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高中数学选修2-1新教学案:第二章圆锥曲线与方程检测题



第二章
一、选择题
1.曲线

圆锥曲线与方程检测题(学案)

x2 y2 x2 y2 ? ? 与曲线 ?0 ? k ? 9? 具有( 25 9 25 ? k 9 ? k
(B)相等的焦距 (D)相同的焦点

).

(A)相等的长、短轴 (C)相等的离心率
<

br />2.若 k 可以取任意实数,则方程 x 2 ? ky 2 ? 1 所表示的曲线不可能是( (A)直线 (B)圆 (C)椭圆或双曲线 (D)抛物线 ).

).

3.如果抛物线 y 2 ? ax 的准线是直线 x ? ?1 那么它的焦点坐标为( (A) ?1,0? (B)

?2,0?

(C) ?3,0?

(D) ?? 1,0? ).

4.平面内过点 A?? 2,0? 且与直线 x ? 2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( (A) y 2 ? ?2 x (B) y 2 ? ?4 x (C) y 2 ? ?8x (D) y 2 ? ?16x

5.双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1 , F2 , ?F1 MF2 ? 1200 ,则双曲线的离心率 为( (A) 3 ). (B)

6 2

(C)

6 3

(D) 2

6.直线 y ? kx ? 1 与椭圆 (A) m ? 1 (C) 0 ? m ? 5且m ? 1 7.过点 P?2,?2? 且与

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
(B) m ? 1或0 ? m ? 1 (D) m ? 1且m ? 5 ).

).

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2

(A)

y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 2 4 4 2 4 2 2 4
2

8、抛物线 y ? (A) ?1,0?

1 x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是( 4
(B) ?

).

?1 ? ,0 ? ? 16 ?

(C) ?0,0?

(D) ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

9. 设 椭 圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 的 离 心 率 为 e ? , 右 焦 点 为 F ?c,0? , 方 程 2 2 a b

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x 2 ,则点 P?x1 , x2 ? (
(A)必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 上 (C)必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 外

).

(B)必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 内 (D)以上三种情形都有可能

11.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? 0, m ? b ? 0? 的离心率互为 m b a2 b

倒数,那么以 a, b, m 为边长的三角形是( ). (A)锐角三角形 (C)钝角三角形 (B)直角三角形 (D)等腰三角形

12. 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 , 交 抛 物 线 于 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 6 那么 AB ? (
(A) 8 (B) 10

). (C) 6 (D) 4

二、填空题
x2 y2 ? ? 1 内 一 点 ?2,1? 的 弦 被 该 点 平 分 , 则 该 弦 所 在 直 线 的 方 程 13. 若 过 椭 圆 16 4
是 .

14.过双 曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦 点且垂直 于 x 轴的直线 与双曲线相 交于 a2 b2
.

M , N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率 e 等于

x2 y2 ? ? 1 上的点,F1 , F2 是椭圆的两个焦点,则 cos?F1 PF2 的最小值是 15.设 P 是椭圆 4 3
. 16.以曲线 y ? 8x 上任意一点为圆心作圆与直线 x ? 2 ? 0 相切,则这些圆比过顶点,则这
2

一定点的坐标是

.

三、解答题
17.已知点 A ? 3,0 和 B ? 3,0 ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2 ,点 C 的 轨迹与直线 y ? x ? 2 交于 D, E 两点,求线段 DE 的长.

?

? ?

?

x2 y2 18.已知点 P?3,4? 是椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 a b

PF1 ? PF2 ? 0 ,求椭圆的方程.

19.已知双曲线 C : 2x 2 ? y 2 ? 2 与点 P?1,2? , 求过点 P?1,2? 的直线 l 的斜率的取值范围, 使

l与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点.

20. P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上且位于第一象限的点,F 是椭圆的右焦点,O 是椭 a2 b2

圆中心, B 是椭圆的上顶点, H 是直线 x ? ?

a2 ( c 为椭圆的半焦距)与 x 轴的交点,若 c

PF ? 0 F , HB ∥ OP ,试求椭圆的离心率 e .

21.抛物线 y ? ?

x2 与过点 M ?0,?1? 的直线 l 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,若直线 2

OA和OB 的斜率之和为 1 ,求直线 l 的方程.

22.已知椭圆

20 x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,若圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 与椭 2 3 2 a b

圆相交于 A, B 两点且线段 AB 恰为圆的直径,求椭圆方程.

第二章
一、选择题
1.曲线

圆锥曲线与方程检测题(教案)

x2 y2 x2 y2 ? ? 与曲线 ?0 ? k ? 9? 具有( 25 9 25 ? k 9 ? k
(B)相等的焦距 (D)相同的焦点

B)

(A)相等的长、短轴 (C)相等的离心率

2.若 k 可以取任意实数,则方程 x 2 ? ky 2 ? 1 所表示的曲线不可能是( (A)直线 (B)圆 (C)椭圆或双曲线 (D)抛物线

D

).

