9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

第三讲 椭圆的综合应用



第三讲 椭圆的综合应用
一【基础知识讲解】

1.点与椭圆的位置关系:

2 2 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的位置关系:

a

b

2 2 当 x 2 ? y 2 ? 1 时,点 P 在椭圆外;

a a a

b

2 当 x 2 ? y 2 ? 1 时,点 P 在椭圆内;

2

b b

2 当 x 2 ? y 2 ? 1 时,点 P 在椭圆上;

2

2.直线与椭圆的位置关系:

(1)相离

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

y ? kx ? b

? x2 y2 ?1 ? ? ①相离 ? ? a 2 b 2 ? y ? kx ? b ?

无解 ? ? ? 0

②求椭圆上动点 P(x,y)到直线距离的最大值和最小值, (法一,参数方 程法;法二,数形结合,求平行线间距离,作 l'∥l 且 l'与椭圆相切) ③关于直线的对称椭圆。

(2)相切

? x2 y2 ?1 ? ? ①相切 ? ? a 2 b 2 有一解 ? ? ? 0 ? y ? kx ? b ?

②过椭圆上一点P0 ( x 0 ,y 0 ) 的椭圆的切线方程为

xx 0 yy 0 ? 2 ?1 a2 b

? x2 y2 ?1 ? ? (3) 相交 ? ? a 2 b 2 有两解 ? ? ? 0 ? y ? kx ? b ?

直线与椭圆相交 ? ? ? 0 ; 直线与椭圆相切 ? ? ? 0 ; 直线与椭圆相离 ? ? ? 0

3. 有关椭圆的重要结论

A B F1 O

y

?

P

(1) C ?ABF 2 ? 4a (AB 是过焦点的弦) ;
F2 x

(2) S ?PF1F2 ? b 2 tg

? ; 2

(3) 当 P 点位于短轴顶点处时,?F1PF2 取得 最大值。

4. 椭圆的弦长公式 AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ?

1 | y1 ? y 2 | k2

设 直 线 与 椭 圆 交 于 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 且 P1P2 斜 率 为 K , 则 |P1P2|=|x1-x2|
(1 ? K 2 )

,|P1P2|=|y1-y2|

(1 ? 1/K 2 )

{K=(y2-y1)/(x2-x1)}

= (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

注意:使用弦长公式的前提:(1) 直线斜率要存在;(2) 直线方程与曲线方 程联立后,?>0,即直线与椭圆有两个交点。

焦点弦(过焦点的弦)长,除了弦长公式,还可用焦半径,
AB ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? e( x1 ? x2 ) (以 AB 过左焦点为例)

5. 点差法(常用于解决有关“弦” 、 “中点”问题,但要注意验证“?”)
x2 y2 设椭圆 2 ? 2 ? 1 上两个点 A( x1 , y1), B (x2 , y2 ),弦 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,则 a b
? x12 y12 ? ? 1(1) ? ? a2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1(2) ? ? a 2 b2
2 2 2 2 2 2 ? ?b x1 ? a y1 ? a b (1) ? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x2 ? a y2 ? a b (2)









( ?1

) 得(

2

)

b2 ( x12 ? x2 2 ) ? ?a 2 ( y12 ? y2 2 ) ,即

b2 x y1 ? y2 b2 ( x ? x ) ? ? 2 1 2 ,即 k AB ? ? 2 0 x1 ? x2 a ( y1 ? y2 ) a y0

结论:在椭圆

b 2 x0 x2 y2 k ? ? P ( x , y ) ? ? 1 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 0 0 a 2 y0 a2 b2

(结论不要求记忆,会推导即可)

二【例题讲解】
★★★考点 1: 的最值

若 A 为椭圆 C 内一定点(异于焦点) ,P 是 C 上的一个动点,F 是 C 的一个

焦点,e 是 C 的离心率,求

的最小值。

例: 已知椭圆

内有一点 A(2,1) ,F 是椭圆 C 的左焦点,P 为

椭圆 C 上的动点,求

的最小值。

特点:数值“ ”恰为 ,

★★★考点 2:

