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河北省石家庄市2016届高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科A卷) Word版含答案


2016 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学(文科)A 卷 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x | ?2,?1,2,3} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 A ? B ? ( A. (?2,3) 2. 若复数 z ? A. ? 1 ? i 3. 已知双曲线 B. (?1,3) C. {2} D. {?1,2,3} ) D. 1 ? i ) )

2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? ( 1? i
B. ? 1 ? i C. 1 ? i

3 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线为 y ? ? x ,则该双曲线的离心率为( 2 4 a 9
B.

A.

3 4

7 4

C.

5 4

D.

5 3

?x ? 1 ? 0 ? 4.设变量 , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最小值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 1 B. 3 C.

)

26 5

D. ? 19

5.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图像如右图所示,则 f ( A. ?

11? ) 的值为( 24

)

6 2

B. ?

3 2

C. ?

2 2

D. ? 1

6.已知函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 0 对称,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? log2 x ,若

1 a ? f (?3) , b ? f ( ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 的大小关系是( 4
-1-

)

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b )

7.程序框图如图,当输入 x 为 2016 时,输出的 y 的值为( A.

1 8

B. 1

C. 2

D. 4

8.为比较甲乙两地某月 11 时的气温情况, 随机选取该月中的 5 天中 11 时的气温数据 (单位: ℃) 制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论: 甲 9 2 1 8 0 2 3 6 1 乙 8 1 9

①甲地该月 11 时的平均气温低于乙地该月 11 时的平均气温 ②甲地该月 11 时的平均气温高于乙地该月 11 时的平均气温 ③甲地该月 11 时的气温的标准差小于乙地该月 11 时的气温的标准差 ④甲地该月 11 时的气温的标准差大于乙地该月 11 时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( A.①③ B.①④ C.②③ )

D.②④ )

9. 如图所示的数阵中,用 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则依此规律 A(8,2) 为( A.

1 45

B.

1 86

C.

1 122

D.

1 167

-2-

10.某几何体的三视图如图所示,图中网格小正方形边长为 1,则该几何体的体积是( A. 4 B.

)

16 3

C.

20 3

D. 12

11.已知 A, B, C 是圆 O 上的不同的三点,线段 CO 与线段 AB 交于 D ,若 OC ? ?OA ? ?OB ( ? ? R, ? ? R ) ,则 ? ? ? 的取值范围是( A. (0,1) B. (1,??)
3 2

) D. (?1,0)

C. (1, 2 ]

12. 若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx(a, b ? R) 的图象与 x 轴相切于一点 A(m,0)(m ? 0) ,且

1 f ( x) 的极大值为 ,则 m 的值为( 2 2 3 2 A. ? B. ? C. 3 2 3

) D.

3 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2 13.已知命题 p : “ ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 ” ,则 ? p 为

.

14.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,点 F1 关于直线 y ? ? x 的对称点 P 仍在椭 2 a

-3-

圆上,则 ?PF 1 F2 的周长为

.

15.已知 ?ABC 中, AC ? 4, BC ? 2 7,?BAC ? 60? , AD ? BC 于 D ,则 为 .

BD 的值 CD

16.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? BC ? 4 , PB ? AC ? 5 , PC ? AB ? 11 ,则三棱锥

P ? ABC 的外接球的表面积为

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18.(本小题满分 12 分) 在平面四边形 ACBD (图①)中, ?ABC 与 ?ABD 均为直角三角形且有公共斜边 AB ,设

AB ? 2 , ?BAD ? 30? , ?BAC ? 45? ,将 ?ABC 沿 AB 折起,构成如图②所示的三棱锥

C '? ABC .
(Ⅰ)当 C ' D ?

2 时,求证:平面 C ' AB ? 平面 DAB ;

(Ⅱ)当 AC ' ? BD 时,求三棱锥 C '? ABD 的高.