3.如果抛物线 y 2 ? ax 的准线是直线 x ? ?1 那么它的焦点坐标为( A (A) ?1,0? (B)

).

?2,0?

(C) ?3,0?

(D) ?? 1,0? ).

4.平面内过点 A?? 2,0? 且与直线 x ? 2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( C (A) y 2 ? ?2 x (B) y 2 ? ?4 x (C) y 2 ? ?8x (D) y 2 ? ?16x

5.双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1 , F2 , ?F1 MF2 ? 1200 ,则双曲线的离心率 为( B (A) 3 ). (B)

6 2

(C)

6 3

(D) 2

6.直线 y ? kx ? 1 与椭圆 (A) m ? 1 (C) 0 ? m ? 5且m ? 1 7.过点 P?2,?2? 且与

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的取值范围是( D 5 m
(B) m ? 1或0 ? m ? 1 (D) m ? 1且m ? 5

).

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是( A ). 2

(A)

y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 2 4 4 2 4 2 2 4
2

8、抛物线 y ? (A) ?1,0?

1 x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是( D 4
(B) ?

).

?1 ? ,0 ? ? 16 ?

(C) ?0,0?

(D) ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

9. 设 椭 圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 的 离 心 率 为 e ? , 右 焦 点 为 F ?c,0? , 方 程 2 2 a b

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x 2 ,则点 P?x1 , x2 ? ( B ).
(A)必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 上 (C)必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 外 (B)必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 内 (D)以上三种情形都有可能

11.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? 0, m ? b ? 0? 的离心率互为 m b a2 b
).

倒数,那么以 a, b, m 为边长的三角形是( B (A)锐角三角形 (C)钝角三角形 (B)直角三角形 (D)等腰三角形

12. 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 , 交 抛 物 线 于 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 6 那么 AB ? ( A
(A) 8 (B) 10

). (C) 6 (D) 4

二、填空题
x2 y2 ? ? 1 内 一 点 ?2,1? 的 弦 被 该 点 平 分 , 则 该 弦 所 在 直 线 的 方 程 是 13. 若 过 椭 圆 16 4
x ? 2y ? 4 ? 0
.

14.过双 曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦 点且垂直 于 x 轴的直线 与双曲线相 交于 a2 b2
2
.

M , N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率 e 等于
15.设 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点,F1 , F2 是椭圆的两个焦点,则 cos?F1 PF2 的最小值是 4 3
.

1 2
2

16.以曲线 y ? 8x 上任意一点为圆心作圆与直线 x ? 2 ? 0 相切,则这些圆比过顶点,则这 一定点的坐标是

?2,0?

.

三、解答题
17.已知点 A ? 3,0 和 B ? 3,0 ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2 ,点 C 的 轨迹与直线 y ? x ? 2 交于 D, E 两点,求线段 DE 的长.

?

? ?

?

【审题要津】利用弦长公式来计算弦长. 解: 设点 C ? x, y ? 则 CA ? CB ? ?2 根据双曲线定义, 可知 C 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲 线且 a ? 1, c ?

3 ,所以所求点的轨迹是 x 2 ?

y2 ? 1, 2

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 由? ,得 x ? 4 x ? 6 ? 0 , 2 ?y ? x ? 2 ?

? ? ? 42 ? 4 ? 6 ? 0 ? 直线与双曲线有两个交点,设 D?x1 , y1 ?, E?x2 , y 2 ? ,则
x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?6
故 DE ? 1 ? 1
2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

? 2?

?? 4?2 ? 4 ? ?? 6? ? 4

5

【方法总结】直线与圆锥曲线交点问题及弦长问题,要先判断交点的个数问题,特别注意最 高次的系数时候含有参数 18.已知点 P?3,4? 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 a2 b2

PF1 ? PF2 ? 0 ,求椭圆的方程;
【审题要津】基本量的计算.注意 a, b, c 之间的关系. 解:? PF ? PF2 ? 0 , 1

? ?PF1 F2 是直角三角形,
? op ? 1 F1 F2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5 , 2

? c ? 5,

? 椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1, a 2 a ? 25

又 P?3,4? 在椭圆上,

?a 2 ? 45 或 a 2 ? 5 (舍) ,

? 所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 45 20

【方法总结】基本量的计算需要注意 a, b, c 之间满足的关系. 19.已知双曲线 C : 2x 2 ? y 2 ? 2 与点 P?1,2? , 求过点 P?1,2? 的直线 l 的斜率的取值范围, 使

l与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点.
【审题要津】考察直线与圆锥曲线的位置关系时转化成方程组的解的个数问题. 解:⑴当 l 垂直于 x 轴时,此直线与双曲线相切,有一个交点. ⑵当 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 为 y ? 2 ? k ?x ? 1? 带入双曲线方程中,有

?2 ? k ?x
2
2

2

? 2 k 2 ? 2k x ? k 2 ? 4k ? 6 ? 0 ,

?

