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高考数学4应用题的解法50



高考数学应用题的解法
2007 年全国数学考试大纲(课标版)中,能 能 力要求中指出,能力是指思维能力、运算能力、 力要求 空间想象能力以及实践能力 实践能力和创新意识,其中对 实践能力 实践能力的界定是: 能综合应用所学数学知识、 思 想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、 生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材 料, 并对所提供的信息资料进行归纳、 整理和

分类, 将实际问题抽象为数学问题, 建立数学模型; 应用 相关的数学方法解决问题并加以验证, 并能用数学 语言正确地表达和说明. 实践能力是将客观事物数学化的能力.主要过 程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系, 构造数学模型, 将现实问题转化为数学问题, 并加 以解决. 2007 年山东数学考试说明对实践能力的界 定是: 能够综合运用所学知识对问题所提供的信息 资料进行归纳、 整理和分类, 将实际问题抽象为数 学问题; 能应用相关的数学方法解决问题, 并能用 数学语言正确地表述、说明. 对实践能力的考查主要采用解决应用问题的 形式.命题时要坚持“贴近生活,背景公平,控制 难度” 的原则, 试题设计要切合中学数学教学的实 际, 考虑学生的年龄特点和实践经验, 使数学应用 问题的难度符合考生的水平. 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型 之一, 高考中一般命制一道解答题和两道选择填 空题. 由于这类题目文字叙述长,数学背景陌生, 涉及面又广, 对相当一部分学生来讲, 连题目都不 “敢”去看了,心理失衡,导致在阅读和理解方面 存在着一定困难. 解答这类问题的要害是消除心理和语言障 碍,深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语 言的翻译转化, 自信, 冷静地去读完题目, 保持冷 静,认真对待,不能随意放弃.读题是翻译的基础, 读题时要抓住题目中的关键字、词、句,弄清题中 的已知事项, 初步了解题目中讲的是什么事情, 要 求的结果是什么。 在读题的基础上, 要能复述题目 中的要点,深思题意,很多情况下,可将应用题翻 译成图表形式, 形象鲜明地表现出题中各数量之间 的关系,将文字语言、符号语言、图表语言转化成 数学语言,这个过程其实就是建模。函数,数列, 不等式,排列组合、概率是较为常见的模型,而三 角,立几,解几等模型也时有出现. 一般来说, 可采用下列策略建立数学模型:1) ( 双向推理列式, 利用已知条件顺向推理, 运用所求 结果进行逆向搜索; (2)借助常用模型直接列式, 平均增长率的问题可建立指、 对数或方程模型, 行 程、工程、浓度问题可以建立方程(组)或不等式 模型,拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次 - 34 -

模型, 测量问题可建立解三角形模型; 计数问题可 建立排列组合问题;机会大小问题可建立概率模 型,优化问题可建立线性规划模型……

一、 建构函数模型的应用性问题
解答函数型应用题, 一般先从建立函数的解析 表达式入手, 通过研究函数的性质获得解答. 因此, 这类问题的难点一般有两个:一是解析式的建立, 二是数学知识的灵活应用. 1.某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没 有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店, 并约定用该 店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利
q 60

24 1 40 58 81 p

息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元; 该店每 月销售量 q(百件)与销售价 p(元/件)之间的 关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人 每月工资为 600 元, 该店应交付的其它费用为每月 13200 元. (Ⅰ)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正 好收支平衡,求该店的职工人数; (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则该店最早 可在几年后还清所有债务, 此时每件消费品的价格 定为多少元? 所给条件零散杂 讲解 本题题目的篇幅较长, 乱,为此,不仅需要划分段落层次,弄清每一层次 独立的含义和相互间的关系, 更需要抓住矛盾的主 要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平 衡”“还清所有债务” 、 ,不难想到,均与“利润” 相关. 从阅读和以上分析, 可以达成我们对题目的整 体理解,明确这是一道函数型应用题.为此,首先 应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品 的销售价 p 之间的关系,然后,通过研究解析式, 来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量, 所 以,先考虑月利润. (Ⅰ) 设该店的月利润为 S 元, 有职工 m 名. 则

S = q ( p ? 40 ) × 100 ? 600m ? 13200 .
由 图 可 知 :



??2 p + 140, ? q=? ?? p + 82 ?
所以,

( 40 ≤ p ≤ 58) . ( 58 < p ≤ 81)
( 40 ≤ p ≤ 58 ) ( 58<p ≤ 81)

但每生产一件次品将亏损

A 元,故厂方希望定出 2

?( ?2 p + 140 )( p ? 40 ) ×100 ? 600m ? 13200 ? S =? ?( ? p + 82 )( p ? 40 ) ×100 ? 600m ? 13200 ?