的最值

若 A 为椭圆 C 内一定点(异于焦点) ,P 为 C 上的一个动点,F 是 C 的一 个焦点,求 的最大值和最小值。

例:已知椭圆 动点,求

内有一点 A(2,1) ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上 的最大值与最小值。 ,可知其坐标为(3,0)

解:如图 1,设椭圆的右焦点为

图1 由椭圆的第一定义得:

可知,当 P 为

的延长线与椭圆的交点时, 的延长线与椭圆的交点时,

最大,最大值为 最小,最小值为

,当 P 为 。 故 的最大值为

,最小值为



★★★考点 3:

的最值

若 A 为椭圆 C 外一定点, 为 C 的一条准线, P 为 C 上的一个动点, P到 的 距离为 d,求 的最小值。

例: 已知椭圆

外一点 A(5,6) , 为椭圆的左准线,P 为椭圆上动

点,点 P 到 的距离为 d,求

的最小值。

解:如图 2,设 F 为椭圆的左焦点,可知其坐标为

图2

根据椭圆的第二定义有:

,即

可知当 P、 F、 A 三点共线且 P 在线段 AF 上时,

最小, 最小值





的最小值为 10。

★★★考点 4:椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值

例: 定长为

的线段 AB 的两个端点分别在椭圆

上移动,求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。 解:设 F 为椭圆的右焦点,如图 3,作 于 A”,BB”⊥ 于 B”,MM”⊥ 于 M”

图3



当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为



评注:

是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值,

是 AB 能过焦

点的充要条件。

★★★考点 5: 点和椭圆的位置关系

1. 点 A?a ,1? 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内部,则 a 的取值范围是 ( A 4 2 A. ? 2 < a < 2 B. a < ? 2 或 a > 2



C. ? 2 < a < 2

D. ? 1 < a < 1

★★★考点 6:椭圆和直线的位置关系

1.椭圆 x

2

16

?

y2 ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 4

( D ) D. 10

A.3

B. 11

C. 2 2

2. 直线 y ? kx ? 2 与椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 80 相交于不同的两点 P 、 Q ,若 PQ 的中 1 点横坐标为 2,则直线的斜率等于 。[来 2 3.已知椭圆
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 与过点 A(2,0),B(0,1)的直线 l 有且只有一个
3 .求椭圆方程 2

公共点 T,且椭圆的离心率 e ?

[解析]直线 l 的方程为: y ? ? 由已知

1 x ?1 2

a2 ? b2 3 ? ? a 2 ? 4b 2 a 2



? x2 y2 ? ?1 ? ? 2 b2 由?a ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?

得: (b 2 ?

1 2 2 a )x ? a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 4

∴ ? ? a 4 ? (4b 2 ? a 2 )(a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,即 a 2 ? 4 ? 4b 2 由①②得: a 2 ? 2 , b2 ? 故椭圆 E 方程为
1 2



y2 x2 ? ?1 1 2 2

x2 y2 ? ? 1 ?a > b > 0 ? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两 点,且 a2 b2 OP ? OQ ,其中 O 为坐标原点。 1 1 (1)求 2 ? 2 的值; a b 3 2 (2)若椭圆的离心率 e 满足 ≤e≤ ,求椭圆长轴的取值范围。 3 2

4. (14 分)椭圆

(1) 利用联立方程组法 ∴
1 1 ? 2 ?2 2 a b

注:OP ⊥ OQ ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

(2) 长轴 2a ∈ [ 5 , 6 ]

科网]

☆变式训练☆
1. P 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 上的点,则 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的距离的最小 27 16

值为

1 5



2 . 点 M ?1,1? 位于椭圆

x2 y2 ? ? 1 内,过点 M 的直线与椭圆交于两点 A 、 4 2 B ,且 M 点为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程及 AB 的值。

点差法或联立方程组法 AB:x + 2y -3 = 0 | AB | =
30 3

x2 y2 2 3.已知 A、 B 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点, O 为坐标原点, 点 P ( ?1, ) 2 a b

