么分类?对谁分类?如何分类? 10.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发 展规律及其预防, 将病毒细胞注入一只小白鼠体内 进行实验, 经检测, 病毒细胞的增长数与天数的关 - 38 -

多少人? 解 设裁员 x 人,可获得的经济效益为

n ≤ 27.5, 即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. (2) 由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病 毒细胞为 2 × 2% , 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 26 2 × 2% × 2 x ,
26

(n ? 1) lg 2 ≤ 8,

由题意 2 26 × 2% × 2 x ≤108,两边取对数得 26 lg 2 + lg 2 ? 2 + x lg 2 ≤ 8, 得x ≤ 6.2 , 故再经过 6 天必须注射药物,即第二次应在 第 33 天注射药物. 本题反映的解题技巧是“两边取对数” ,这对 实施指数运算是很有效的. 11.在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停 放着一只小船, 由于缆绳突然断开, 小船被风刮跑, 其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h,同时岸 边有一人,从同一地点开始追赶小船,已知他在岸 上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h., 问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能 被人追上的最大速度是多少? 讲解: 讲解 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图

B

vt

2(1-k)t

O

15° 4kt

A

形语言, 进而想法建立数学模型. 设船速为 v, 显然 v ≥ 4 km / h 时人是不可能 人不必在岸上跑, 追上小船, 0 ≤ v ≤ 2 km/h 时, 当 而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船, 因此只要考虑 2 < v < 4 的情况,由于人在水中游 的速度小于船的速度, 人只有先沿湖岸跑一段路后 再游水追赶, 当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以 及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时, 人才能追上小船。设船速为 v,人追上船所用 时间为 t,人在岸上跑的时间为 kt (0 则人在水中游的时间 为 (1 ? k)t ,人要追上小船,则人船运动的路线 满足如图所示的三角形.

(3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所 有污染停止, 那么需要经过多少天才能使湖水的污 染水平下降到开始时污染水平的 5%? 讲解( 讲解 1)∵g(t)为常数, 有 g(0)∴g(0)=

p r

=0,

p r

.

(2) 我们易证得 0<t1<t2, 则 g(t1)-g(t2)=[g(0)? r t2 v1

< k < 1) ,

p r

]e

r ? t1 v

-[g(0)? r t2 v1

p r



Q| OA |= 4kt , | AB |= 2(1 ? k )t , | OB | vt ,
由余弦是理得

e

=[g(0)r t2 v

p r
r t1 v

]e [

r ? t1 v

-e

]=[g(0)-

| AB |2 =| OA |2 + | OB |2 ?2 | OA | ? | OB | ? cos15°
即 4(1 ? k ) 2 t 2 = ( 4kt ) 2 + (vt ) 2 ? 2.4kt ? vt ? 6 + 2 4 整理得 12k 2 ? [2( 6 + 2 )v ? 8]k + v 2 ? 4 = 0 . 要使上式在(0,1)范围内有实数解,则有 v2 ? 4 2 2 0< < 1 且 ? = [2( 6 + 2)v ? 8] ? 4 ?12? (v ? 4) ≥ 0 12 解得 2 < v ≤ 2 2 , 即v max = 2 2km / h . 故当船速在 ( 2,2

e p ∵g(0)· r

p r



(e

?e )

r ( t1 + t2 ) v

,
r t2 v1 r t1 v

<0,t1<t2,e

>e

,∴g(t1)<g(t2) .

故湖水污染质量分数随时间变化而增加,污 染越来越严重.
(3)污染停止即 P=0,g(t)=g(0)·e v ,设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平 5%即 g(t)=5% g(0)?
r ? t

2 ] 内时,人船运动路线可物

成三角形, 即人能追上小船, 船能使人追上的最大 速度为 2 2km / h ,由此可见当船速为 2.5km/h 时, 人可以追上小船. 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命 题的一个冷点, 复课时值得关注. 有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方 米, 每天流出湖泊的水量都是 r 立方米, 现假设下 雨和蒸发正好平衡, 且污染物质与湖水能很好地混 合,用 g(t)表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污 染物质的克数, 我们称为在时刻 t 时的湖水污染质 量分数, 已知目前污染源以每天 p 克的污染物质污 染湖水,湖水污染质量分数满足关系式 g(t)=

1 ?vt v ∴ =e ,∴t= ln20, 20 r v 故需要 ln20 天才能使湖水的污染水平下 r
降到开始时污染水平的 5%. 12. 某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的 月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月 租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆, 租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车 每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能 租出多少辆车? (Ⅱ) 当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁 公司的月收益最大?最大月收益是多少? 讲解: 讲解 (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元 时,未租出的车辆数为

r

p r

+[g(0)-

p r

] e ·

r ? t v

(p≥0),其中,g(0)是湖水

污染的初始质量分数. (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水 污染的初始质量分数; (2)求证:当 g(0)< 度将越来越严重; - 39 -

p r

3600 ? 3000 = 12 ,所 50

时,湖泊的污染程

以这时租出了 88 辆车. (Ⅱ) 设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公 司的月收益为:

x ? 3000 ? x ? 3000 ? . f ( x ) = ? 100 ? × 50 ? ( x ? 150 ) ? 50 ? 50 ?

解答函数型最优化实际应用题,二、三元均 值不等式是常用的工具.

