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东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题



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2015 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一) 数 学(文 科 类)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1、设集合 ? ? ? x ?2 ? x ? 3

? , ? ? ? x x ? ?1? ,则 ? A. ?3, ??? 2、复数 z ? B. ? ?2, ?1?

?? ?? ? (
R

) D. ? ?1,3? ) D.第四象限

C. ? ?1,3?

2i ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( 1? i

A.第一象限

B.第二象限 )

C.第三象限

3、下列四个命题中真命题的个数是(

①“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 ②命题“ ?x ? R , sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R , sin x ? 1 ” ③“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题为真命题 ④命题 p : ?x ??1, ??? , lg x ? 0 ,命题 q : ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真命题 A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 3

?y ?1 ? 4、已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为( ?x ? y ? 8 ?

A. ?2

B. 5

C. 6 )

D. 7

5、执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( A. 20 C. 40 B. 30 D. 50

6、等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , a1 ? 20 ,且 a3 , a7 , a9 成 比数列. Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,则 S10 的值为( A. ?110 C. 90 B. ?90 D. 110 )



7 、将函数 f ? x? ? cos 2x 的图象向右平移

? 个单位后得到函数 g ? x ? ,则 g ? x ? 具有性质 4
·1 ·

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A.最大值为 1 ,图象关于直线 x ?

?
2

对称

? ?? B.在 ? 0, ? 上单调递增,为奇函数 ? 4? ? 3? ? D.周期为 ? ,图象关于点 ? , 0 ? 对称 ? 8 ?

? 3? ? ? C.在 ? ? , ? 上单调递增,为偶函数 ? 8 8?

8、某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视 圆心角为 60 的扇形,则该几何体的侧面积为( A. 12 ?
10? 3

图是



B. 6 ?

10? 3

C. 12 ? 2?
2

D. 6 ? 4? 有相 )

x2 y 2 9、 已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

同的焦点 F ,点 ? 是两曲线的一个公共点,且 ?F ? x 轴,则椭圆的离心率为( A. 3 ?1 B. 2 ? 1 C.
5 ?1 2

D.

2 2 ?1 2

10、已知 ???C ? 90 , ?? ? 平面 ?? C ,若 ?? ? ?? ? ?C ? 1 ,则四面体 ???C 的外接 球(顶点都在球面上)的表面积为( A. ? B. 3? ) C. 2? D. 3?

11 、 若 G 是 ??? C 的 重 心 , a , b , c 分 别 是 角 ? , ? , C 的 对 边 , 若
aG? ? bG? ? 3 cGC ? 0 ,则角 ? ? ( 3

) C. 30 D. 45

A. 90

B. 60

12 、已知函数 f ? x ? 是定义在 ??1,1? 上的奇函数,对于任意 x1 , x2 ?? ?1,1? , x1 ? x2 总有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 若对于任意 a ???1,1? , 存在 x ???1,1? , 使 f ? x ? ? t 2 ? 2at ?1 ? 0 且 f ?1? ? 1. x1 ? x2
成立,则实数 t 的取值范围是( A. ?2 ? t ? 2 ) B. t ? ?1 ? 3 或 t ? 3 ? 1

C. t ? 0 或 t ? 2 D. t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
·2 ·

13 、 在 区 间 ? ?3, 5 ? 上 随 机 取 一 个 数 a , 则 使 函 数 f ? x? ? x2 ? 2ax ? 4 无 零 点 的 概 率 是 .

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14、已知 tan ? 3? ? x ? ? 2 ,则

2cos2

x ? sin x ? 1 2 ? sin x ? cos x



15、在直角梯形 ?? CD 中, ?D//? C , ???C ? 90 , ?? ? ?C ? 2 , ?D ? 1 ,梯形所在 平面内一点 ? 满足 ?? ? ?C ? 2?? ,则 ?C ??D ? 16、已知数列 ?an ? 中, an ? 0 , a1 ? 1 , an ? 2 ? . .

