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函数的奇偶性和周期性



函数的单调性和奇偶性

一、函数的奇偶性
1.函数奇偶性的定义

奇偶性 偶函数





如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都
有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 有 f(-x)=-

f(x) ,那么函数f(x)是奇函数

奇函数

2.函数奇偶性的判定方法
首先看 定义域是否关于原点对称 , 再考查 f(x)和f(-x)的关系 . 注意:对能化简的解析式应 先化简再判断 . 3.函数奇偶性常用结论

①奇函数图象关于 原点 对称.
偶函数图象关于 y轴 对称.

②定义域关于原点对称是函数f(x)具有奇偶性的 必要不充分 条件. ③若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)= 0 .

4.重要结论: 奇函数在对称区间具有 相同 的单调性; 偶函数在对称区间具有 相反的单调性.

二 .周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T, f(x+T)=,那 f(x) 使得当x取定义域内的任何值时,都有____________

么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 ______________的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 存在一个最小 最小正周期.

? 1 .对任意实数 x ,下列函数中为奇函数的 是( ) ? A.y=2x-3 B.y=-3x3 ? C.y=5x D.y=-|x|cos x ? 答案: B

2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的 值是( ) 1 3 1 B. 3 D.- 1 2

A.- C. 1 2

解析:

∵函数f(x)=ax2+bx在x∈[a-1,2a]上为偶函数,

1 ∴b=0,且a-1+2a=0,即b=0,a= . 3 1 ∴a+b= . 3

答案: B

1 3.(教材习题改编)函数 f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 C.原点对称 B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

)

1 解析:选 C.f(x)= -x 是奇函数,所以图象关于原点对称. x

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3, 则 f(-2)=( ) A.1 B.-1 11 C.- 4 11 D. 4

答案:B

5 . 已 知 f(x) 在 R 上 满 足 f(x + 4) = f(x) , 当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 013)=( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 解析: 由f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4, ∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2. 答案: B

函数奇偶性的判断
例1.判断下列函数的奇偶性:
1? x (1) f ( x) ? lg 1? x
2 ? x ? ? x, x ? 0 (3) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? x, x ? 0

1? x (2) f ( x) ? ( x ? 1) 1? x
(4) f ( x) ? x2 ? 1 ? 1 ? x2

1? x 【解析】 ? 0,得-1 ? x ? 1, ?1?由 1? x 故f ? x ?的定义域关于原点对称. 1? x 1 ? x -1 又f (-x)=lg =lg( ) 1? x 1? x 1? x =-lg =-f ? x ?, 1? x 故原函数是奇函数. 1? x ? 0,得-1 ? x ? 1,定义域不 ? 2 ?由 1? x 关于原点对称,故原函数是非奇非偶函数.

0) ? (0,+?), ? 3? f ? x ?的定义域为(-?, 它关于原点对称. 又当x ? 0时,f ? x ?=x 2+x,则当x ? 0时,-x ? 0, 故f (-x)=x 2-x=f ? x ?; 当x ? 0时,f ? x ?=x 2-x,则当x ? 0时,-x ? 0, 故f (-x)=x 2+x=f ? x ?. 故原函数是偶函数.

? 4 ?因为f ? x ?的定义域为R,且f (-x)
1 1 2x 1 1 1 = x ? ? - = - x =-f ? x ?, x 2 ?1 2 1? 2 2 2 2 ?1 故原函数是奇函数.

在函数奇偶性的定义中,有两个必备条件, 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇 偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对 解决问题是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在 判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)- f(-x)=0(偶函数))是否成立,这样能简化运算.

如本题中 (4) ,判断 f(x) + f( - x) = 0 是 否成立,要方便得多.本题(3)是分段函数 判断奇偶性,分段函数指在定义域的不同 子集有不同对应关系的函数.分段函数奇 偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等 式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立, 只有当对称的两个区间上满足相同关系时, 分段函数才具有确定的奇偶性.

函数奇偶性的应用
【例2】 若函数f ? x ?=log a ( x+ x ? 2a )是奇
2 2

函数,求实数a的值.

【解析】定义法:由f ? x ?+f (-x)=0, 得log a ( x+ x 2 ? 2a 2 )+log a ( x 2 ? 2a 2-x)=0, 即log a 2a 2=0,所以2a 2=1. 2 因为a ? 0,所以a= . 2 性质法:因为奇函数的定义域为全体实数, 所以函数在原点有定义, 则f ? 0 ?=0,即log a 2a 2=0, 2 则2a =1,得a= . 2
2

抓住奇函数的定义或特殊性质, 是解决此类问题的重要法宝.

函数的周期性
【例3】.(2013· 阜阳月考)设f(x)是定义在R上的奇函数,且

对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,
f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).

解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],

∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8,

即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
(3)f(0)=0,f(2)=0, f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)= f(4)+ f(5)+f(6)+f(7)=…= f(2 008) +f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0, 又f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1, ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=1.

【规律小结】

(1)周期性常用的结论:

若 f(x)在定义域内任一自变量的值 x 满足: ① f(x+a)=- f(x),则 T= 2a 1 ② f(x+a)= ,则 T= 2a f( x) 1 ③ f(x+a)=- ,则 T= 2a f( x) (2)周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到自变量 值转换的作用,奇偶性起到调节符号的作用.

例4

1 a ? [0, ) 2

1 a? 2

练习:
1.偶函数 f(x) 满足 f(x + 3) =- f(x) ,当 x∈[ - 3 ,- 2] 时,f(x)=2x,求f(116.5)的值.

-5

2、已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时, f(x) =x2-2x,求f(x)的解析式。

f ( x) ? ? x ? 2 x
2



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