整理得: x2 1 2 f ( x ) = ? + 162 x ? 21000 = ? ( x ? 4050 ) + 307050 50 50 . 所以,当 x

二、建构不等关系的应用性问题
不等式应用题,多以函数面目出现,以最优 化的形式展现, 解答这一类问题, 不仅需要不等式 的相关知识(不等式的性质、解不等式、均值不等 式等) ,而且往往涉及函数、数列、几何等多方面 知识,综合性强,难度可大可小,是高考和各地模 拟题的命题热点. 1. 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米/小时 (4≤V≤20)从 A 港出发前往 50 千米处的 B 港, 然后乘汽车以匀速 W 千米/小时(30≤W≤100) 自 B 港向 300 千米处的 C 市驶去,在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间 分别是 x 小时、y 小时,若所需经费

= 4050 时, f ( x ) 最大,最大

值为 307050. 即当每辆车的月租金定为 4050 元时, 租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 307050 元. 点评:实际问题的最值要注意自变量的取值 点评 范围. 13.某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数 控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、 保养费用 12 万元, 从第二年开始, 每年所需维修、 保养费用比上一年增加 4 万元, 该机床使用后, 每 年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的 盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利 额为正值) ; (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有 两种: (i )当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (ii )当盈利额达到最大值时,以 12 万元价 格处理该机床, 问用哪种方案处理较为合算?请说 明你的理由. 讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工 作中经常遇到的问题. ( 1 )

p = 100 + 3(5 ? x) + 2(8 ? y ) 元,那么

V、

W 分别为多少时,所需经费最少?并求出这时所 花的经费. 讲解: 讲解 题中已知了字母, 只需要建立不等式 和函数模型进行求解. 由 于 50 y= 及4 ≤ V ≤ 100,∴ 2.5 ≤ y ≤ 12.5, 同理3 ≤ x ≤ 10 V 又 9 ≤ x + y ≤ 14 ,

P = 100 + 3(5 ? x) + 2(8 ? y ) = 131 ? (3 x + 2 y ), 令z = 3 x + 2 y.
则 z 最大时 P 最小. 作出可行域, 可知过点 (10, 时, z 有最大值 38, 4) ∴P 有最小值 93,这时 V=12.5,W=30. 视 z = 3 x + 2 y 这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法. 2. 某商场经过市场调查分析后得知, 2003 年 从年初开始的前 n 个月内, 对某种商品需求的累计 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) 数 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

y = 50 x ? [12 x +



x( x ? 1) × 4] ? 98 2 2 = ? 2 x + 40 x ? 98 . 2 (2)解不等式 ? 2 x + 40 x ? 98 >0, 10 ? 51 <x< 10 + 51 .

∵ x∈N, ∴ 3 ≤x≤ 17. 故从第 3 年工厂开始盈利. (3)(i) ∵ y = ?2 x + 40 ? 98 = 40 ? ( 2 x + 98 ) x x x

f (n) = n(n + 2)(18 ? n) , n = 1 ,2 , 3 , L, 12 ∴ 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值, 90 工厂共获利 12×7+30=114 万元. (Ⅰ)问这一年内,哪几个月需求量超过 1.3 (ii) Q y=-2x2+40x-98= -2 ( x-10 ) 2 万件? +102, (Ⅱ)若在全年销售中,将该产品都在每月 ∴ 当 x=10 时,ymax=102. 初等量投放市场, 为了保证该商品全年不脱销, 每 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂共 月初至少要投放多少件商品?(精确到件) 获利 102+12=114 万元. - 40 -

2 × 98 = 12 98 当且仅当 2 x = 时,即 x=7 时,等号成立. x

≤40 ? 2

f (n)

(万件)近似地满足下列关系:

1

? f (1) , n = 1 ? ? ? f ( n ) ? f ( n ? 1) , 2 ≤ n ≤ 12 ? 1 ∵ f (n) = n(n + 2)(18 ? n) , 90 17 ∴ f (1) = < 1.3 . 30 当 n ≥ 2 时,
f (n ?1) =


讲解: 讲解 (Ⅰ)首先,第 n 个月的月需求量=

?600 x + 700 y + 400 z ≥ 56000 , 及z = 100 ? x ? y ? ?800 x + 400 y + 500 z ≥ 63000
得, ?

?4 x + 6 y ≥ 320 , ?3 x ? y ≥ 130 所以, 7 x + 5 y ≥ 450.
所以,

1 (n ?1)(n +1)(19? n) 90
f (n) ? f (n ? 1) =

c = 400 + 7 x + 5 y ≥ 400 + 450 = 850, ?4 x + 6 y = 320 ? x = 50 当且仅当 ? , 即? ?3 x ? y ≥ 130 ? y = 20
时等号成立. 所以, x=50 千克, 当 y=20 千克, z=30 千克时, 混合物成本最低,为 850 元. 点评:本题为线性规划问题,用解析几何的 点评 观点看, 问题的解实际上是由四条直线所围成的区

1 (?3n2 + 35n + 19) 90 令 f (n) ? f (n ? 1) > 1.3 ,即

? 3n 2 + 35n + 19 > 117 14 < n<7, 3
件.

,解得:

∵ n∈N, ∴n = 5 ,6 即这一年的 5、6 两个月的需求量超过 1.3 万 (Ⅱ)设每月初等量投放商品 a 万件,要使 商品不脱销, 对于第 n 个月来说, 不仅有本月投放 市场的 a 万件商品,还有前几个月未销售完的商 品.所以,需且只需: na ? f (n) ≥ 0 ,

?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ? 域? 上使得 ?4 x + 6 y ≥ 320 ?3 x ? y ≥ 130 ? c = 400 + 7 x + 5 y 最大的点.不难发现,应在
点 M(50,20)处取得.

