9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题



2012 年高中数学联赛陕西赛区预赛试题
(5 月 20 日 上午 8:30---11:00)

第一试
填空题:(每小题 8 分,共 80 分)要求直接将答案填在题中的横线上.
1. 已知集合 M ? ?1,3,5,7,9? ,若非空集合 A 满足: A 中各元素都加 4 后构成 M 的一个子 集, A 中个元素都减去 4 后也

构成 M 的一个子集,则 A ? 答案: ?5? 2. 已知两条直线 l1 : y ? 2 , l2 : y ? 4 ,设函数 y ? 3x 的图像与 l1 、 l 2 分别交于点 A、B, 函数 y ? 5 x 的图像与 l1 、 l 2 分别交于点 C、D,则直线 AB 与 CD 的交点坐标是 答案: (0, 0) 3. 对于正整数 n ,若 n ? p ? q( p ? q, p 、 q ? N? ) ,当 p ? q 最小时,我们称 p ? q 为 n 的“最 佳分解”,并规定 f ( n ) ? .

q .例如,12 的分解有 12 ? 1,6 ? 2,4 ? 3,其中 4 ? 3 为 12 p

的“最佳分解”,则 f (12 ) ? ① f (4) ? 0;

3 .关于 f ( n ) ,有以下四个判断: 4 1 3 4 ② f ( 7) ? ; ③ f ( 24 ) ? ; ④ f ( 2012 ) ? . 7 8 503
.

其中,所有正确判断的序号是 答案:②、④

4. 已知 ?ABC 为等腰直角三角形, ?A ? 90? ,且 AB ? a ? b , AC ? a ? b ,若

a ? ( c o? s, s i n ? ) (? ? R) ,则 ?ABC 的面积等于
答案:1

.

5. 在正四面体 ABCD 中,AO ? 平面 BCD,垂足为 O.设 M 是线段 AO 上一点,且满足

?BMC ? 90? ,则
答案:1

AM ? MO

.

y B D A

6. 如 图 1 , Rt ?ABC 的 三 个 顶 点 都 在 给 定 的 抛 物 线

x 2 ? 2 py( p ? 0) 上 , 且 斜 边 AB//x 轴 , 则 斜 边 上 的 高

C O
图1

CD ?

.

x

答案: 2 p 7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖) ,且相应获奖的概 率是以 a 为首项、 2 为公比的等比数列, 相应获得的奖金是以 700 元为首项、 以 ? 140 为 公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是 答案:500 8. 设 p 、 q 是两个不同的质数,则 p q?1 ? q p ?1 被 p ? q 除的余数是 答案:1 9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ? 1 ,且对于任意的 x ? R ,都有 f ?( x ) ? 等式 f (log 2 x) ? 答案: (0, 2) 10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到 500m 以外的公路边埋栽, 在 500m 处栽一根,然后每间隔 50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三 根,要完成运载 20 根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车总的行程最小为 . 元.

1 .则不 2

log 2 x ? 1 的解集为 2

.

m.
答案:14000

第二试
一、 (本题满分 20 分)
2 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2,AC ? 1 ,且 cos 2 A ? 2 sin

B?C ?1. 2

(1) 求角 A 的大小和 BC 边的长; (2) 若点 P 在 ?ABC 内运动(含边界) ,且点 P 到三边距离之和为 d,设点 P 到边 BC、

CA 的距离分别为 x, y ,试用 x, y 表示 d,并求 d 的取值范围.
答案: A ?

?
3

, BC ? 3

d ?[

3 , 3] 2
2 t

二、 (本题满分 20 分)
在平面直角坐标系中,以点 C (t , ) 为圆心的圆经过坐标原点 O ,且分别与 x 轴、 y 轴交于 点 A、B (不同于原点 O ). (1) 求证: ?AOB 的面积 S 为定值;

(2) 设直线 l : y ? ?2 x ? 4 与圆 C 相交于不同的两点 M 、N , 且O M 的标准方程. 答案: S ?

?O N

, 求圆 C

1 1 4 OA ? OB ? 2t ? ? 4 2 2 t

( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5
三、 (本题满分 20 分)
如图 2,锐角

A E O B F C

ABC 内接于圆 O ,过圆心 O 且垂直于半径 OA 的直线分别交

边 AB、AC 于点 E、F 设圆 O 在 B、C 两点处的切线相交于点 P . 求证:直线 AP 平分线段 EF . 证明:如图 4,过点 P 作 EF 的平行线,分别交 AB, AC 延长线于点 M , N ,

P
图2

则 ?PMB ? ?AEO ? 90 ? ?OAE 因为 O 是

A E O B M P N
图4

ABC 的外心,所以

?OAE ?
所以 ?PMB ? ?ACB

1 (180 ? ?AOB) ? 90 ? ?ACB 2

F C

又 PB 为圆 O 的切线,所以 ?PBM ? ?ACB . 所以 ?PMB ? ?PBM ,于是 PM ? PB . 同理 PN ? PC 又 PB ? PC ,所以 PM ? PN ,即 AP 平分线段 MN . 因为 EF

MN ,故直线 AP 平分线段 EF .
1 ? , an ? 2an an?1 ? 3an?1 (n ? N ) . 2

四、 (本题满分 30 分)
已知数列 {an } 满足: a1 ?