合适的日产量. (Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额 T (元)表示为日产量 x(件)的函数; (Ⅱ) 当日产量为多少时, 可获得最大利润? 讲解: 讲解 (Ⅰ)当 x 每天的盈利额 T

由已知,当

( ?2 p + 140 )( p ? 40 ) ×100 ? 600m ? 13200 = 0
解得 m = 50 .即此时该店有 50 名职工. (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润 ?( ?2 p +140)( p ? 40) ×100 ? 37200 ( 40 ≤ p ≤ 58) ? S =? ( 58<p ≤ 81) ?( ? p + 82)( p ? 40) ×100 ? 37200 ? 当 40 ≤

p = 52 时, S = 0 ,即

> c 时, P =

2 ,所以, 3

p ≤ 58 时,求得 p = 55 时,S

取最大 取

值 7800 元.

当 58 <

p ≤ 81 时,求得 p = 61 时,S

最大值 6900 元. 综上,当

p = 55 时,S 有最大值 7800 元.

1 2 A xA ? x ? = 0 . 3 3 2 1 当 1 ≤ x ≤ c 时, P = ,所以,每 96 ? x 1 ? ? 日生产的合格仪器约有 ? 1 ? ? x 件,次品 ? 96 ? x ? ? 1 ? 约有 ? ? x 件.故,每天的盈利额 ? 96 ? x ? =
? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T = ?1 ? ?A ? xA ? ? ?x? = ?x ? ? 2 ( 96 ? x ) ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ?

解得 n ≥ 5 . 所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时 消费品的单价定为 55 元. 点评 求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅 读量都比较大, 要通过阅读审题, 找出关键词、 句, 理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型, 将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已 建立的数学模型. 2.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技 术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道, 该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x(件)之 间 大 体 满 足 关 系 :

有 12 n × 7800 ? 268000 ? 200000 ≥ 0 .

设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x > c 时,每天的盈 利额为 0. ? . 3x 当 1 ≤ x ≤ c 时, T = ? x ? ? ?A ? ? 2 ( 96 ? x ) ? ? 为 表 达 方 便 , 令

综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件) 的函数关系为: ?? ? 3x ?? x ? ? A, 1 ≤ x ≤ c . T = ?? 2 ( 96 ? x ) ? ? x>c ?0,

0 < 96 ? c ≤ t ≤ 95 .故

96 ? x = t

, 则

? 1 ? 96 ? x (1 ≤ x ≤ c, x ∈ N ) 1 ? 1 ? 144 144 ? 147 P =96 ? t ? 96 (等号 T= ? A = 97 ? t ? . A ≤ ? 97 ? 2 t ? A > 0. ?A= ? 2 ? 2 2 2 t t ? 2 ? ? ( x > c,tx ∈ N ) ?3 ?
当且仅当 t

? 3 ( 96 ? t ) ? 144 ? 1 ? 1 T = ? 96 ? t ? ? A = ? 97 ? t ? ? A ≤ 97 ? 2 2t t ? 2 ? 2 ? ?

次品数 注:次品率 P = ,如 P = 0.1 表示每 生产量
生产 10 件产品, 约有 1 件为次品. 其余为合格品. 已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,

( 其中c为小于96的正常数 )