1 , a100 ? a96 ,则 a2014 ? a 3 ? an ? 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ? 17、 (本小题满分 12 分) ??? C 中的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c , ? ? , 4 ?? ? tan ? ? ? ? ? ? 3 . 4? ? ? ? ? 求角 C ;

? ?? ? 若 b ? c ?

2 ? 3 ,求 ??? C 的面积.

18、 (本小题满分 12 分)2014 年 7 月 16 日,中国互联网络信息中心发布《第三十四次 中国互联网发展状况报告》 ,报告显示:我国网络购物用户已达 3.32 亿.为了了解网购者 一次性购物金额情况, 某统计部门随机抽查了 6 月 1 日这一天 100 名网购者的网购情况, 得到如下数据统计表.已知网购金额在 2000 元以上(不含 2000 元)的频率为 0.4 .

? ? ? 确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图;
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? ?? ? 为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这 100 名网购者调查显示:购物
金额在 2000 元以上的网购者中网龄 3 年以上的有 35 人,购物金额在 2000 元以下(含 2000 元)的网购者中网龄不足 3 年的有 20 人. ①请将列联表补充完整; 网龄 3 年以上 网龄不足 3 年 合计 购物金额在 2000 元以上 35 购物金额在 2000 元以下 20 合计 100 ②并据此列联表判断, 是否有 97.5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上 有关? 参考数据: ? ?? 2 ? k ? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706 3.841
2

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式: ? 2 ?

n ? ad ? bc ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

19、 (本小题满分 12 分)已知四棱锥 ? ? ??CD ,侧面 ??D ? 底面 ?? CD ,侧面 ??D 为 等边三角形,底面 ?? CD 为菱形,且 ?D?? ?

?
3



? ? ? 求证: ?? ? ?D ; ? ?? ? 若 ?? ? 2 ,求四棱锥 ? ? ??CD 的体积.

20、 (本小题满分 12 分)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的 直线交抛物线于 ? , ? 两点,线段 ?? 的长是 8 , ?? 的中点到 x 轴的距离是 3 . ? ? ? 求抛物线的标准方程;

? ?? ? 在抛物线上是否存在不与原点重合的点 ? ,使得过点 ? 的直线交抛物线于另一点 Q ,
满足 ?F ? QF ,且直线 ?Q 与抛物线在点 ? 处的切线垂直?并请说明理由.
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21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3 ( a ? 0 ) .

? ? ? 讨论 f ? x ? 的单调性; 2 ? ?? ? 若 f ? x? ? ? a ?1? x ? 4 ? e ? 0 对任意 x ? ? ? e, e ? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围( e 为自然
常数) ; 2 ? ?1 ? ? ??? ? 求 证 l n? 2 ( n ! ? 1? 2 ? 3 ????? n ) .
ln ? 3 ? ?1 ? ?
2

l2 n ? ? 4? ???1 ?

?n

2 ? ln n2 ! , n ? ?? ) ? ? ? 1 n 1 (2nl ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,? ,? ,C 为 ? 上的三个点,?D 是 ???C 的平分线, 交 ? 于点 D , 过?作 ? 的切线交 ?D 的延长线于点 ? . ? ? ? 证明: ?D 平分 ???C ;

? ?? ? 证明: ?? ? DC ? ?? ? ?? .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 2 cos ? 已知在直角坐标系 x?y 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,定点 ? ? y ? 3 sin ?

? 0, ? 3 , F1 、 F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点.

?

?

求经过点 F1 且平行于直线 ?F2 的 ? ? ? 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程;
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? ?? ? 设 ? ? ? 中直线 l 与圆锥曲线 C 交于 ? , ? 两点,求 F1? ? F1? .

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 2x ? 4 , g ? x ? ? a ? x .

? ? ? 当 a ? 3 时,解不等式 f ? x? ? g ? x? ; ? ?? ? 画出函数 y ? f ? x? 的图象,根据图象求使 f ? x? ? g ? x?
恒成立的实数 a 的取值范围.