三、建构数列模型的应用性问题
数列作为特殊的函数,在高中数学中占有相 当重要的位置,涉及实际应用的问题广泛而多样, 如:增长率、银行信贷等.解答这一类问题,要充 分应用观察、归纳、猜想的手段,注意其间的递推 关系,建立出等差、等比、或递推数列的模型. 建立数列的递推关系来解题将有可能成为高 考命题革新的一个方向. 1.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行 着艰苦的斗争,到 2000 年底全县的绿地已占全县 总面积的 30%.从 2001 年起,市政府决定加大植 树造林、开辟绿地的力度,则每年有 16%的原沙漠 地带变成了绿地,但同时,原有绿地的 4%又被侵 蚀,变成了沙漠. (Ⅰ)在这种政策之下,是否有可能在将来的 某一年,全县绿地面积超过 80%? (Ⅱ)至少在多少年底,该县的绿地面积才能 超过全县总面积的 60%? 讲解:本题为实际问题,首先应该读懂题意, 搞清研究对象, 然后把它转化为数学问题. 不难看 出, 这是一道数列型应用问题. 因此, 我们可以设: 全县面积为 1, 2000 年底的全县绿地面积占 记 总面积的百分比为 a0 ,经过 n 年后全县绿地面积 占总面积的百分比为 an ,则我们所要回答的问题 就是: - 41 -

又 ∵ ( n + 2)(18 ? n) ≤ 1 [ ( n + 2) + (18 ? n) ] 2 = 10 90 90 2 9 ∴ a≥

f ( n ) ( n + 2)(18 ? n ) ∴ a≥ = n 90

10 9

即每月初至少要投放 11112 件商品,才能保 证全年不脱销. 点评: 本 点评 实际问题的解答要注意其实际意义. 题中 a 的最小值,不能用四舍五入的方法得到, 否则,不符合题意. 3.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并 使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. (Ⅰ)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 讲解: 讲解 (Ⅰ)由题, c 又

= 11x + 9 y + 4 z ,
, 所 以

x + y + z = 100 c = 400 + 7 x + 5 y .
(Ⅱ)由



(Ⅰ)是否存在自然数 n ,使得 an >80% ? (Ⅱ) 求使得 an >60%成立的最小的自然数 n . 为了解决这些问题,我们可以根据题意,列出 数列

始验证, 直到找到第一个使得 (

4 n 2 ) < 的自然数 5 5
时,均有

n 即为所求.
验证可知:当

推公式出发,设法求出这个数列的通项公式.

4 2 ( )n > , 而 当 n=5 时 , 5 5 3 由题可知: a0 = 30% = , 4 2 10 ( ) n = 0.32768 < , 5 4 4 5 a n+1 = (1 ? 4% )a n + 16%(1 ? a n ) = a n + 由指数函数的单调性可知:当 n ≥ 5 时,均 5 25 4 n 2 有( ) < . 5 5 4 4 ,两 所以,当 n ≥ 1 时, a n = a n ?1 + 所以,从 2000 年底开始,5 年后,即 2005 5 25 年底,全县绿地面积才开始超过总面积的 60%.
式作差得:

{an } 的相邻项之间的函数关系,然后由此递

n = 0,1, 2,3, 4

y 3x-y=130

M 4x+6y=320 x

场超历史记录的大暴雨, 为确保万无一失, 指挥部 决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正 在紧张施工的遂道工程。 其工程量除现有 4 ? 4 1 1 经测算, ?4 a1 ? a0 = ? a0 + ? ? a0 = ? a0 = 施工人员连续奋战外,还需要 20 辆翻斗车同时作 25 ? 25 5 10 ?5 业 24 小时。但是,除了有一辆车可以立即投入施 , 工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔 20 分 所以,数 钟有一辆车到达并投入施工, 而指挥部最多可组织 列 25 辆车。 24 小时内能否完成防洪堤坝工程?并 问 an ? an ?1 说明理由. 讲解: 讲解 引入字母 , 构建等差数列和不等式模 是 以 型. 1 a1 ? a0 = 由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可 又

4 a n+1 ? a n = (a n n 的值. ? a n ?1 ) 2. 某铁路指挥部接到预报,24 小时后将有一 5

点评: (Ⅱ)中,也可通过估值的方法来确定

{

}

10

4 为首项,以 为公比的等比数列. 5
an = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ?2 ) + L + ( a1 ? a0 ) + a0
1 (1 ? 10 = 1? 4 n ) ) 3 4 1 4 5 + = ? ? ( )n 4 10 5 2 5 5 由上式可知:对于任意 n∈ N ,均有 (

知,每辆车,每小时的工作效率为

1 ,设从第 480
1 (小时) 3

所以,

a … 一辆车投入施工算起, 各车的工作时间为 a1,2, , a25 小时,依题意它们组成公差 d = ? 的等差数列,且

an <
80%.

4 .即全县绿地面积不可能超过总面积的 5 > 3 4 n 2 ,得 ( ) < , 5 5 5

a a1 a 1 + 2 + L + 25 ≥ 1,即 (a1 + a 25 ) 480 480 480 2 192 . ,化简可得 2a1 ? 8 ≥ 5 a1 ≤ 24, 则有
解得 a ≥ 23 1 ,由于23 1 < 24 . 1

5

5

(Ⅱ)令 a n

4 g ( n ) = ( )n 随 5 n 的增大而单调递减, 因此, 我们只需从 n = 0 开
由指数函数的性质可知: - 42 -

可见 a1 的工作时间可以满足要求,即工程可 以在 24 小时内完成. 3. 某学校为了教职工的住房问题,计划征用 一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m2)的宿舍楼.已 知土地的征用费为 2388 元/m2, 且每层的建筑面积 相同, 土地的征用面积为第一层的 2.5 倍.经工程技 术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为 445

元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加 30 元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最 少,并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征 地费用之和). 讲解: 讲解 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建 构数学模型? 设楼高为 n 层, 总费用为 y 元, 则征地面积为 5970 A 元, 2.5 A 2 , 楼层建筑费用为 m 征地费用为 n n [445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+445+30 ×(n-2)]
y=

x(1+4%)7+…+x 由 等 比 数 列 求 和 公 式 可 得 :

105 × 1.0410 =

1.0410 -1 ? x .其中 1.04-1

所以, x



105 × 1.4802 × 0.04 =12330 0.4802

A 30 = (15n + + 400) A 元,从而 n n

5970A 30A 6000 + 15nA + + 400A = (15n + + 400) A ≥ 1000A n n n

法 2.从另一个角度思考,我们可以分步计 算.考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱. 仍然设每年还款 x 元.则第一年还款后,欠 银行的余额为: ?10

(元) 当且仅当 15n = 6000 , n=20(层)时,总费

?

