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三角函数推导,公式应用大全



三角函数推导,公式应用大全
两角和的正弦与余弦公式: (1) (2) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

教材的思路是在直角坐标系的单位圆中, 根据两点间的距离公式推导: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; 再用诱导公式证明: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; 如图所示:∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α。 则 B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα);C[cos(α+β),sin(α+β)]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos(α+β)-1] 2+[ sin(α+β)-0] 2; =cos2(α+β)- 2cos(α+β)+1 + sin2(α+β); =2-2 cos(α+β)。 AB2=(cosα-cosβ)2+ (sinα+sinβ)2; =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β; =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ 2-2 cos(α+β)=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ ∴ sin(α+β)= cos(90° -α-β) =cos[(90° -α)+(-β)] =cos(90° -α)cos(-β)- sin(90° -α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ

cos?2? ?

? sin ?? / 2 ? ? ? ? ? ? sin ?? / 2 ? ? ? cos?? ? ? ? cos?? / 2 ? ? ?sin ?? ? ? ? cos2 ?? ? ? sin 2 ?? ? ? 1 ? sin 2 ?? ? ? sin 2 ?? ? ? 1 ? 2 sin 2 ?? ? ? cos2 ?? ? ? 1 ? cos2 ?? ? ? 2 cos ?? ? ? 1
2

?

?

?

?

又 tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ) 同除 cosα·cosβ,得 tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 同理,tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

正弦、余弦的和差化积公式
指三角函数中的一组恒等式

以上公式可用积化和差公式推导,也可以由和角公式得到,以下用和角公式证明之。 证明:由和角公式有,

两式相加、减便可得到上面的公式(1)、(2),同理可证明公式(3)、(4)。

正切的和差化积

(附证明)

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)【注意右式前的负号】 证明:左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立

2 注意事项编辑
在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式 化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次 口诀 正加正,正在前,余加余,余并肩 正减正,余在前,余减余,负正弦 反之亦然 生动的口诀:(和差化积) 帅+帅=帅哥[1] 帅-帅=哥帅 哥+哥=哥哥 哥-哥=负嫂嫂 反之亦然 语文老师教的口诀: 口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 赛赛之和赛口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 口口之差负赛赛 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 赛赛之差口赛收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 另一口诀: 正和正在先,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 正差正后迁,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 余和一色余,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 余差翻了天,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 另另一种口诀(前提是角度(α+β)/2 在前,(α-β)/2 在后的标准形式) : 正弦加正弦,正弦在前面,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 正弦减正弦,余弦在前面,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 余弦加余弦,余弦全部见,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 余弦减余弦,余弦(负)不想见,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2]

3 记忆方法编辑
和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单 记忆方法。

如何只记两个公式甚至一个
我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。 而第二个公式中的-sinβ=sin(β+π),也就是 sinα-sinβ=sinα+sin(β+π),这就可以 用第一个公式解决。 同理第四个公式中,cosα-cosβ=cosα+cos(β+π),这就可以用第三个公式解决。 如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把 cos 全部转化为 sin,那样就只记住第一个 公式就行了。 用的时候想得起一两个就行了。

结果乘以 2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin 和 cos 的值域都是[-1,1], 其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以 2 是必须的。 也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系 数 2,如: cos(α-β)-cos(α+β) =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ 故最后需要乘以 2。

只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主 要是根据证明记忆, 因为如果不是同名三角函数, 两角和差公式展开后乘积项的形式都不同, 就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以 2
在和差化积公式的证明中,必须先把 α 和 β 表示成两角和差的形式,才能够展开。熟 知要使两个角的和、差分别等于 α 和 β,这两个角应该是(α+β)/2 和(α-β)/2,也就是乘 积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以 2”,但位置不同;而只有和差化积公 式中有“乘以 2”。

使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2 的 三角函数名。 是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对 同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同 名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。 (α-β)/2 的三角函数名规律为:和化为积时,以 cos(α-β)/2 的形式出现;反之, 以 sin(α-β)/2 的形式出现。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么 α 和 β 调换位置对 结果没有影响,也就是若把(α-β)/2 替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β) /2 的形式是 cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。