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2015 年数学科第一次模拟试题答案(文科)
1 C 2 A 3 D 4 A 5 B 6 D 7 B 8 C 9 B 10 D 11 C 12 D

13、

1 2

14、 ? 3

15、 ? 1

16、

5 2

17.(1)解:? 0 ? A ?

3 ? ? ? ,? ? A ? ? ? 4 4 4 ? 2? 5? ?, A ? ? ,? A ? ????????2 分 4 3 12

?C ?
(2)

?

3

????????4 分

? sin B ?

2 3 , sin C ? 2 2

?b : c ? 2 : 3 ????????6 分
?b ? c ? 2 ? 3,?b ? 2, c ? 3 ????????8 分
sin A ? sin(B ? C ) ? 6? 2 ????????10 分 4

? S ?ABC ?

1 1 6 ? 2 3? 3 ????????12 分 bc sin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 4 4

18.答案:⑴因为网购金额在 2000 元以上的频率为

0 .4 ,
所以网购金额在 2000 元以上的人数为 100 ? 0.4 =40 所以 30 ? y ? 40 , 所以 y ? 10 ,????????1 分 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

频率 组距

x ? 15 ,????????2 分
所以 p ? 0.15, q ? 0.1 ????????4 分 所以频率分布直方图如右图????????5 分 ⑵由题设列联表如下

0.5
·7 ·

1

1.5

2

2.5

3

(千元)

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网龄 3 年以上 购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 合计
2

网龄不足 3 年 5 20 25

合 计 40 60 100

35 40 75

? ? ? ? ? ? ? ? 7



100(35 ? 20 ? 40 ? 5) 2 n( ad ? bc) 2 ? 5.56 ????????9 分 = K ? 75 ? 25 ? 40 ? 60 ( a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
因为 5.56 ? 5.024 ????????10 分 所以据此列联表判断,有 97 .5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有关. ????????12 分 19.证明: (1)取 AD 中点 O ,连结 PO, BO . 侧面 PAD 为等边三角形,底面 ABCD 为菱形且 ?DAB ?

?
3

? PO ? AD, BO ? AD ????????2 分

PO ? BO ? O,? AD ? 面POB ????????4 分
? PB ? AD ????????5 分
(2)侧面 PAD ? 底面 ABCD ,侧面 PAD ? 底面 ABCD = AD ,

? PO ? 面ABCD , ? PO ? AD ? PO ? 面ABCD ????????7 分
? AB ? AD ? 2

? PO ? 3, S ABCD ? 2 3 ????????9 分
1 1 PO ? S ABCD ? ? 3 ? 2 3 ? 2 3 3 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2. ????????12 分 ?VP ? ABCD ?
20.解: (1)设抛物线的方程是 x ? 2 py( p ? 0) , A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,
2

由抛物线定义可知 y A ? y B ? p ? 8 ????????2 分 又 AB 中点到 x 轴的距离为 3,∴
2

y A ? y B ? 6 ,∴p=2,

所以抛物线的标准方程是 x ? 4 y .????????4 分
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(2) 设 P(x1 , y1 ), x1 ? 0, Q( x 2 , y2 ) , 则 x 2 ? 4 y 在 P 处 的 切 线 方 程 是 y ?

x1 x ? y1 , 直 线 2

PQ : y ? ?

2 8 x ? 2 ? y1 代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 , x1 x1

???????6 分

x1 ? x2 ? ?

8 8 4 , x1 x2 ? ?8 ? 4 y1 ,所以 x2 ? ? ? x1 , y 2 ? ? y1 ? 4 x1 x1 y1

????????8 分

x2 ? ?

8 4 ? x1 , y 2 ? ? y1 ? 4 ????????8 分 x1 y1
2

而 FP ? FQ ? ? y1 ? 2 y1 ?