5

(1 + 4% ) ? x ? 元; ?

如果设第 k 年还款后,欠银行的余额为 ak 元,则 ak

n

用 y 最少. 故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时, 最少 总费用为 1000A 元. 5.某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买 房.他选择 10 年期贷款,偿还贷款的方式为:分 10 次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开 始归还,若 10 年期贷款的年利率为 4%,且每年 利息均按复利计算 (即本年的利息计入次年的本金 生息) ,问每年应还多少元(精确到 1 元)? 讲解:作为解决这个问题的第一步,我们首 讲解 先需要明确的是:如果不考虑其它因素,同等款 额的钱在不同时期的价值是不同的.比如说:现 在的 10 元钱, 其价值应该大于 1 年后的 10 元钱. 原 因在于:现在的 10 元钱,在 1 年的时间内要产生 利息. 在此基础上, 这个问题, 有两种思考的方法: 法 1.如果注意到按照贷款的规定,在贷款 全部还清时,10 万元贷款的价值,与这个人还款 的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所有的 款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去 计算. 10 万元,在 10 年后(即贷款全部付清时) 的价值为 10
5

= ak ?1 (1 + 4% ) ? x .
a10

不难得出:

= 105 × (1+4 % )10 -

x(1+4%)9-x(1+4%)8-x(1+4%)7-…-x 另一方面,按道理,第 10 次还款后,这个人

已经把贷款全部还清了,故有 a10

= 0 .由此布

列方程,得到同样的结果. 点评:存、贷款问题为典型的数列应用题,解决 点评 问题的关键在于:1.分清单利、复利(即等差与 等比) 2.寻找好的切入点(如本题的两种不同的 ; 思考方法) ,恰当转化.3.一般来说,数列型应用 题的特点是:与 n 有关. 6. 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆, 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并 且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求 该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增 汽车数量不应超过多少辆? 讲解 设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆, 以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆, b3 万 辆,……,每年新增汽车 x 万辆,则

(1 + 4% )

10

元.

设每年还款 x 元.则第 1 次偿还的 x 元,在 贷款全部付清时的价值为 x

(1 + 4% )

9



第 2 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价 值为 x

(1 + 4% )

8



……; 第 10 次偿还的 x 元, 在贷款全部付清时的价 值为 x 元.于是: 105 × (1+4 % )10= x(1+4 % )9+x(1 + 4 % )8 + - 43 -

b1 = 30 , bn +1 = 0.94bn + x 所以,当 n ≥ 2 时, bn = 0.94bn ?1 + x , 两式相减得: bn +1 ? bn = 0.94(bn ? bn ?1 ) (1)显然,若 b2 ? b1 = 0 , 则 bn +1 ? bn = bn ? bn ?1 = L = 0 , 即 bn = L = b1 = 30 , 此时 x = 30 ? 30 × 0.94 = 1.8. (2) b2 ? b1 ≠ 0 , 若 则数列 { n +1 ? bn } 为 b 以 b2 ? b1 = x ? 0.06b1 = x ? 1.8 为首项,以

0.94 为 公 比 的 等 比 数 列 bn +1 ? bn = 0.94 n ? ( x ? 1.8) .
(i) b2 若

, 所 以 ,

水并混合.问:从第几个观测点开始,两股河水的 含沙量之差小于 0.01 kg / m (不考虑泥沙沉 淀)? 讲解:本题的不等关系为“两股河水的含沙 讲解 量之差小于 0.01 kg / m ” .但直接建构这样的不 等关系较为困难. 为表达方便, 我们分别用 an , bn 来表示河水在流经第 n 个观测点时,A 水流和 B 水流的含沙量. 则 a1 =2 kg / m , b1 =0.2 kg / m ,且
3 3 3 3

? b1 < 0 , 则对于任意正整数 n , 均有 bn +1 ? bn < 0 , 所以, bn +1 < bn < L < b1 = 30 ,此时, x < 30 ? 30 × 0.94 = 1.8. (ii)当 x > 1.8万 时, b2 ? b1 > 0 ,则 对于任意正整数 n ,均有 bn +1 ? bn > 0 ,所以, bn +1 > bn > L > b1 = 30 ,
由 bn +1

? bn = 0.94 n ? ( x ? 1.8) ,得

bn +1 =

bn = (bn ? bn ?1 ) + (bn ?1 ? bn ? 2 ) + L + (b2 ? b1 ) + b1

100an + 300bn 1 100bn +1 + 3 = an + bn , an +1 = 4 (100 + 300 ) 4 (100 + 2

1 ? 0.94 (x ? 1.8) 1 ? 0.94 n?1 + 30 , = 0.06 要使对于任意正整数 n ,2 bn ≤ 60 恒成 均有 ? 2 ?1

(b2 ? b1 )(1 ? 0.94 n?1 ) + 30 =

. (*) 由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量 之差,所以,我们不妨直接考虑数列 由(*)可得:

{an ? bn } .