=

144 ,即 t = 12 (即x = 88 ) 时成 t ≥ 88 时, Tmax = 147 A (等号 2

立) .所以, (1)当 c 当且仅当 x

= 88 时成立) . (2) 当 1 ≤ c < 88 时,由 1 ≤ x ≤ c 得 12 < 96 ? c ≤ t ≤ 95 ,易证函数

- 35 -

g (t ) = t +

144 在 t ∈ (12, +∞) 上单调递增 t

时只须求 x=4 时, 每台产品售价为

R ( 4) =2.4 (万 4

6?c

元/百台)=240(元/台). 4.为处理含有某种杂质的污水, 要制造一个底 所以, g (t ) ≥ g 96 ? c .所以, 宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱(如图) ,污水从 A 144 ? 144 ? 144 189 2 ? 1 ? 1 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a T = ? 97 ? t ? A>0 ? A ≤ ? 97 ? ( 96 ? c ) ? ? A = 米, 高度为 c 米, 已知流出的水中该杂质的质量分 t ? 96 ? c ? 192 ? 2 b ? 2 ? 2 数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平 ? 144 + 189c ? 2c 2 ? 144 方米,问当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出的 ? A=? ?A> 0. 水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略 96 ? c 192 ? 2c ? ? 不计)? ? 144 + 189c ? 2c 2 ? 分析: 关键在于理解题意而列出关系式, 找到 即 Tmax = ? (等号 ? A. a 与 b 间的等量关系.函数最小值可应用重要不等 192 ? 2c ? ? 式或利用导数解决. 当且仅当 x = c 时取得) 解法一: 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量 综上,若 88 ≤ c < 96 ,则当日产量为 88 k 则由条件 y= (k>0 为比例系数)其中 分数为 y, 件时,可获得最大利润;若 1 ≤ c < 88 ,则当日 ab 产量为 c 时,可获得最大利润. a、b 满足 2a+4b+2ab=60 ① 基本不等式和函数的单调性是求解函 点评 要求 y 的最小值,只须求 ab 的最大值. 数最值问题的两大重要手段. 由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0) 3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验 且 ab=30–(a+2b) 得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x(百 应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)–4 台) ,其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元, 并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元 (总 ≥ 2 ( a + 2)( 2b + 2) ? 4 = 12 成本=固定成本+生产成本) ,销售收入 R(x)满足 ∴ab≤18,当且仅当 a=2b 时等号成立 R(x)= 将 a=2b 代入①得 a=6,b=3.

(证明过程略) .

(

)

?? 0.4 x 2 + 4.2 x ? 0.8 ? ?10.2

(0 ≤ x ≤ 5) ( x > 5)

.假

故当且仅当 a=6,b=3 时, 经沉淀后流出的水中 该杂质的质量分数最小. 解法二:由 2a+4b+2ab=60,得 b 记u

定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律. (1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么 范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求 此时每台产品的售价为多少? 解:依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x), 则

=

= ab =

(30 ? a )a (0<a<30)则要求 y 2+a
,令 u′=0 得 a=6

30 ? a , 2+a

的最小值只须求 u 的最大值. 由 u′ =

?? 0.4 x 2 + 3.2 x ? 2.8 f ( x) = ? ?8.2 ? x

(0 ≤ x ≤ 5) ( x > 5)

64 ? (a + 2) 2 (a + 2) 2

(1)要使工厂有赢利,则有 f(x)>0. 当 0 ≤x≤5 时,有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得 1<x<7,∴1<x≤5. 当 x>5 时,有 8.2–x>0,得 x<8.2,∴5<x<8.2. 综上,要使工厂赢利,应满足 1<x<8.2.即产品 应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=–0.4(x–4)2+3.6 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时 f(x)<8.2–5=3.2 所以当工厂生产 400 台产品时, 赢利最大, 此

且当 0<a<6 时,u′>0,当 6<u<30 时 u′<0, ∴u b=3. 从而当且仅当 a=6,b=3 时,y=

=

(30 ? a )a 在 a=6 时取最大值,此时 2+a k 取最小值. ab

5.运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种 运输工具中选择, 它们的速度分别为 v 千米/小时、 2v 千米/小时、10v 千米/小时,每千米的运费分别 为 a 元、b 元、c 元.且 b<a<c,又这批海鲜在运输 过程中的损耗为 m 元/小时,若使用三种运输工具 - 36 -

分别运输时各自的总费用 (运费与损耗之和) 互不 相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.(题中 字母均为正的已知量) 5.解:设运输路程为 S(千米) ,使用汽车、火 车、 飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为 y1( 元 ) 、 y2( 元 ) 、 y3( 元 ). 则 由 题 意 ,

y1 = aS +

S m m m = (a + ) S . y 2 = (b + ) S , v v 2v m m y 3 = (c + ) S . y1 ? y 2 = [(a ? b) + ]S 10v 2v 2m ]S.令 5v
y3–y2>0,由 c>b

