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1.1 命题与四种命题



选修2-1

第一章 常用逻辑用语
阅读章头语,思考并回答下列问题:
1、为什么要学习逻辑用语?

2、本章我们要学习哪些关于逻辑的内容?

选修2-1

第一章 常用逻辑用语

1. 1 命题及其关系

新 课
阅读教材P2-

3,思考并回答下列问题:
1、什么是命题、真命题、假命题?判断一个 语句是不是命题的依据有几条,分别是什么?

判断依据:(1)是陈述句;(2)可以判断真假.
2、为什么要把命题写成“若p,则q”的形式。

更清楚条件和结论.
3、看例3前先不要看答案,你能做对吗? 4、完成P4练习,并在组内对答案。

例 题 例题:判断下列语句是否为命题,若是,判断其真 假,并说明理由。 1、矩形是平行四边形; 2、一个数不是合数就是质数; 3、x∈{1,2,3,4,5} ; 4、垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? 5、若x+y是有理数,则x、y也都是有理数; 6、好大一颗树啊! 7、向老师致敬! 8、x>15.

疑问句、祈使句、感叹句都不是命题

1.2 四种命题

四种命题

观察下面四个命题:它们的条件和结论之间分别有什 么关系?
1、若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 2、若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 3、若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;

4、若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;

思考:命题2、3、4中的条件和结论与命题1 中的条件和结论有什么关系?

四种命题

原命题:若p,则q 逆命题: 若 q ,则p 条件 ? 结论 结论 ? 条件
原命题
互逆命题

逆命题

否命题:若?p,则? q 原命题 条件 ?结论 条件的否定 ? 结论的否定 逆否命题: 若? q ,则? p
条件 ?结论 原命题 结论的否定 ? 条件的否定

互否命题

否命题

互为逆否命题

逆否命题

四种命题间的相互关系

四种命题的关系

观察下面四个命题: 1、原命题:若p,则q 1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 2 、逆命题:若 q ,则 p 2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 3)若 f(x)不是正弦函数,则 3、否命题:若 ?p,则? f(x) q 不是周期函数; 4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数; 4 、逆否命题:若 ? q ,则 ? p 你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗? 互为逆否命题 (1)--(2) 互为逆命题 (2)--(3)
(1)--(3) 互为否命题 (2)--(4)互为否命题 (1)--(4)互为逆否命题 (3)--(4) 互为逆命题

四种命题的关系

一般地,四种命题的相互关系如下:
若p,则q

原命题



为 为



逆 逆 否

若q, 则p

逆命题 互 否 逆否命题
若┐q,则┐p

互 否 否命题
若┐p,则┐q







P8 习题1.1 第1、3题

四种命题 练习:写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命 题,并判断它们的真假. 1.若x>10,则x>0 2.若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个 角相等; 3.末位数字是0的整数能被5整除; 4.奇函数的图象关于原点对称; 5.两个奇数之和一定是偶数; 6.若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。

四种命题的真假

探究:1.原命题: (1)“若x2-3x+2=0,则x=2”, (2)“若a=0,则ab=0” 写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断这些命题的真假. 2.再分析其它一些命题(如P6的练习),你 能发现四种命题的真假性间有什么规律吗?

四种命题的真假 一般地,一个命题的真假与其他三个命题真假有 如下三种关系

1、原命题为真,它的逆命题不一定为真
如:原命题“若a=0 ,则ab=0”是真命题,它的 逆命题“若 ab =0 ,则a =0”是假命题。

2、原命题为真,它的否命题不一定为真
如:原命题“若a=0 ,则ab=0”是真命题,它的 逆命题“若 a ≠ 0 ,则ab≠0 ”是假命题。

3、原命题为真,它的逆否命题一定为真
如:原命题“若a=0 ,则ab=0”是真命题,它的 逆命题“若 ab ≠ 0 ,则a ≠ 0”是真命题。

四种命题的关系

结论:
(1)两个命题是互为逆否命题,它们有相 同的真假性;(等价)
(2)两个命题为互逆命题、互否命题,它 们的真假性没有关系。





小结

我们这节课学习了什么内容,你能归 纳一下吗?

1.可以判断真假的陈述句叫做命题; ?命题有真有假。 ?疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 ?“若p,则q”形式的命题,条件是p,结论是q.
2.四种命题: 逆命题:若 q ,则p

原命题:若p,则q

否命题:若?p,则? q
逆否命题:若? q ,则? p

3.四种命题之间的关系

作业:
1、课本P8 习题1.1 第2题 2、《世纪金榜》完成至P4、P87

复习: 1、命题“正方形四个角相等”的逆否命题是 __________________. 2、命题:若m≤0或n≤0,则m+n≤0。写出其 逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的 真假。 3、若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不 同的平面,则下列命题中的真命题是( ) ? ,则m α ? A.若m ?β, α β B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m//n,则α//β C.若m ? β,m//α,则α β? ? D.若α ?γ,α β,则 β ?γ

反 证 法

例1.证明:若x2+y2=0,则x=y=0 分析:可以考虑证明这个命题的逆否命题成立 逆否命题为:“若x、y中至少有一个不为0, 则x2+y2?0” 练习一:课本P8练习、习题1.1第4题 注:反证法不只是单纯以证明原命题的逆否 命题,例1只是反证法的一种情形.

用反证法的一般步骤:

反 证 法

1.假设命题的结论不成立,即假设结论的反面 成立; 2.从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾

3.由矛盾断定假设不正确,从而肯定命题的结 论正确.
1)与题设矛盾 2)与假设矛盾 3)与定义/公理/定理/公式矛盾 4)自相矛盾

反 证 法

例2 用反证法证明:圆的两条 不是直径的 相交弦不能互相平分.
已知:如图,在⊙O中,弦 AB、CD交于P,且AB、CD 不是直径.

A
C

O
P

求证:弦AB、CD不都被P平分.

D B

分析;假设弦AB、CD被P平分,连 接OP后,可以推出AB、CD都与OP 垂直,则出现矛盾.

反 证 法

例2 用反证法证明:圆的两条 不是直径的 相交弦不能互相平分. 证明: 假设弦AB、CD被P平分,由于P点一 定不是圆心O,连接OP,根据垂径定理的推 论,有 OP⊥AB,OP⊥CD, 即过点P有两条直线与OP都 垂直,这与垂线性质矛盾. 所以,弦AB、CD不被P平分.

A
C

O
P

D B

例 3:
2

若a、b、c均为实数,且

c ? z ? 2x ?

? ? 2 a ? x ? 2 y ? , b ? y ? 2z ? 2 3 ? 2
6
求证:a、b、c中至少有一个大于0.

一般以下几种情况适宜用反证法:
(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题;

(2)结论是以“至多…”或“至少…”形式出 现的一类命题;
(3)关于唯一性、存在性的问题; (4)结论的反面是比原始结论更具体、更容 易证明的命题。

练习:
1、证明:钝角三角形最大边上的中线小于 该边长的一半。 2、证明:已知函数f(x)是上(-∞,+∞)的增 函数,a,b∈R.若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0.

思考:
a、b、c为三个人,命题A:“如果b的 年龄不是最大,那么a的年龄最小”和命题: “如果c的年龄不是最小,那么a的年龄最大” 都是真命题,则a、b、c的年龄的大小顺序 是否能确定?请说明理由。

小 结

小结:
1、四种命题的关系;

2、四种命题的真假性判断;
3、反证法、反证法的步骤;

作业:
1、课本 P8习题1.1 B组题 2、《世纪金榜》完成至P7、P88

作业: P9 习题1.1A组第2、3题



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