(

)

立, 即

an ? bn = ? bn + an ? ? bn 3 ? ?3

(x ? 1.8)(1 ? 0.94 n?1 ) + 30 ≤ 60
0.06

2 ? 2 2 ?1 ? an+1 ? bn +1 = ? bn +1 + an ? ? bn +1 = ( an ? bn +1 ) = an ? ? 3 3 ? 3 3 ? ? 2? 3 ?? 1 ?1 = an ? bn = ? an ? ? an + bn ? ? = ( an ? bn ) 3 3? 4 4 ?? 2 ?
所以, 数列 首项,以

{an ? bn } 是以 a1 ? b1 = 1.8 为
n ?1

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元 一次不等式 , 得

1 为公比的等比数列. 2
. 0.01 , 得

x≤
上 式 恒

1 .8 + 1 .8 , 1 ? 0.94 n
立 的 条 件 为 :



? 1.8 ? x≤? + 1.8 ? ,由于关 n ? 1 ? 0.94 ? 在n∈N上的最小值 1 .8 + 1.8 单调递减, 于 n 的函数 f (n ) = 1 ? 0.94 n 所以, x ≤ 3.6 .
本题是 2002 年全国高考题,上面的解法不同 于参考答案, 其关键是化归为含参数的不等式恒成 立问题,其分离变量后又转化为函数的最值问题. 7.现有流量均为 300 m / s 的两条河流 A、 B 会合于某处后, 不断混合, 它们的含沙量分别为 2 kg / m 和 0.2 kg / m .假设从汇合处开始,沿 岸设有若干个观测点, 两股水流在流经相邻两个观 测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在 1 秒钟内交换 100 m 的水量,即从 A 股流入 B 股 100 m 水, 经混合后, 又从 B 股流入 A 股 100 m
3 3 3 3 3
2

?1? 所以, an ? bn = 1.8 × ? ? ? 2? 由 题 , 令 an ? bn < ?1? ? ? ? 2?
n?1

1 . 所 以 , 180 lg180 n ?1 > = log 2 180 . lg 2 7 8 由 2 < 180 < 2 得 7 < log 2 180 < 8 , 所以, n > 8 . <
即从第 9 个观测点开始,两股水流的含沙量 之差小于 0.01 kg / m . 点评:本题为数列、不等式型综合应用问题, 点评 难点在于对题意的理解. 8.为促进个人住房商品化的进程,我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性 贷款利率如下: 贷款期 公积金贷款 商业性贷款
3

- 44 -

(年数) …… 11 12 13 14 15 ……

月利率(‰) …… 4.365 4.455 4.545 4.635 4.725 ……

月利率(‰) …… 5.025 5.025 5.025 5.025 5.025 ……

器,就要用到二项展开式进行估算,这在 2002 年 全国高考第(12)题中得到考查.

四、建立解析几何模型解应用题
解决圆锥曲线应用问题时, 要善于抓住问题的 实质, 通过建立数学模型, 实现应用性问题向数学 问题的顺利转化;要注意认真分析数量间的关系, 紧扣圆锥曲线概念, 充分利用曲线的几何性质, 确 定正确的问题解决途径, 灵活运用解析几何的常用 数学方法,求得最终完整的解答. 1. (2004 年春季北京,文 18)2003 年 10 月 15 日 9 时, “神舟”五号载人飞船发射升空,于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行. 该轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆.选取 坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点 A 距地 面 200 km, 远地点 B 距地面 350 km.已知地球半径 y

汪先生家要购买一套商品房,计划贷款 25 万 元,其中公积金贷款 10 万元,分十二年还清;商 业贷款 15 万元,分十五年还清.每种贷款分别按 月等额还款,问: (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷 款, 如果他想把余下的商业贷款也一次性还清; 那 么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据:1.004455144=1.8966,1.005025144 =2.0581,1.005025180=2.4651) 讲解 设月利率为 r,每月还款数为 a 元,总 贷款数为 A 元,还款期限为 n 月 第 1 月末欠款数 A(1+r)-a 第 2 月末欠款数 [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a 第 3 月末欠款数 [A(1+r)2-a (1+r)-a](1+r)-a =A(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a …… 第 n 月末欠款数 A(1 + r )n ? a(1 + r )n ?1 ? a(1 + r )n ? 2 ? L ? a(1 + r ) ? a = 0

B F1 O F2

A x

R=6371 km.(如下图) (1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程; (2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于 16 日 5 时 59 分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞 船共巡天飞行了约 6×105 km,问飞船巡天飞行的 平均速度是多少?(结果精确到 1 km/s) (注:km/s 即千米/秒) 解: (1)设椭圆的方程为

r 得: a = A(1 + r ) × (1 + r )n ? 1
n

x2 y2 + =1. a2 b2

对于 12 年期的 10 万元贷款,n=144,r=4.455‰ ∴ a = 100000 × 1.004455144 × 0.004455 = 942.37 1.004455144 ? 1 对于 15 年期的 15 万元贷款,n=180,r=5.025‰ ∴ a = 150000 × 1.005025180 × 0.005025 = 1268 .22
1.005025180 ? 1

由此可知,汪先生家前 12 年每月还款 942.37 +1268.22=2210.59 元,后 3 年每月还款 1268.22 元. (2)至 12 年末,汪先生家按计划还款以后还欠 商业贷款