,由 a>b,各字母均为正值,所以 y1–y2>0,即 y2<y1. 由 y3–y2=[(c–b)–

9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间内有 6 个小时可供冲浪者运动即上 午 9:00 至下午 15:00. 7.某外商到一开放区投资 72 万美元建起一座 蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后每 年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元. (1)若扣除投资及各种经费,则从第几年开 始获取纯利润? (2)若干年后,外商为开发新项目,有两种 处理方案:①年平均利润最大时以 48 万美元出售 该厂; ②纯利润总和最大时, 16 万元出售该厂, 以 问哪种方案最合算? 解:由题意知,每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 设纯利润与年数的关系为 f(n), 则 f(n)=50n–[12n+

及 每 字 母 都 是 正 值 , 得 c>b+

2m 5v

.所以,当

n(n ? 1) ×4]–72 2

c>b+

2m 5v

时 y2<y3, 由 y2<y1 即 y2 最 小 , 当

=–2n2+40n–72 (1)获纯利润就是要求 f(n)>0,∴–2n2+40n– 72>0,解得 2<n<18.由 n∈N 知从第三年开始获利. (2)①年平均利润=

b<a<c<b+

2m 时,y3<y2<y1,y3 最小. 5v

f ( n) 36 =40–2(n+ ) n n

6.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位小时)的函数,记作 y=f(t),下表 是某日各时的浪高数据
t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.49 15 1 18 0.51 21 0.99 24 1.5

经长期观测 y=f(t)的曲线可近似地看成函数 y=Acosωt+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对 冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天 内的上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有多少时间 可供冲浪者进行运动. 解: 由表中数据, T=12, (1) 知 ω=

2π π = T 6

.

A=

1 1 π ,∴y= cos t + 1 2 2 6

由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.所以,A=0.5,b=1.振幅

≤16.当且仅当 n=6 时取等号.故此方案先获利 6× 16+48=144(万美元) , 此时 n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128. 当 n=10 时,f(n)|max=128.故第②种方案共获利 128+16=144(万美元). 故比较两种方案, 获利都是 144 万美元, 但第 ①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故选 择第①种方案. 8.某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、 Q, 该厂的生产能力是月产 P 产品最多有 2500 件, 月产 Q 产品最多有 1200 件; 而且组装一件 P 产品 要 4 个 A、2 个 B,组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个; B 零件最多 12000 个.已知 P 产品每件利润 1000 元, Q 产品每件 2000 元,欲使月利润最大,需要组装 P、Q 产品各多少件?最大利润多少万元. 解:设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件,则有
?0 ≤ x ≤ 2500 ?4 x + 6 y ≤ 14000 ?2 x + 3 y ≤ 7000 依题意有? 则有? ? 0 ≤ y ≤ 1200 2 x + 8 y ≤ 12000 ? ? ? x + 4 y ≤ 6000



1 π π cos t + 1 >1, cos t >0. 2 6 6
∴2kπ–

(2)由题意知,当 y>1 时,才可对冲浪者开放.

设利润 S=1000x+2000y=1000(x+2y) 要使利润 S 最大,只需求 x+2y 的最大值. x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) ∴?

π

2

<

π

6

t < 2kπ +

π
2

?2 m + n = 1 ?3m + 4n = 2

, 有 x+2y= - 37 -

2 ? ∴ ?m = 5 ? ? ?n = 1 ? 5 ?

即有 12k–3<t<13k+3. 由 0 ≤t≤24,故可令 k=0,1,2,得 0 ≤t<3 或

2 1 (2x+3y)+ (x+4y) 5 5

2 1 ×7000+ ×6000. 5 5 ?2 x + 3 y = 7000 当 且 仅 当 ? ? x + 4 y = 6000


解 得

? x = 2000 ? ? y = 1000

时 取 等 号 , 此 时 最 大 利 润

系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内 的个数超过 108 的时候小白鼠将死亡. 但注射某种 药物,将可杀死其体内该病毒细胞的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第 一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才 能维持小白鼠的生命?(精确到天) 已知:lg2=0.3010.