4 ? 7 ? 0 ????????10 分 y1

3 2 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) ,得 ( y1 ? 1) 2 ( y1 ? 4) ? 0 ,所以 y1 ? 4 ,

存在点 P(?4,4) .????????12 分 (说明:没求出 y1 ,但说明关于 y1 的方程 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解,也给分。
3 2

例如令 f ( y1 ) ? y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 , f (1) ? 0, f (5) ? 0 ,
3 2

所以 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解)
3 2

21 解: (1) f ' ( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0) , ????????2 分 x
[来源:

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? ,单调减区间为 ?1, ?? ? ;????????3 分 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? 0,1? ; ????????4 分
[来

( 2)令 F ( x) ? a ln x ? ax ? 3 ? ax ? x ? 4 ? e ? a ln x ? x ? 1 ? e

F ' ( x) ?

x?a ?0 x

2 若 ? a ? e , a ? ? e , F ( x) x ? e, e

? ? 是增函数,
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F ( x) m a x? F (e 2 ) ? 2a ? e 2 ? e ? 1 ? 0, a ?
2 2

e ?1 ? e2 2

无解. ????????5 分

若 e ? ?a ? e , ? e ? a ? ?e , F ( x) , x ? ?e,?a? 是减函数; x ? ? a, e2 , 是增函数 ,

?

?

F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1

.

F (e 2 ) ? 2a ? e 2 ? e ? 1 ? 0, a ?

e ?1 ? e2 2

e ?1 ? e2 ? ?e ? a ? ????????6 分 2
2

若 ? a ? e , a ? ?e , F ( x) x ? e, e 2
2 2

? ? 是减函数,

F ( x) max ? F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1,? a ? ?e 2 ?????7 分
综上所述 a ?

e ?1 ? e2 ????????8 分 2

(3)令 a ? ?1 (或 a ? 1 )此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 在 (1,??) 上单调递增,∴当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即

? ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立,????????9 分
∵ n ? 2, n ? N* ,则有 ln( ????????10 分 要证 ln(2 ? 1) ? ln(3 ? 1) ? ln(4 ? 1) ?
2 2 2

1 1 1 1 1 ? 1) ? 2 ? ? ? , 2 n n (n ? 1)n n ? 1 n

? ln(n2 ? 1) ? 1 ? 2ln n!(n ? 2, n ? N ? )
? ln( 1 ? 1) ? 1(n ? 2, n ? N ? ) 2 n

只需证 ln(

1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? 2 2 3 4

????????11 分

1 1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ? ln( 2 ? 1) 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n ln(
所以原不等式成立????????12 分 22.⑴因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD ????????2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD, ?BAD ? ?CAD ????????4 分
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所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .????????5 分 ⑵由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED

BE BD ? ,????????7 分 AE AB 又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC ,所以 ?BCD ? ?DBC BD ? CD ????????8 分 BE BD CD ? ? 所以 ,????????9 分 AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE ????????10 分
?BDE ∽ ?ABE ,所以
23.解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

所以普通方程为 C :

x2 y2 ? ? 1 ????????2 分 4 3

A(0,? 3), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3, l : y ? 3( x ? 1) ????????3 分
? 直线 l 极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ?
????????5 分

?
3

)? 3

t ? x ? ?1 ? ? 2 ? (2)直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,????????7 分 ? y ? 3t ? 2 ?
2 代入椭圆方程得 5t ? 4t ? 12 ? 0 ????????8 分

12 ????????9 分 5 12 ?| F1 M || F1 N |? ????????10 分 5 ? t1 t 2 ? ?

?? 3 x ? 2, x ? ?2 ? 24.解: f ( x ) ? ?? x ? 6,?2 ? x ? 2 ,????????2 分 ?3 x ? 2, x ? 2 ?
(1) a ? 3 , f ( x) ? g ( x) ? ?

?? 3x ? 2 ? 3 ? x ?? x ? 6 ? 3 ? x ?3x ? 2 ? 3 ? x 或? 或? ? x ? ?2 ?? 2 ? x ? 2 ?x ? 2

? x ? ?2或 - 2 ? x ?

3 5 或x ? ,????????4 分 2 2

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不等式的解集为 ( ?? , ] ? [ ,?? ) ????????5 分 (2)图象????????8 分 所以 a ? 2 ????????10 分

3 2

5 2

y

4

0 2

x
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·12·



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