由题设条件得 a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+200=6571, a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721. 解得 a=6646,c=75,所以 a2=44169316, b2=a2-c2=(a+c) (a-c) =6721×6571=44163691. ∴所求椭圆的方程为

x2 y2 + =1. 44169316 44163691 (注:由 44163691 ≈6645.5768 得椭圆的
方程为

X = A(1 + r)144 ? a(1 + r)143 ? a(1 + r)142 ? L ? a(1 + r) ? a 其中 A=150000,a=1268.22,r=5.025‰ ∴X=41669.53 再加上当月的计划还款数 2210.59 元, 当月共 还款 43880.12 元. 需要提及的是,本题的计算如果不许用计算
- 45 -

x2 y2 + =1,也是正确的) 6646 2 6645.6 2

(2)从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时, 即 21×3600 s. 减去开始的 9 分 50 s,即 9×60+50=590(s) , 再减去最后多计的 1 分钟,共减去 590+60= 650 ( s ) 得 飞 船 巡 天 飞 行 的 时 间 是 21 × 3600 - ,

650=74950(s) ,

600000 平均速度是 ≈8(km/s). 74950
所以飞船巡天飞行的平均速度是 8 km/s. 2.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑, 挖出的土只能沿道路 AP、BP 运到 P 处(如下图 所示).已知 PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°, 试说明怎样运土最省工.
y M A O B x

P

剖析: 首先抽象为数学问题, 半圆中的点可分 为三类: (1)沿 AP 到 P 较近; (2)沿 BP 到 P 较 近; (3)沿 AP、BP 到 P 同样远. 显然,第三类点是第一、二类的分界点,设 M 是分界线上的任意一点.则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|. 于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50. 从而发现第三类点 M 满足性质:点 M 到点 A 与点 B 的距离之差等于常数 50, 由双曲线定义知, 点 M 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,故问 题转化为求此双曲线的方程. 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点 为原点建立直角坐标系 xOy,设 M(x,y)是沿 AP、BP 运土同样远的点,则 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|, ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50. 在△PAB 中,由余弦定理得 |AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=17500, 且 50<|AB|.由双曲线定义知 M 点在以 A、B 为 焦点的双曲线右支上, 设此双曲线方程为

出最优化区域. (2)应用分类思想解题的一般步骤:①确定 分类的对象; ②进行合理的分类; ③逐类逐级讨论; ④归纳各类结果. 3. 根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车 高 3 m,宽 1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双 向二车道的公路隧道, 为保障双向行驶安全, 交通 管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线 0.4 m 的距离行驶.已知拱口 AB 宽恰好是拱高 OC 的 4 倍,若拱宽为 a m,求能使卡车安全通过的 a 的最 小整数值. 剖析: 根据问题的实际意义, 卡车通过隧道时 应以卡车沿着距隧道中线 0.4 m 到 2 m 间的道路行 驶为最佳路线,因此,卡车能否安全通过,取决于 距隧道中线 2 m(即在横断面上距拱口中点 2 m) 处隧道的高度是否够 3 m,据此可通过建立坐标 系,确定出抛物线的方程后求得. 解:如下图,以拱口 AB 所在直线为 x 轴,以 拱高 OC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 由题意 可得抛物线的方程为 x2=-2p(y-
y C

a ) , 4

A a (- 2 , 0 )

O

B x a ( ,0) 2

x2 - a2

a ,0)在抛物线上, 2 a a a ∴(- )2=-2p(0- ) ,得 p= . 2 4 2 a ∴抛物线方程为 x2=-a(y- ). 4
∵点 A(- 取 x=1.6+0.4=2,代入抛物线方程,得 22=-a(y-

y2 =1(a>0,b>0). b2

?2a = 50 ?a 2 = 625 ? ? ∵ ?4c 2 = 17500 解之得 ? . ?b 2 = 3750 ? 2 ? 2 2 ?c = a + b
∴M 点轨迹是

a a 2 ? 16 ) ,y= . 4 4a a 2 ? 16 由题意,令 y>3,得 >3, 4a
∵a>0,∴a2-12a-16>0.

x2 y2 - =1(x≥25)在半圆 625 3750

内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土 沿 AP 运到 P 处, 右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工. 评述: (1)本题是不等量与等量关系问题,涉 及到分类思想, 通过建立直角坐标系, 利用点的集 合性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定 - 46 -

∴a>6+2 13 . 又∵a∈Z,∴a 应取 14,15,16,…. 答: 满足本题条件使卡车安全通过的 a 的最小 正整数为 14 m. 评述: 本题的解题过程可归纳为两步:一是 根据实际问题的意义, 确定解题途径, 得到距拱口 中点 2 m 处 y 的值;二是由 y>3 通过解不等式, 结合问题的实际意义和要求得到 a 的值, 值得注意 的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常 用的.

4.(2003 年上海)如下图,某隧道设计为双向 要求通行车辆限高 4.5 m, 四车道, 车道总宽 22 m, 隧道全长 2.5 km,隧道的拱线近似地看成半个椭 圆形状.
4.5 h 22 l (单位:m)

解法二:由椭圆方程

x2 y2 + =1, a2 b2

(1)若最大拱高 h 为 6 m,则隧道设计的拱 宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 m,则应如何设 计拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧道的土方 工程量最小?

