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导数复习讲义1.2



高二(理科数学)复习讲义(一)
1.函数 f ( x) ? x ? 1 在区间 [1, m] 上的平均变化率为 3 ,则 m 的值为
2

15.已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b . (1)若函数 f ( x ) 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值;

. (2)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

2.曲线 y ?

x 的一条切线过点 (3, 2) ,则此切线方程为______________.
1 (其中 s 的单位为 m , t 的单位为 s ),则质点在 t ? 3s 时的速度 t4
1 ,则点 P 的坐标为 2
_____.

3.若质点的运动方程是 s ? 为_________________.

4.设曲线 y ? cos x, x ?[?? , ? ] 在点 P 处的切线的斜率为 ? 5.函数 f ( x ) ? x ?
2

a 在 [1, ??) 上的最小值是 ?4 ,则正实数 a ? _____________。 x
16.设函数 f ( x) ?

6.已知曲线 y ?

4 在点 (1,4) 处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离等于 17 , x

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 ; 3

则直线 l 的方程为____________________. 7.设函数 f ( x) ?

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

ex 的单调减区间是______________。 x

2 8.已知 f ( x) ? x ? 2xf '(2) ,则 f '(2) ? __________________。

9.若 f ( x) ? ?

1 ( x ? 2) 2 ? b ln( x ? 1) 在 (0, ??) 上单调递减,则 b 的取值范围为______________。 2
3

10.若函数 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则 a 的取值范围为_________________。 11. f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 [1, 2] 内恒为正值,则 b 的取值范围为______________。
3

17.已知 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 过点 (??, ??) ,且 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的图像关于 y 轴对称. (1)求 m、n 的值及 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? ? ,求 f ( x ) 在 (a ??, a ??) 内的极值.

a 3 在 [1, e] 上的最小值为 ,则 a ? ________________。 x 2 1 13.若函数 f ( x) ? loga ( x3 ? ax) ( a ? 0 且 a ? 1 )在区间 (? , 0) 内单调递增, 2
12.若 f ( x) ? ln x ? 则 a 的取值范围为_________________。 14.设函数 ht ( x) ? 3tx ? 2t 2 ,若有且仅有一个正实数 x0 ,使得 h4 ( x0 ) ? ht ( x0 ) 对任意的正实数 t 成立.则 x? ? _________.
3

18. 2010 年世博会在上海召开, 某商场预计 2010 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种世博商品的需求 总量 P ( x) 件与月份 x 的近似关系是:

19.若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x ) 的极大值为 ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式: (2)若 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围。

4 ; 3

1 x( x ? 1)( 41 ? 2 x)( x ? 12 且 x ? N ? ) . 2 (1)写出第 x 月的需求量 f ( x ) 的表达式; P( x) ?

? f ( x) ? 21x, 1 ? x ? 7且x ? N * ? (2)若第 x 月的销售量 g ( x) ? ? x 2 1 (单位:件), 2 ? ( x ? 10 x ? 96), 7 ? x ? 12 且 x ? N ? x ?e 3
每件利润 q( x) 元与月份 x 的近似关系为: q( x) ?

1000 e x ?6 , 求该商场销售该商品, x
6

预计第几月的月利润达到最大?月利润最大是多少?( e ? 403)

20.已知函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b . (1)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

高二(理科数学)导数复习讲义(二)
1.质点运动规律 s ? 5t ? 3 ,则在时间 ?3,3 ? ?t ?中,相应的平均速度等于____________. 2.若 f ?(a) ? 2 ,则当 h 无限趋近于 0 时

15.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 及 y ? f ( x) 上一点 P(1, ?2) ,过点 P 作直线 l ; (1)求使直线 l 和 y ? f ( x) 相切且以 P 为切点的直线方程; (2)可使直线 l 和 y ? f ( x) 相切且切点异于 P 点的直线方程。

f (a ? h) ? f (a ) 无限趋近于____________. 2h

3.若直线 y ? x ? 1 是曲线 y ? ln( x ? a) 的切线,则 a 的值等于__________. 4.若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? ________. x ?1

5 .设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 9 x ? 1 ,若曲线 y ? f ( x) 的切线中斜率最小的切线与直线

x ? 12 y ? 0 垂直,则 a ? ________.
6.曲线 y ? x 在点 (a, a )(a ? 0) 处的切线与 x 轴,直线 x ? a 所围成的三角形的面积为
3 3

1 , 6
16.已知 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1 ;(1)求 f ( x ) 的单调区间;(2)若 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,

则 a ? ________. 7.已知点 P 在曲线 y ?

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e ?1
x

直线 y ? m 与 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,求 m 的取值范围.

则 ? 的取值范围是_________________。

8.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x ,则 f ( ) 的值为______________.

?

?

4

4

9.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的底面半径为________时,才能使饮料罐的体积 最大. 10.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调递增区间是_________.
2 x 11. 设函数 f ( x) ? ( x ?1) ( x ? b)e ,若 x ? 1 是 f ( x ) 的一个极大值点;

则实数 b 的取值范围为________________.
2 12. f ( x ) ? 2 x ? x ? ln x 的单调递增区间为___________________________。

13. f ( x ) ?

1 4 a 3 1 2 x ? x ? x 有且仅有 3 个极值点,则实数 a 的取值范围为_____________。 4 3 2
ax

14.若对一切 x ? R , e ? x ? 1 恒成立,则 a ? _____________.

17.设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a, b ? Z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 ; x?b

19.已知函数 f ( x) ?

1 m( x ? 1) 2 ? 2 x ? 3 ? ln x ; 2

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为定 值,并求出此定值。

(1)当 m ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)当 m ? 0 时,若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1,1) 处的切线 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共 点, 求实数 m 的值.

18.设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 . (1)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值;
2 20.已知 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 3 ;

2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0,

(1)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 2] ( t ? 0 )上的最小值; (2)对一切 x ? 0 , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:对一切 x ? 0 ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立。 e x ex



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