在椭圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2) 点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点, 对于△ABC, 求 值。 [解析](1)∵点 M 是线段 PB 的中点 ∴ OM 是△ PAB 的中位线 又 OM ? AB ∴ PA ? AB
?c ? 1 ?1 1 ? ∴? 2 ? 2 ?1 2b ?a 2 2 2 ? ?a ? b ? c

s n i As n i ? B 的 s n i C

解得a 2 ? 2, b 2 ? 1, c 2 ? 1

∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 =1 2
C

(2)∵点 C 在椭圆上,A、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC+BC=2a= 2 2 ,AB=2c=2
A

B

在△ABC 中,由正弦定理, ∴

BC AC AB ? ? sin A sin B sin C

BC ? AC 2 2 sin A ? sin B ? ? 2 = AB 2 sin C

★★★考点 7: 直线与椭圆相交求弦长

(1) 常用分析一元二次方程解的情况,仅有△还不够,且用数形结合的思想。 (2) 弦的中点,弦长等,利用根与系数的关系式,但△>0 这一制约条件不同意。
b ? x1 ? x2 ? ? ? ? a (a,b,c ? ?x x ? c 1 2 ? a ?

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ?

1 ? y1 ? y2 ? 1 ? k 2 2 k a

为方程的系数)

1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 与直线 y ? x ? 1 相交于 A,B,求线段 AB 的长度 4 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 4ac ? 4 0, 于 是 解: ? 4 , 消 去 y 得 3x2 ? 4 x ? 2 ? 0 , 则 ? ?b2 ? 2 ? y ? x ?1 ?

| AB |? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 ?

40 4 5 ? 3 3

2.已知直线 l 过椭圆 8 x 2 ? 9 y 2 ? 72 的一个焦点,斜率为 2, l 与椭圆相交于 M、N 两点,求弦 MN 的长。

? y ? 2( x ? 1) 解:由 ? 2 得 11x 2 ? 18 x ? 9 ? 0 。 2 ?8 x ? 9 y ? 72

方法一:由弦长公式 AB ? 1 ? k 2

? 5 18 2 ? 4 ? 11 ? 9 60 ? ? a 11 11

方法二: MN ? MF ? NF ? (

a2 a2 18 1 60 ? x1 )e ? ( ? x2 )e ? 2a ? ( x1 ? x2 ) ? 6 ? ? ? c c 11 3 11

★★★考点 8: “点差法”解决弦、中点问题, “设而不求”的思想。

当涉及至平行法的中点轨迹,过定点弦的中点轨迹,过定点且被定点平分 的弦所在直线方程,用“点差法”来求解。

步骤:

1.设 A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程;
b 2 x0 y1 ? y 2 b 2 ( x1 ? x 2 ) ?? 2 ?? 2 2.设 p( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点。两式相减, x1 ? x 2 a ( y1 ? y 2 ) a y0

3.得出 k ?

y1 ? y 2 x1 ? x2

注:一般的,对椭圆

x2 y2 b2 ? ? 1 K ? K ? ? 上弦 及中点 ,有 M AB AB OM a2 b2 a2

1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是( D ) 36 9

A. x ? 2 y ? 0

B.2 x ? y ? 10 ? 0

C.2 x ? y ? 2 ? 0

D.x ? 2 y ? 8 ? 0

x1 y2 x y2 y ? y2 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得: x1 ? x2 ? 4( y1 ? y2 ) 1 ? 0, 36 9 36 9 x1 ? x2 y ? y2 1 ?? ? x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? 4 ,? 1 x1 ? x2 2

2

2

2.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 , 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 2

解:设弦的两端点分别为 M ( x1 , y1 ),N ( x2 , y2 ) , MN 的中点为 R( x, y ) ,则
2 2 x12 ? 2 y12 ? 2, x2 ? 2 y2 ? 2 ,两式相减并整理可得

x1 ? y 2 x ? x2 x ?? 1 ?? x1 ? x2 2( y1 ? y 2 ) 2y





y1 ? y 2 ? 2 代入式①,得所求的轨迹方程为 x ? 4 y ? 0 (在椭圆内部分) x1 ? x2

三【课后习题】
3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 4 椭圆的离心率 e ? . 1 AB [解析] AB ? 4k , AC ? 3k , BC ? 5k , e ? ? AC ? BC 2 2 x y2 2.在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a b 2 ?a ? . a 为半径的圆,过点 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?