Smax=1000(x+2y) =4000000=400(万元). 另外此题可运用“线性规划模型”解决. 9. 随着机构改革工作的深入进行,各单位要 减员增效,有一家公司现有职员 2 a 人 (140< 2 a <420, a 为偶数)每人每年可创利 b 且 , 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 ... 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元, .... 但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 万元的生活 费, 并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职 员的

天数 t 1 2 3 4 5 6 7 …
数为

病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32 64 …
则由 2 n ?1 ≤ 10 8 ,

讲解 (1)由题意病毒细胞关于时间 n 的函

y = 2 n ?1 ,

3 ,为获得最大的经济效益,该公司应裁员 4

两边取对数得

y万 元,则 y = ( 2 a ? x )(b + 0.01bx ) ? 0.4bx b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] + 2ab =? 100 3 依题意 2 a ? x ≥ ? 2 a 4 a ∴0< x ≤ . 2 又 140< 2 a <420, 70< a <210. a (1)当 0< a ? 70 ≤ ,即 70< a ≤140 时, 2 x = a ? 70 , y 取到最大值; a a (2)当 a ? 70 > ,即 140< a <210 时, = x , 2 2 y 取到最大值; 综上所述, 70< a ≤140 时, 当 应裁员 a ? 70 a 人;当 140< a <210 时,应裁员 人. 2
在多字母的数学问题当中,分类求解时需要 搞清:为什么分类?对谁分类?如何分类? 10.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发 展规律及其预防, 将病毒细胞注入一只小白鼠体内 进行实验, 经检测, 病毒细胞的增长数与天数的关 - 38 -

多少人? 解 设裁员 x 人,可获得的经济效益为

n ≤ 27.5, 即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. (2) 由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病 毒细胞为 2 × 2% , 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 26 2 × 2% × 2 x ,
26

(n ? 1) lg 2 ≤ 8,

由题意 2 26 × 2% × 2 x ≤108,两边取对数得 26 lg 2 + lg 2 ? 2 + x lg 2 ≤ 8, 得x ≤ 6.2 , 故再经过 6 天必须注射药物,即第二次应在 第 33 天注射药物. 本题反映的解题技巧是“两边取对数” ,这对 实施指数运算是很有效的. 11.在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停 放着一只小船, 由于缆绳突然断开, 小船被风刮跑, 其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h,同时岸 边有一人,从同一地点开始追赶小船,已知他在岸 上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h., 问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能 被人追上的最大速度是多少? 讲解: 讲解 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图

B

vt

2(1-k)t

O

15° 4kt

A

形语言, 进而想法建立数学模型. 设船速为 v, 显然 v ≥ 4 km / h 时人是不可能 人不必在岸上跑, 追上小船, 0 ≤ v ≤ 2 km/h 时, 当 而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船, 因此只要考虑 2 < v < 4 的情况,由于人在水中游 的速度小于船的速度, 人只有先沿湖岸跑一段路后 再游水追赶, 当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以 及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时, 人才能追上小船。设船速为 v,人追上船所用 时间为 t,人在岸上跑的时间为 kt (0 则人在水中游的时间 为 (1 ? k)t ,人要追上小船,则人船运动的路线 满足如图所示的三角形.

(3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所 有污染停止, 那么需要经过多少天才能使湖水的污 染水平下降到开始时污染水平的 5%? 讲解( 讲解 1)∵g(t)为常数, 有 g(0)∴g(0)=

p r

=0,

p r

.

(2) 我们易证得 0<t1<t2, 则 g(t1)-g(t2)=[g(0)? r t2 v1

< k < 1) ,

p r

]e

r ? t1 v

-[g(0)? r t2 v1

p r



Q| OA |= 4kt , | AB |= 2(1 ? k )t , | OB | vt ,
由余弦是理得

e

=[g(0)r t2 v

p r
r t1 v

]e [

r ? t1 v

-e

]=[g(0)-

| AB |2 =| OA |2 + | OB |2 ?2 | OA | ? | OB | ? cos15°
即 4(1 ? k ) 2 t 2 = ( 4kt ) 2 + (vt ) 2 ? 2.4kt ? vt ? 6 + 2 4 整理得 12k 2 ? [2( 6 + 2 )v ? 8]k + v 2 ? 4 = 0 . 要使上式在(0,1)范围内有实数解,则有 v2 ? 4 2 2 0< < 1 且 ? = [2( 6 + 2)v ? 8] ? 4 ?12? (v ? 4) ≥ 0 12 解得 2 < v ≤ 2 2 , 即v max = 2 2km / h . 故当船速在 ( 2,2

e p ∵g(0)· r

p r



(e

?e )

r ( t1 + t2 ) v

,
r t2 v1 r t1 v

<0,t1<t2,e

>e

,∴g(t1)<g(t2) .

