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第4课 分式



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 杭州T4,3分 湖州T17,6分 台州T18,8分 衢州T18,6分 金华T2,3分 丽水T4,3分 绍兴、义乌T6,4分 2014年

1. 分式的意义 2.分式的基本 性质 3.分式的运算

温州T5,4分 台州T6,4分 衢州T11,4分 丽水T4,3分 嘉兴、舟山

T18,6分

杭州T7,3分 温州T4,4分 台州T16,5分 衢州、丽水T11,4分 金华、义乌T5,3分

考点一 分式的意义
考点清单
A 1.形如B(B≠0,B 中含字母,A,B 为整式)的代数式叫作 分式. A A 2.当 B≠0 时,分式B有意义;当 B=0 时,分式B无意义; A 当 A=0 且 B≠0 时,分式B的值为 0.

要点点拨
分式的值为 0,需要满足两个条件:①分子为 0;② 分母不为 0.两者必须同时具备.

若一个代数式是分式, 说明其具备一个隐含条 件——分式的分母不为 0, 这是解分式相关问题的突破口, 也是最容易忽视的地方.

特别关注

x2-1 【典例 1】 (2015 · 湖南常德)若分式 的值为 0,则 x x+ 1 =____.
【点评】 本题主要考查分式值为 0 的条件,注意分式有 意义时“分母不为 0”这个隐含条件是解题的关键.
【解析】 ∴x=1.
?x2-1=0, ∵原分式的值为 0,∴? ?x+1≠0,

【答案】 1

考点二 分式的基本性质
考点清单
1.分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整 A A× M A A÷ M 式,分式的值不变,即B= , = (其中 M 是 B× M B B÷ M 不等于零的整式). 2.通分:把几个分母不同的分式化成分母相同的分式, 叫作通分. 3.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,叫作 分式的约分, 约分要约去分子、 分母所有的公因式. 分 子、分母没有公因式的分式叫作最简分式.

要点点拨
分式的基本性质是约分和通分的依据, 而约分和通分 又是分式运算的基础. 利用分式的基本性质可以对分式进 行化简或变形.
特别关注 通分时,一般取各分母的系数的最小公倍数

与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母; 约分的关键 是找出分子与分母的最大公因式.

x2-y2 【典例 2】 (2016· 浙江台州)化简 的结果是( (y-x)2 x+ y x+ y A. -1 B. 1 C. D. y-x x- y

)

【点评】 本题主要考查分式的约分,掌握分式的基本性 质,对分子、分母正确分解因式是解题的关键. (x+y)(x-y) x+y 【解析】 原式= = . (x-y)2 x- y 【答案】 D

【典例 3】 (2016· 山东滨州)下列分式中,属于最简分式 的是 ( ) x2-1 x+ 1 A. 2 B. 2 x +1 x -1 x2-2xy+y2 x2-36 C. D. 2 x -xy 2x+12

【点评】 本题主要考查最简分式的识别,掌握最简分式 的概念是解题的关键.

【解析】

A.原式为最简分式,符合题意. x+ 1 1 B.原式= = ,不符合题意. (x+1)(x-1) x-1 (x-y)2 x-y C.原式= = x ,不符合题意. x(x-y) (x+6)(x-6) x-6 D.原式= = ,不符合题意. 2 2(x+6) 故选 A. 【答案】 A

考点三 分式的运算
考点清单
1.符号法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其中 a a 任何两个, 分式的值不变. 用式子表示为: b=--b= -a -a a a -a =- b ,-b= = b . -b -b 2.分式的加减法: (1)同分母分式的加减法法则:分式的分母不变,把分 a b a± b 子相加减,即 c± c= c .

(2)异分母分式的加减法法则:利用分式的基本性质把 b d 异分母分式化为同分母分式, 然后再相加减, 即 a± c bc± ad = ac . a c ac a c a d ad 3.分式的乘除:b· d=bd;b÷ d=b· c=bc .
n ?a?n a ? 4.分式的乘方:? ? ? = n(n b ?b?

为正整数).