1.在 △ABC 中, ?A ? 90? , tan B ?

[解析]

2 a2 ? 2a ? e ? 2 c

矩形

3. 已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的 平面直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为
y
D C

直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

[解析] (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2 ,0 , 设椭圆的标准方程是
则2a ? AC ? BC ?
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a2 b2
2

?

??

2 ,0 ,

??

2 ,1 .

?

?

2? ? 2

?

?? ? ?1 ? 0?
2

?

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0?
2

?

2

?4?2 2

?a ? 2
?b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .
x2 y2 ? ? 1. ?椭圆的标准方程是 4 2

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? . 设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?.
?y ? kx? 2 联立方程: ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, ?1 ? 2k 2 ?x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 8k 4 有 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 ?1 ? k 2 ?x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0
4 1? k 2 16 k 2 ? ?4?0 所以, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
8 ? 4k 2 ? 0, 即 1 ? 2k 2 得 k 2 ? 2, k ? ? 2.

?

?

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 . 所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.

4.已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的 点,当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率____________.. 剖析:求椭圆的离心率,即求
c ,只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量表 a

示.本题没有具体数值,因此只需把 a、c 用同一量表示,由 PF1⊥F1A,PO∥AB 易得 b=c,a= 2 b. 解:设椭圆方程为
x2 y2 + =1(a>b>0) ,F1(-c,0) ,c2=a2-b2, a2 b2

则 P(-c,b 1 ?

c2 b2 ) ,即 P (- c , ). a a2

∵AB∥PO,∴kAB=kOP, 即-
b ? b2 = .∴b=c. ac a

又∵a= b 2 ? c 2 = 2 b, ∴e= =
c a
b 2b

=

2 . 2



更多相关文章:
椭圆
椭圆_数学_高中教育_教育专区。衡阳个性化教育倡导者 第三讲 椭圆教学目标:1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数...
椭圆定义及应用
椭圆定义及应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学新课标 一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义 平面内有两个定点 F1、F2,和一个定长 ...
第三讲圆锥曲线的综合问题
第三讲 圆锥曲线的综合问题 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的...(x2,y2), x2 y2 1 1 2+ 2=1 a b 所以 2 运用点差法, x2 y2 ...
高二第三讲椭圆(学生)
高二第三讲椭圆(学生)_其它课程_高中教育_教育专区。高二第三讲椭圆(学生)评卷人 得分 一、选择题 1.过椭圆 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点...
直线与椭圆综合应用(含答案)
【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的 位置关系的综合运用。 ...第三讲 椭圆的综合应用 15页 2下载券 高三作业单(直线与椭圆的... 暂无...
数学椭圆的综合应用 同步练习3人教版选修1-1(A文)
数学椭圆的综合应用 同步练习3人教版选修1-1(A文)_数学_高中教育_教育专区。椭圆的综合应用 同步练习一、 单选题(每道小题 4 分共 108 分 ) 1. 以圆x ...
...专题七 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用素能提...
【高优指导】2016高考数学二轮复习 专题七 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用...5.已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均...
函数与圆锥曲线讲义设计
本模 块的课程从函数的定义开始,循序渐进,继续函数的性质与应用,继而到导数的...第一讲:直线与椭圆 第二讲:直线与抛物线 第三讲:直线与圆锥曲线综合应用(1) ...
已知椭圆C:过点A(2,0),B(0,1)两点._答案_百度高考
第1小题正确答案及相关解析 正确答案 由题意得,,. 所以椭圆的方程为. 又, 所以离心率 考查方向 椭圆的几何性质应用与四边形面积结合的综合应用 解题思路 (...
椭圆的几何性质
第三讲椭圆的几何性质【教学目标】 通过椭圆标准方程的讨论, 掌握椭圆的几何性质, 能正确地画出椭圆的图形, 并了解椭圆的一些实际应用. 通过对椭圆的几何性质的...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图