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足: bn ? 1 ?
n

1 (n ? N? ) ,且对任意正整数 n(n ? 2) , an

不等式

? n ? log
k ?1

1

3

bk
*

?

m 恒成立,求整数 m 的最大值. 24

若 存 在 al ? 0(l ? N ) , 则 由 an?1 ? 2an?1an ? 3an 知 , al ?1 ? 0 . 依 次 类 推 ,

al ?2 ? 0, al ?2 ? 0, al ?3 ? 0,

, a1 ? 0 ,这与 a1 ?

1 矛盾.故 an ? 0(n ? N* ) 2

于是,由 an ? 2an an?1 ? 3an?1 ,得

1 3 1 1 ? ? 2 ,即 ? 1 ? 3( ? 1) . an?1 an an?1 an
所以 ?

?1 ? ? 1? 是首项为 3、公比为 3 的等比数列. ? an ?
1 1 ? 1=3n ,即 an ? n (n ? N* ) 3 ?1 an

所以

由(1)得 bn ? 1 ?
n

1 ? 3n .从而 log3 bk ? k (k ? 1, 2, ) . an

于是,不等式

? n ? log
k ?1

1

3

bk

?

m 等价于 24

1 1 1 m ? ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? n 24 1 1 1 ? ? ? 令 f ( n) ? 则 n ?1 n ? 2 n?n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 2
所以 f ( n) 单调递增. 所以 f ( n) min ? f (2) ? 于是,

1 1 7 ? ? . 3 4 12

7 m ? ,即 m ? 14 . 12 24 故整数 m 的最大值为 13.

五、 (本题满分 30 分)
对于任意的正整数 n,证明:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? . 2 3 n 3 ? 2 3 ? (?2) 6 3 ? (?2) 3 ? (?2)
证明:记 ak =
n 1 , S = ak . ? n 3k +( ? 2)k k =1
?

先证明:对任意 m ? N ,有 a2 m +a2 m +1 <

4 3
2 m +1

.

事实上, a2 m +a2 m +1 =

1 1 + 2 m +1 2 m +1 2m 3 +2 3 ?2
2m

=

32 m +1 ? 22 m +1 +32 m +22 m (32 m +22 m )(32 m +1 ? 22 m +1 )
4 ? 32 m ? 22 m 34 m +1 +62 m ? 24 m +1
4 ? 32 m 2 34 m +1 +62 m [1 ? 2( ) 2 m ] 3

=

<

因为 1 ? 2(

2 2m 2 2 ) 单调递增,所以1 ? 2( ) 2 m ? 1 ? 2( ) 2 >0 . 3 3 3

故 a2 m +a2 m +1 <

4 ? 32 m 4 = 2 m +1 4 m +1 3 3
?

再证明:对任意 n ? N ,有 S n < 当 n =1 时, S1 =1< 当 n ? 2 时,

7 . 6

7 ,不等式成立. 6

(1) 若 n 为奇数,令 n=2m+1(m ? N? ) ,则

Sn =S2 m +1 =1+? (a2 k +a2 k +1 )
k =1

m

1 [1 ? ( ) m ] 9 <1+? 2 k +1 =1+4 1 3 k =1 1? 9 7 1 1 7 = ? ( )m < 6 6 9 6
m

4

(2) 若 n 为偶数,令 n=2m(m ? N? ) ,则

7 . 6 7 ? 综上所述,对任意 n ? N ,都有 S n < . 6 S n =S 2 m <S 2 m +1 <



更多相关文章:
2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题
2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 年高中数学联赛陕西赛区预赛试题 (5 月 20 日 上午 8:30---11:00) 第一试填空题:(...
2012年全国高中数学联合竞赛陕西省预赛试题 扫描 扫描版含答案
2012年全国高中数学联合竞赛陕西省预赛试题 扫描 扫描版含答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2012年全国高中数学联合竞赛陕西省预赛试题 ...
2016全国高中数学联赛陕西省预赛题及答案(word打印版)
2016全国高中数学联赛陕西省预赛题及答案(word打印版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016全国高中数学联赛陕西省预赛题及答案(word打印版) ...
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 (4 月 21 日...
2016年数学竞赛陕西省预赛试题
2016年数学竞赛陕西省预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016年数学竞赛陕西省预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年...
2013年全国高中数学联赛陕西区预赛试卷
2013年全国高中数学联赛陕西预赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛陕西预赛试卷考生注意: (1)本试卷共有两个大题,15 个小题,全卷满...
2016陕西省数学竞赛预赛试题及其答案
2016陕西省数学竞赛预赛试题及其答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016陕西省高中数学竞赛预赛试题及其答案(word版+图片详解) 2016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛...
2016年陕西省高中数学竞赛试题及参考答案
2016年陕西省高中数学竞赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。word版2016年陕西省高中数学竞赛试题及参考答案 2016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题(4 ...
2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛_数学_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛陕西省预赛 一试一、 填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 ...
2011年全国高中数学联赛陕西赛区预选赛
2011年全国高中数学联赛陕西赛区预选赛_专业资料。2011年全国高中数学联赛 陕西赛区预选赛 碑林区入选名单碑林区西安交大附中 序号 考号 1 0006 2 0007 3 0008 4...
更多相关标签:
世预赛南美赛区积分榜    世界杯预选赛南美赛区    世界杯预选赛欧洲赛区    世预赛南美赛区    世预赛欧洲赛区积分榜    世预赛南美赛区赛程    世预赛南美赛区直播    世预赛欧洲赛区    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图