要点点拨
1.利用分式的符号法则可以帮助我们将分母互为相反数 的分式转化为同分母分式. 2.分式的运算与整式的运算顺序相同,在计算过程中要 特别注意系数、指数和符号等问题. 3.分式运算中的常用技巧:分式运算题型较多,解题方 法不唯一. 若能根据特点灵活求解, 将会事半功倍. 主 要有以下技巧:分步通分;重新排序;分组通分;先 “分”后“通” ;整体通分;化积为差,裂项相消. 4.分式求值中的常用技巧:分式求值题可根据所给条件 和求值式的特征进行适当的变形、转化.主要有以下 技巧:①整体代入法;②参数法;③平方法;④一般 代入法;⑤倒数法.注意:对于分式求值问题,通常 先化简,再求值.

特别关注

分式化简后求值时,要考虑使整个算式及分

式有意义, 要去除分母为 0 或除式为 0 的情况, 防止错代.

【典例 4】 ____.

? a2 9 ? ? ? a+ 3 (2016· 四川内江)化简:?a-3+3-a?÷ a = ? ?

【点评】 本题主要考查分式的混合运算,将小括号内的 式子变形成同分母分式是解题的关键.

【解析】

2 ? a2 ? a+ 3 9 a - 9 a+ 3 ? ? 原式=?a-3-a-3?÷ a = ÷ a a - 3 ? ?

a =(a+3)· =a. a+ 3

【答案】

a

【典例 5】

先化简,再求值: a2-3a a-3 a+1 (1)(2016· 湖北黄石) 2 ÷ 2 · ,其中 a=2016. a + a a - 1 a- 1 ? 1 1 ? x2 1 ? ? (2)(2016· 湖南益阳)?x+1-1-x?÷ 2,其中 x=- . 2 ? ? 1- x

【点评】 本题主要考查分式的化简与求值,熟练掌握运 算法则是解题的关键. a(a-3) (a+1)(a-1) a+1 【解析】 (1)原式= · · a(a+1) a- 3 a- 1 =a+1.当 a=2016 时,原式=2017. 1-x-(1+x) 1-x2 -2x 2 (2)原式= · 2 = 2 =-x. 2 x x 1- x 1 当 x=- 时,原式=4. 2

分式在中考中经常会考到, 单独考分式的性质和分式 的加减一般不难,但“分式的分母不能为 0”是极容易忽略 和出错的地方,在解题时一定要特别注意.另外,特殊分 式的化简可以考虑用倒数法, 还可以考虑运用整体思想对 某些分式进行求值.

a 2- 4 a2-4a+4 【例 1】 (2016· 山东泰安)化简 2 ÷ - a +2a+1 (a+1)2 2 的结果为 ( ) a- 2 a+ 2 a- 4 a A. B. C. D. a a- 2 a- 2 a- 2

(a+2)(a-2) (a+1)2 2 【解析】 原式= · - (a+1)2 (a-2)2 a-2 a+ 2 2 a = - = . a- 2 a- 2 a- 2

【答案】 C

xy 【例 2】 (2016· 江西模拟)已知三个数 x, y, z 满足 = x+ y yz 4 zx 4 xyz - 2, = , =- ,则 的值为____. 3 3 y+z z+ x xy+yz+zx
提 示

运用倒数法和列项求和.

xy yz 4 zx 4 【解析】 ∵ =-2, = , =- , 3 x+ y y+z 3 z+x x+ y 1 y+z 3 z+x 3 ∴ xy =- , yz = , zx =- , 2 4 4 1 1 1 1 1 3 1 1 3 ∴x+ y =- ,y + z = , z +x=- ,三式相加,得 2 4 4 ?1 1 1? 1 3 3 1 1 1 1 1 ? ? 2?x+ y+ z ?=- + - =- ,即x+ y + z =- , 2 4 4 2 4 ? ? xy+yz+zx 1 1 1 1 xyz ∴ = z +x+y =- ,∴ =-4. xyz 4 xy+yz+zx

【答案】 -4

? 2 ? 1 x 2+ x ? - x? 【例 3】 (2016· 四川巴中)先化简: 2 ÷ , ? x -2x+1 ?x-1 ? ? 然后从-2<x≤2 的范围内选取一个合适的 x 的整数 值代入求值. x(x+1) 2x-(x-1) 【解析】 原式= 2÷ (x-1) x(x-1) x(x+1) x(x-1) x2 = = . 2· (x-1) x+ 1 x- 1 ?x2-2x+1≠0, ? ∵?x(x-1)≠0,∴x≠-1,0,1. ? ?x+1≠0, 又∵-2<x≤2,且 x 为整数,∴x=2. 22 当 x=2 时,原式= =4. 2- 1

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