-4-

C'
C

A

B

A

B



D



D

19.(本小题满分 12 分) 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时,运动员在 篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计结果绘制如下 频率分布直方图:

(Ⅰ)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数; (Ⅱ)若从该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离为 2 到 5 米的这三组中,用分层 抽样的方法抽取 7 次成绩(单位:米,运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离越远越 好) ,并从抽到的这 7 次成绩中随机抽取 2 次.规定:这 2 次成绩均来自到篮筐中心的水平距 离为 4 到 5 米的这一组,记 1 分,否则记 0 分.求该运动员得 1 分的概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 M (m,2) ,其焦点为 F ,且 | MF |? 2 .
2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点, 过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线 C 和 圆 F : ( x ? 1) ? y ? 1相切,切点分别为 A, B ,求证: A 、 B 、 F 三点共线.
2 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? 3x ? 3a ( e 为自然对数的底数, a ? R ).
x

-5-

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln

3 ex 3 1 ? x ? ? 3a . ,且 x ? 0 时, e x 2 x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,过点 P 分别做圆 O 的切线 PA 、 PB 和割线 PCD ,弦 BE 交 CD 于 F ,满足 P 、

B 、 F 、 A 四点共圆.
(Ⅰ)证明: AE // CD ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 5,且 PC ? CF ? FD ? 3 ,求四边形 PBFA 的外接圆的半径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知曲线 C1 : ? ? 2 cos? 和曲线 C2 : ? cos? ? 3 ,以极点 O 为坐标原点, 极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C1 和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 是曲线 C1 上一动点,过点 P 作线段 OP 的垂线交曲线 C2 于点 Q ,求线段 PQ 长 度的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | ? | x ? 1 | . (Ⅰ)若 f ( x) ?| m ? 1 | 恒成立,求实数 m 的最大值 M ; (Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数 a , b 满足 a ? b ? M ,证明: a ? b ? 2ab .
2 2

-6-

2016 届高三数学一模文科答案 一.选择题: A 卷答案:1-5 CBCBD B 卷答案:1-5 CACAD 6-10 DACCB 6-10 DBCCA 11-12 BD 11-12 AD

二.填空题: 13.. 15.

?x ? R, x ? x2 ? 0
6

14.

2?2 2

16. 26?

三、解答题

所以 {an } 的通项公式为 an ? 5 ? 2(n ? 3) ? 2n ?1 ,????????6 分 (II) bn ? ∴ Tn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ????????8 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ?????10 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ????????12 分 2 2n ? 1 2n ? 1

18. 解: (1)当 C ?D ?

2 时,取 AB 的中点 O ,连 C ?O, DO ,

C'

A

O D

B

在 Rt ?ACB , Rt ?ADB , AB ? 2 ,则 C ?O ? DO ? 1 ,又? C ?D ?

2,

? C ?O2 ? DO2 ? C ?D2 ,即 C ?O ? OD ,????????????????2 分
-7-

又 ? C ?O ? AB , AB ? OD ? O , AB, OD ? 平 面 ABD , ? C ?O ? 平 面

ABD ,????????4 分
又? C ?O ? 平面 ABC ?

? 平面 C ?AB ? 平面 DAB .

????????5 分

(2)当 AC ? ? BD 时,由已知 AC ? ? BC ? ,∴ AC ? ? 平面 BDC ? ,???????7 分 又? C ?D ? 平面 BDC ? ,∴ AC ? ? C ?D ,△ AC ?D 为直角三角形, 由勾股定理, C?D ?

AD2 ? AC2 ? 3 ? 2 ? 1 ????????9 分
2,
1 1 ? 1? 1 ? ????????10 分 2 2

而△ BDC ? 中,BD=1, BC ? ?

∴△ BDC ? 为直角三角形, S? BDC ? ? 三棱锥 C ? ? ABD 的体积 V ?

1 1 1 2 . ? S? BDC? ? AC ? ? ? ? 2 ? 3 3 2 6

1 3 2 1 3 ,设三棱锥 C ? ? ABD 的高为 h,则由 ? h ? S? ABD ? ?1? 3 ? ? 2 2 3 2 6
解得 h ?