余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。 当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单调性。因为 这个区间内余弦函数是单调减的, 所以当 α 大于 β 时, cosα 小于 cosβ。 但是这时对应的 (α+β) /2 和(α-β)/2 在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于 0,所以要么反过来把 cosβ 放 到 cosα 前面,要么就在式子的最前面加上负号。

积化和差 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明: sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 其他的 3 个式子也是相同的证明方法。

三角函数
1. ① 与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ? ? k ? 360 ? ?, k ? Z ?
?



y
2 sinx 1 cosx cosx

②终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

? ? ? ? ?

3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2

③终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

sinx 3

4

⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 2. 角度与弧度的互换关系:360° =2 ? 180° = ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745 (rad)
180

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos ? ? x; r

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
y a的 终边
P( x,y) r

y sin ? ? ; r

tan ? ?

y; x

cot? ?

x; y

sec ? ?

r r ;. csc? ? . x y

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx f ( x) ? cotx f ( x) ? secx f ( x) ? cscx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
cos ? ? cot ? sin ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ?
cos ?

tan ? ? cot ? ? 1 csc ? ? sin ? ? 1
2 2
2 2

s ec ??co s ? ?1

16. 几个重要结论 : (1)
y

sin ? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc 2 ? ? cot2 ? ? 1

(2)

y

9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

“奇变偶不变,符号看象限”

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 tanx= x=
sin x cos x cos x sin x

sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组三 sin(? x) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x

公式组四 sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x 公式组五 sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x 公式组六 sin( ? ? x) ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? ? tan x cot(? ? x) ? ? cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

公式组二
sin 2? ? 2 s i n ?c o? s

co2 s? ? c o 2 s? ? s i 2 n? ? 2 c o 2 s ? ?1 ? 1 ? 2 s i 2 n?

tan 2? ?

2t a n ?
2 1? t a n ?

sin ?? 2 cos

?

1? c o ? s 2 1 ? cos? 2

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

??

tan(? ? ? ) ?

tan

?
2

??

1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

公式组三
sin? ? 2 tan 1 ? tan

公式组四

公式组五

?
2
2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2

? ?
2 2

1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 1 sin? sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 ??? ??? sin? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2 sin? cos ? ?

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot ? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2

tan? ?

2 tan 1 ? tan

?
2

2

?
2

sin 15? ? cos75? ?

6? 4

2 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 1 2 2 sin( ? ? ? ) ? cos ? ??? ??? 2 cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 2 , , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 ,. tan75? ? cot15? ? 2 ? 3

sin? ? sin ? ? 2 cos

???

sin

? ??

1 tan( ? ? ? ) ? ? cot ?

sin 75? ? cos15? ?

6? 2 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ??

[?

?
2

? 2k? ,

; ??

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 (k ?Z )

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 2 k ? ? ? ? ? ? ? 2 (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数

(k ?Z )

注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? ③ y ? sin(
y ? tan
2?

y

?

.
O

x

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? ④ y ? sin(

?
2

o s c (k ?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) ; y ?(

?x ? ? ) 的

对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ) , 对称中心 ( k? ? 1 ? ,0 ) ;y ? a n t(
2

( ?x ? ? ) 的对称中心

k? . ,0 ) 2

y ? cos2x ??? ?? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x
原点对称

tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ? ⑤当 tan? ·

?
2

tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ; tan? ·

?
2

(k ? Z ) .

? ? ⑥ y ? cos x 与 y ? sin? ? x ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× ) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f ( ? x ) ? ? f ( x) )
1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? ? ) 是非奇非偶.(定 3

义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性 质)


⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ;

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

y=|cos2x+1/2|图象

; y ? cos x 为周期函数( T ? ? ) ; y ? cos x 是周期函数(如图)
y ? cos 2 x ? 1 的周期为 ? (如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 2

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ? ) ? cos? ?

b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ?
|? |
T 2?

(即当 x=0 时的相位) . (当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x
?

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y)

由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。



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