?

当 k ? 2 时,即 k ? ? 2 时,有一解. 当 k ? 2 时, ? ? 4 k 2 ? 2k
2

?

?

2

? 4 2 ? k 2 ? k 2 ? 4k ? 6 ? 48 ? 32k ,

?

??

?

令 ? ? 0 ,可得 k ?

3 . 2 3 . 2 3 . 2

令 ? ? 0, 即48 ? 32 k ? 0, 此时 k ?

令 ? ? 0 ,即 48 ? 32 k ? 0 ,此时 k ?

? 当 k ? ? 2 , 或k ?

3 , 或k 不存在时,直线与双曲线只有一个公共点; 2 3 当 k ? ? 2 , 或 ? 2 ? k ? 2 , 或 2 ? k ? 时,直线与双曲线有两个交点; 2 3 当 k ? 时,直线与双曲线没有交点. 2

【方法总结】处理直线与圆锥曲线的位置关系时,常用联立消元法得到一元二次方程,讨论 其解的个数,并应注意斜率不存在的情况. 20. P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上且位于第一象限的点,F 是椭圆的右焦点,O 是椭 a2 b2

圆中心, B 是椭圆的上顶点, H 是直线 x ? ?

a2 ( c 为椭圆的半焦距)与 x 轴的交点,若 c

PF ? 0 F , HB ∥ OP ,试求椭圆的离心率 e .
【审题要津】先确定点 H , B, P 的坐标,由 HB ∥ OP ,得斜率 k HB ? k 0 P ,建立 a, b, c 的关 系,进而求出 e . 解:依题意,知 H ? ? ?

? a2 ? ,0 ?, F ?c,0? ,又由题意得 B?0, b?, x P ? c ,代人椭圆方程结合题 ? ? c ?

意解得 y P ?

b2 . a

? HB ∥ OP ,? k HB ? k0 P ,
b2 b?0 ? a , 得ab ? c 2 , 故 2 c a 0? c

?e2 ?

a2 ? c2 ? e ?2 ? 1 , 2 c

即 e 4 ? e 2 ? 1 ? 0, 又0 ? e ? 1, 解得 e ?

5 ?1 . 2

【方法总结】求椭圆离心率的常见思路:一是先求 a, c ,再计算 e ;二是依据条件的信息, 结合有关的知识和 a, b, c, e 的关系式,构造 e 的一元方程再求解. 21.抛物线 y ? ?

x2 与过点 M ?0,?1? 的直线 l 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,若直线 2

OA和OB 的斜率之和为 1 ,求直线 l 的方程.
【审题要津】直线和圆锥曲线交点的问题,通常采用韦达定理. 解:设直线方程为 y ? kx ? 1

? y ? kx ? 1 ? 2 由? x 2 ,联立得: x ? 2kx ? 2 ? 0 , ?y ? ? 2 ?

? ? ? (2k ) 2 ? 4 ? ?? 2? ? 2k 2 ? 8 ? 0
? x1 ? x2 ? ?2k , x1 x2 ? ?2 ,
又1 ?

y1 y 2 kx1 ? 1 kx2 x ? x2 ? ? ? ? 2k ? 1 ? 2k ? k ? k x1 x 2 x1 x2 x1 x2

? 所求直线方程为 y ? x ? 1 .
【方法总结】直线和圆锥曲线联立,交点个数问题要注意判别式的应用. 22. 已知椭圆

20 x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 .若圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 与椭圆 2 3 2 a b

相交于 A, B 两点且线段 AB 恰为圆的直径,求椭圆方程. 【审题要津】坐标法和直线与圆锥曲线的联立利用韦达定理来解题. 解:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? , AB 的方程为 y ? 1 ? k ?x ? 2? 即 y ? kx ? 2k ? 1 ①

? 离心率 e ?

x2 y2 2 ? 椭圆方程可化为 2 ? 2 ? 1 ② 2 2b b

将①代入②得 1 ? 2k 2 x 2 ? 4?1 ? 2k ?kx ? 2?1 ? 2k ? ? 2b 2 ? 0
2

?

?

? x1 ? x2 ?
? x1 x2 ?

4?2k ? 1?k ?4 1 ? 2k 2

? k ? ?1

18 ? 2b 2 2 ? 6 ? b2 , 1? 2 3

又 AB ? 2

20 , 3
20 3 ,

?

1 ? 1 x1 ? x2 ? 2
2

即 ? x1 ? x 2 ? ?

20 3



?b 2 ? 8 ,

? 所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 8

【方法总结】直线方程和圆锥曲线方程联立是高考的重点题型.



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