112 4.5 2 + 2 =1. a2 b a2 81 于是 b2= · 2 . 4 a ? 121 1212 81 2 a 2b 2= (a -121+ 2 +242) 4 a ? 121 81 2 ≥ (2 121 +242)=81×121, 4
得 即 ab≥99,当 S 取最小值时,

π (半个椭圆的面积公式为 S= lh,柱体体积 4
为底面积乘以高.本题结果均精确到 0.1 m) (1) 如下图建立直角坐标系, 解: 则点 P (11, 4.5) ,
y 4.5 O 22 l (单位: m) P

1212 . a 2 ? 121 9 2 得 a=11 2 ,b= ,以下同解法一. 2
有 a2-121= 5.A、 C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 的正东, B、 相距 6 千米,C 在 B 的北偏西 30° 相距 4 千米,P 为 敌炮阵地,某时刻,A 发现 P 处的某种信号,由于 B、 C 两地比 A 地距 P 地远,因此 4 秒后,B、 才同时发 C 现这一信号(设该信号的传播速度为 1 千米/秒) ① 建立适当的坐标系,确定 P 的位置(即求 出 P 的坐标); ② A 若炮击 P 地,求炮击的方向. 解:如下图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的 中垂线为 y 轴建立坐标系,则
y P C D B O A x

h x

x2 y2 + =1.将 b=h=6 与点 P 坐 a2 b2 44 7 88 7 , 此时 l=2a= 标代入椭圆方程, a= 得 7 7
椭圆方程为 ≈33.3.因此隧道的拱宽约为 33.3 m.

x2 y2 (2)解法一:由椭圆方程 2 + 2 =1, a b 2 2 11 4.5 得 2 + 2 =1. a b 2 11 4.5 2 2 × 11 × 4.5 因为 2 + 2 ≥ , ab a b
即 ab≥99,且 l=2a,h=b,

、A(3,0) 、C(-5,2 3 ). B(-3,0) 因为|PB|=|PC|, 所以点 P 在线段 BC 的垂直平 分线上.

π π ab 99π lh= ≥ . 4 2 2 112 4.5 2 1 当 S 取最小值时,有 2 = 2 = , 2 a b 9 2 得 a=11 2 ,b= . 2 此时 l=2a=22 2 ≈31.1,h=b≈6.4.
所以 S= 故当拱高约为 6.4 m、拱宽约为 31.1 m 时,土 方工程量最小. - 47 -

3 ,BC 中点 D(-4, 3 ) , 1 所以直线 PD 的方程为 y- 3 = (x+4). ① 3
又|PB|-|PA|=4,故 P 在以 A、B 为焦点的双 曲线右支上. 设 P(x,y) ,则双曲线方程为

因为 kBC=-

x2 y2 - =1(x≥0). 4 5
联立①②,得 x=8,y=5



3,

所以 P(8,5

3 ).因此 kPA=

5 3 = 3. 8?3

∵抛物线对称轴在 y 轴右侧,∴- 又∵抛物线开口向下,∴a<0. ∴b>0,后一组解舍去. ∴a=-

b >0. 2a

故炮击的方位角为北偏东 30°. 6. 中国跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练 时,身体(看成一点)在空中的运动路线为如下图 所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标 出的数据为已知条件).

25 10 ,b= ,c=0. 6 3 25 2 10 x+ x. 6 3

y 3m O 跳 台 10 m 支 柱 1m 池 边

A x

∴抛物线的解析式为 y=-

(2)当运动员在空中距池边的水平距离为

B

3 3 8 3 m 时,即 x=3 -2= 时, 5 5 5 25 8 2 10 8 16 )×( ) + × =- , y=(- 6 5 3 5 3
∴此时运动员距水面的高为 10-

在跳某个规定动作时, 正常情况下, 该运动员 在空中的最高处距水面 10

2 m, 入水处距池边的 3

16 14 = <5. 3 3

距离为 4 m,同时,运动员在距水面高度为 5 m 或 5 m 以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好 入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式. (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运 动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整 好入水姿势时,距池边的水平距离为 3

因此,此次跳水会出现失误. (3)当运动员在 x 轴上方,即 y>0 的区域内 完成动作并做好入水姿势时, 当然不会失误, 但很 难做到. ∴当 y<0 时,要使跳水不出现失误, 则应有|y|≤10-5,即-y≤5.

3 m,问此 5

25 2 10 x- x≤5, 6 3 解得 2- 34 ≤x≤2+ 34 .
∴有 ∴运动员此时距池边的距离至多为 2+2+ 34 =4+ 34 m. 7.1998 年 12 月 19 日, 太原卫星发射中心为摩 托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通信 卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的 椭圆,近地点为 m km,远地点为 n km,地球的 半径为 R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于 A.2 C.

次跳水会不会失误?并通过计算说明理由. (3)要使此次跳水不至于失误,该运动员按 (1)中抛物线运行,且运动员在空中调整好入水 姿势时,距池边的水平距离至多应为多少? 解: (1)在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B,抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c. 由题意知,O、B 两点的坐标依次为(0,0)(2, 、

2 ,且顶点 A 的纵坐标为 ,所以有 -10) 3

(m + R )(n + R ) (m + R )(n + R )

B.2mn D.mn

?c = 0 ? ? 4ac ? b 2 2 = ? 3 ? 4a ?4a + 2b + c = ?10 ? ?a = ? 25 ?a = ? 3 6 2 ? ? 10 解之得 ?b = 3 或 ?b = ?2 ?c = 0 ?c = 0 ? ?
- 48 -

解析:由题意

? m + n + 2R ?c = m+ R n?m ? ? 2 ∴c= , ? 2 m + n + 2R ? +c=n+R ? 2 ?
2b=2

m + n + 2R 2 n?m 2 ) ?( ) 2 2 =2 ( m + R )( n + R ) . (

答案:A 8.如下图, 花坛水池中央有一喷泉, 水管 OP=1

m, 水从喷头 P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点 后落下,若最高点距水面 2 m,P 距抛物线对称轴 1 m,则在水池直径的下列可选值中,最合算的是
P

装有可旋转的抛物面形的反光镜, 镜的轴截面是抛 物线的一部分, 盛水和食物的容器放在抛物线的焦 点处, 容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子 支撑.已知镜口圆的直径为 12 m,镜深 2 m,

容器
O

A.2.5 m B.4 m C.5 m D.6 m 解析:以 O 为原点,OP 所在直线为 y 轴建 立直角坐标系(如下图) ,则抛物线方程可设为
y (1,2)

P O M x

y=a(x-1)2+2,P 点坐标为(0,1) , ∴1=a+2.∴a=-1. ∴y=-(x-1)2+2. 令 y=0,得(x-1)2=2,∴x=1±

2.