6 .????????12 分 3

19.解: (I) 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为 x, ∵ 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 0.20 ? 0.5 ,且 (0.40 ? 0.20) ? 1 ? 0.6 ? 0.5 , ∴ x ? [4,5] 由 0.40 ? (5 ? x) ? 0.20 ? 1 ? 0.5 ,解得 x = 4.25 ∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是 4.25 (米) . ???????4 分 ???????2 分

(II)由题意知,抽到的 7 次成绩中,有 1 次来自到篮筐的水平距离为 2 到 3 米的这一组, 记作 A1;有 2 次来自到篮筐的水平距离为 3 到 4 米的这一组,记作 B1,B2;有 4 次来自到篮筐 的水平距离为 4 到 5 米的这一组,记作 C1,C2,C3,C4 . 从 7 次成绩中随机抽取 2 次的所有可能抽法如下: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A1,C2) , (A1,C3) , (A1,C4) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B1,C2) ,

-8-

(B1,C3) , (B1,C4) , (B2,C1) , (B2,C2) , (B2,C3) , (B2,C4) , (C1,C2) , (C1,C3) , (C1,C4) , (C2,C3) , (C2,C4) , (C3,C4)共 21 个基本事件. ??? 7 分

其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为 4 到 5 米的这一组的基本事件有 6 个. ???? 10 分 所以该运动员得 1 分的概率 P=

6 2 ? . 21 7 p , 2

????????? 12 分

20.解: (I)抛物线 C 的准线方程为: x ? ?

?| MF |? m ?

p p ? 2 ,又? 4 ? 2 pm ,即 4 ? 2 p (2 ? ) ?????2 分 2 2

? p2 ? 4 p ? 4 ? 0,? p ? 2
抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . ?????4 分

(II)设 E (0, t )(t ? 0) ,已知切线不为 y 轴,设 EA : y ? kx ? t 联立 ?

? y ? kx ? t ? y ? 4x
2

,消去 y ,可得 k 2 x2 ? (2kt ? 4) x ? t 2 ? 0

? 直线 EA 与抛物线 C 相切,?? ? (2kt ? 4)2 ? 4k 2t 2 ? 0 ,即 kt ? 1
代入

1 2 x ? 2 x ? t 2 ? 0 ,? x ? t 2 ,即 A(t 2 , 2t ) 2 t

????????6 分

设切点 B( x0 , y0 ) ,则由几何性质可以判断点 O, B 关于直线 EF : y ? ?tx ? t 对称,则

? y0 t ? 0 ? 2t 2 ? ? ? 1 x ? ? ? 2t 2 2t ? 0 t2 ?1 ? x0 0 ? 1 B ( , 2 ) ????????8 分 ,解得: ,即 ? ? 2 t ?1 t ?1 ? y ? 2t ? y0 ? ?t ? x0 ? t 0 ? ? t2 ?1 ? ?2 2
2t (t ? ?1) , t ?1
2

直线 AF 的斜率为 k AF ?

直线 BF 的斜率为 k BF

2t ?0 2t 1 ?t ? ? 2 (t ? ?1) , 2 2t t ?1 ?1 t2 ?1
2

?k AF ? kBF ,即 A, B, F 三点共线. ??????????????10 分

-9-

当 t ? ?1 时, A(1, ?2), B(1, ?1) ,此时 A, B, F 共线. 综上: A, B, F 三点共线.
x

??????????????12 分
x

21. (I)解 由 f(x)=e -3x+3a,x∈R 知 f′(x)=e -3,x∈R. ?????????1 分 令 f′(x)=0,得 x=ln 3, 于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表. ????????????2 分

x f′(x) f(x)

(-∞,ln 3) -

ln 3 0 3(1-ln 3+a)

(ln 3,+∞) +

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 3], 单调递增区间是[ln3,+∞),????????????5 分

f(x)在 x=ln 3 处取得极小值,极小值为 f(ln 3)=eln3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).???
6分 (II)证明:待证不等式等价于 e ?
x

3 2 x ? 3ax ? 1 ????????????7 分 2

设 g ( x) ? e ?
x

3 2 x ? 3ax ? 1,x∈R, 2

于是 g ?( x) ? e x ? 3x ? 3a ,x∈R. 由(I)及 a ? ln 分 于是对任意 x∈R,都有 g ?( x ) >0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a ? ln

3 ? ln 3 ? 1 知: g ?( x) 的最小值为 g′(ln 3)=3(1-ln 3+a)>0. ???9 e

3 ? ln 3 ? 1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). ??????10 分 e

而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0.
x 即e ?