故湖水污染质量分数随时间变化而增加,污 染越来越严重.
(3)污染停止即 P=0,g(t)=g(0)·e v ,设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平 5%即 g(t)=5% g(0)?
r ? t

2 ] 内时,人船运动路线可物

成三角形, 即人能追上小船, 船能使人追上的最大 速度为 2 2km / h ,由此可见当船速为 2.5km/h 时, 人可以追上小船. 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命 题的一个冷点, 复课时值得关注. 有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方 米, 每天流出湖泊的水量都是 r 立方米, 现假设下 雨和蒸发正好平衡, 且污染物质与湖水能很好地混 合,用 g(t)表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污 染物质的克数, 我们称为在时刻 t 时的湖水污染质 量分数, 已知目前污染源以每天 p 克的污染物质污 染湖水,湖水污染质量分数满足关系式 g(t)=

1 ?vt v ∴ =e ,∴t= ln20, 20 r v 故需要 ln20 天才能使湖水的污染水平下 r
降到开始时污染水平的 5%. 12. 某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的 月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月 租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆, 租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车 每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能 租出多少辆车? (Ⅱ) 当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁 公司的月收益最大?最大月收益是多少? 讲解: 讲解 (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元 时,未租出的车辆数为

r

p r

+[g(0)-

p r

] e ·

r ? t v

(p≥0),其中,g(0)是湖水

污染的初始质量分数. (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水 污染的初始质量分数; (2)求证:当 g(0)< 度将越来越严重; - 39 -

p r

3600 ? 3000 = 12 ,所 50

时,湖泊的污染程

以这时租出了 88 辆车. (Ⅱ) 设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公 司的月收益为:

x ? 3000 ? x ? 3000 ? . f ( x ) = ? 100 ? × 50 ? ( x ? 150 ) ? 50 ? 50 ?

解答函数型最优化实际应用题,二、三元均 值不等式是常用的工具.

整理得: x2 1 2 f ( x ) = ? + 162 x ? 21000 = ? ( x ? 4050 ) + 307050 50 50 . 所以,当 x

二、建构不等关系的应用性问题
不等式应用题,多以函数面目出现,以最优 化的形式展现, 解答这一类问题, 不仅需要不等式 的相关知识(不等式的性质、解不等式、均值不等 式等) ,而且往往涉及函数、数列、几何等多方面 知识,综合性强,难度可大可小,是高考和各地模 拟题的命题热点. 1. 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米/小时 (4≤V≤20)从 A 港出发前往 50 千米处的 B 港, 然后乘汽车以匀速 W 千米/小时(30≤W≤100) 自 B 港向 300 千米处的 C 市驶去,在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间 分别是 x 小时、y 小时,若所需经费

= 4050 时, f ( x ) 最大,最大

值为 307050. 即当每辆车的月租金定为 4050 元时, 租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 307050 元. 点评:实际问题的最值要注意自变量的取值 点评 范围. 13.某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数 控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、 保养费用 12 万元, 从第二年开始, 每年所需维修、 保养费用比上一年增加 4 万元, 该机床使用后, 每 年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的 盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利 额为正值) ; (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有 两种: (i )当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (ii )当盈利额达到最大值时,以 12 万元价 格处理该机床, 问用哪种方案处理较为合算?请说 明你的理由. 讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工 作中经常遇到的问题. ( 1 )

p = 100 + 3(5 ? x) + 2(8 ? y ) 元,那么

V、

W 分别为多少时,所需经费最少?并求出这时所 花的经费. 讲解: 讲解 题中已知了字母, 只需要建立不等式 和函数模型进行求解. 由 于 50 y= 及4 ≤ V ≤ 100,∴ 2.5 ≤ y ≤ 12.5, 同理3 ≤ x ≤ 10 V 又 9 ≤ x + y ≤ 14 ,

P = 100 + 3(5 ? x) + 2(8 ? y ) = 131 ? (3 x + 2 y ), 令z = 3 x + 2 y.
则 z 最大时 P 最小. 作出可行域, 可知过点 (10, 时, z 有最大值 38, 4) ∴P 有最小值 93,这时 V=12.5,W=30. 视 z