∴水池半径 OM= 2 +1≈2.414(m). 因此水池直径约为 2×|OM|=4.828(m). 答案:C 9.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分, 它的 ( .在杯内放入一个玻璃球, 方程是 x2=2y 0≤y≤20) 要使球触及酒杯底部, 则玻璃球的半径 r 的范围为 ____________. 解析:玻璃球的轴截面的方程为

(1)建立适当的坐标系,求抛物线的方程和 焦点的位置; (2)若把盛水和食物的容器近似地看作点, 试求每根铁筋的长度. 解: (1)如下图,在反光镜的轴截面内建立直 角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与 原点重合,x 轴垂直于镜口直径.
y A

F O x

?x 2 = 2 y ? x +(y-r) =r ,由 ? ?x 2 + ( y ? r) 2 = r 2 ?
2 2 2

B

得 y2+2(1-r)y=0,由Δ=4(1-r)2=0, 得 r=1.
答案:0<r≤1 10.河上有一抛物线型拱桥, 当水面距拱顶 5 m 时,水面宽为 8 m,一小船宽 4 m,高 2 m,载货 后船露出水面上的部分高

由已知,得 A 点坐标是(2,6) , 设抛物线方程为 y2=2px(p>0) , 则 36=2p×2,p=9. 所以所求抛物线的标准方程是 y2=18x, 焦点坐标是 F(

9 ,0). 2

3 m,问水面上涨到与 4

(2)∵盛水的容器在焦点处,∴A、F 两点间 的距离即为每根铁筋长. |AF|=

抛物线拱顶相距____________m 时,小船不能通 航. 解析:建立直角坐标系,设抛物线方程为 x2= -2py(p>0).

9 13 (2 ? ) 2 + 6 2 = 2 2 9 13 (或|AF|= +2= ). 2 2

8 16 将点(4,-5)代入求得 p= .∴x2=- y. 5 5 5 将点(2,y1)代入方程求得 y1=- . 4 3 3 5 ∴ +|y1|= + =2(m). 4 4 4
答案:2 11.下图是一种加热水和食物的太阳灶,上面 - 49 -

故每根铁筋的长度是 6.5 m. 12.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀 铝, 只留有一个透明窗用作通光孔, 它的反射面是 一种曲线旋转而成的曲面的一部分, 灯丝定在某个 地方发出光线反射到卡门上, 并且这两物体间距离 为 4.5 cm, 灯丝距顶面距离为 2.8 cm, 为使卡门处 获得最强烈的光线, 在加工这种灯泡时, 应使用何 种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程. 分析: 由于光线从灯丝发出, 反射到卡门上光 线应交于一点,这就是光线聚焦,只要把灯丝、卡

门安在椭圆的 2 个焦点上, 反射面采用旋转椭球面 就可以使光线经反射后聚焦于卡门处, 因而可获得 强光. 解: 采用椭圆旋转而成的曲面, 如下图建立直 角坐标系,中心截口 BAC 是椭圆的一部分,设其 方程为

∵船宽 16 m, 而当 x=8 时, y=-

1 2 · =1.28 m, 8 50

x2 y2 + =1,灯丝距顶面距离为 p,由于 a2 b2

△BF1F2 为直角三角形,因而, |F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2,由椭圆性质有 |F1B|+|F2B|=2a,所以 a= a= b=

∴船体在 x=±8 之间通过.由 B(8,-1.28) , ∴B 点离水面高度为 6+(-1.28)=4.72(m) , 而船体水面高度为 5 m, ∴无法直接通过.又 5-4.72=0.28(m) ,0.28 ÷0.04=7,而 150×7=1050(t) , ∴要用多装货物的方法也无法通过, 只好等待 水位下降. 1.解应用题的一般思路可表示如下

1 2 2 (p+ p + 4c ) , 2

1 2 2 (2.8+ 2.8 + 4.5 )≈4.05 cm, 2
a 2 ? c 2 ≈3.37 m.∴所求方程为
2.解应用题的一般程序 (1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条 件和结论,理顺数量关系,这一关是基础. (2)建:将文字语言转化为数学语言,利用 数学知识,建立相应的数学模型.熟悉基本数学模 型,正确进行建“模”是关键的一关. (3)解:求解数学模型,得到数学结论.一要 充分注意数学模型中元素的实际意义, 更要注意巧 思妙作,优化过程. (4)答:将数学结论还原给实际问题的结果.

x2 y2 + =1. 4.05 2 3.37 2
y B 灯丝 A 卡门 F1 O F2 x

C

13.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如 图所示,已知上部呈抛物线形,跨度为 20 m,拱 顶距水面 6 m,桥墩高出水面 4 m,现有一货船欲 过此孔,该货船水下宽度不超过 18 m,目前吃水 线上部分中央船体高 5 m,宽 16 m,且该货船在 现在状况下还可多装 1000 t 货物,但每多装 150 t 货物,船体吃水线就要上升 0.04 m,若不考虑水 下深度, 该货船在现在状况下能否直接或设法通过 该桥孔?为什么?
6m 20 m

4m

解:如下图,建立直角坐标系,设抛物线方程 为 y=ax2,则 A(10,-2)在抛物线上,
y 8 10 B B' O A

. .

x

-6

∴-2=ax2,a=- 让货船沿正中央航行.

1 1 2 ,方程即为 y=- x 50 50

- 50 -



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