3 2 ex 3 1 x ? 3ax ? 1 ,故 ? x ? ? 3a 2 x 2 x

????????12 分

22.解: (I)连接 AB,

? P、B、F、A 四点共圆,
??PAB ? ?PFB .
????????????2 分

又? PA 与圆 O 切于点 A, ??PAB ? ?AEB , ????????????4 分

??PFB ? ?AEB
- 10 -

? AE // CD .

????????????5 分

(II)因为 PA、PB 是圆 O 的切线,所以 P、B、O、A 四点共圆, 由 ?PAB 外接圆的唯一性可得 P、B、F、A、O 共圆, 四边形 PBFA 的外接圆就是四边形 PBOA 的外接圆,

? OP 是该外接圆的直径.
2

????????????7 分

由切割线定理可得 PA ? PC ? PD ? 3 ? 9 ? 27 ????????????9 分

?OP ? PA2 ? OA2 ? 27 ? 25 ? 2 13 .
? 四边形 PBFA 的外接圆的半径为 13 .
2

????????????10 分 ????????????2 分

2 23 解: (I) C1 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,

C2 的直角坐标方程为 x ? 3 ;????????????4 分
(II)设曲线 C1 与 x 轴异于原点的交点为 A,

? PQ ? OP ,? PQ 过点 A (2, 0) ,
设直线 PQ 的参数方程为 ?
2

? x ? 2 ? t cos ? ?t为参数? , ? y ? t sin ?

代入 C1 可得 t ? 2t cos ? ? 0, 解得 t1 ? 0或t2 ? ?2cos? , 可知 | AP |?| t2 |?| 2cos ? | 代入 C2 可得 2 ? t cos ? ? 3, 解得 t ?
/

????????????6 分

1 , cos ?
????????????8 分

可知 | AQ |?| t |?|
/

1 | cos ?

所以 PQ= | AP | ? | AQ |?| 2 cos ? | ? | 所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 .

1 1 | 时取等号, |? 2 2, 当且仅当 | 2 cos ? |?| cos ? cos ?
????????????10 分

- 11 -

?1 ? 2 x, x ? 0 ? 0 ? x ? 1, 24.解: (1)由已知可得 f ( x) ? ?1, ?2 x ? 1, x ? 1 ?
所以 f min ( x) ? 1 , 所以只需 | m ? 1|? 1 ,解得 ?1 ? m ? 1 ? 1 , ????????????3 分

?0 ? m ? 2 ,
所以实数 m 的最大值 M ? 2 . (2)法一:综合法 ????????????5 分

? a 2 ? b2 ? 2ab
? ab ? 1

? ab ? 1 ,当且仅当 a ? b 时取等号,①
又? ab ?

????????????7 分

a?b 2

?

ab 1 ? a?b 2 ab ab ? ,当且仅当 a ? b 时取等号,② a?b 2
ab 1 ? ,所以 a ? b ? 2ab a?b 2
????????????9 分

?

由①②得,?

????????????10 分

法二:分析法因为 a ? 0, b ? 0 , 所以要证 a ? b ? 2ab ,只需证 (a ? b) ? 4a b ,
2 2 2

即证 a ? b ? 2ab ? 4a b ,
2 2 2 2

? a 2 ? b2 ? M ,所以只要证 2 ? 2ab ? 4a 2b2 ,????????????7 分
- 12 -

即证 2(ab)2 ? ab ?1 ? 0 , 即证 (2ab ? 1)(ab ? 1) ? 0 ,因为 2ab ? 1 ? 0 ,所以只需证 ab ? 1 , 下证 ab ? 1 , 因为 2 ? a ? b ? 2ab ,所以 ab ? 1 成立,
2 2

所以 a ? b ? 2ab

????????????10 分

- 13 -


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