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对一道新思维竞赛题的拓展


对一道新思维竞赛题的拓展
万源市河口中学:鲜华德 对经典题目进行反思、变式、拓展,是研究数学知识、发现数学 规律的重要方法,下面就《中学生数理化》2010 第 12 期第 25 页第 4 题作一解析。 问题:如图(一) ,在正方形 ABCD 中,N 是 DC 边的中点,M 是 AD 边上异于 D 的点,且∠NMB=∠MBC,求 tan∠ABM。 分析:设边长为 1,AM=x,问题转化为求 x 的值,∠NMB=∠MBC 的条件可构造等腰三角形,又 N 为 DC 的中点,所以延长 MN 交 BC 的 延长线于 E 的辅助线水到渠成。由 MD=1-x,DN=1/2,若能表示出 MN, 便可由勾股定理求解。 解法一:延长 MN 交 BC 的延长线于 E。 设正方形的边长为 1,AM=x(0<x<1) ,则 AD=1-x 显然△MDN ∽ △ECN = 所以 MN=EN,MD=CE 因为∠NMB=∠MBC 所以 EM=EB=2-x,MN=0.5ME=1-0.5x 在 Rt△MDN 中,由 MD2+DN2=MN2 得: (1-x)2+(0.5)2=(1-0.5x)2

A

M

D

N

B

图一

C

E

解得 x1=1(舍去)x2=1/3 故 tan∠ABM=1/3 变式 1:把原题“N 为 DC 边的中点”改为“DN=1/3DC” ,求 tan∠ABM。 略解:显然△ADN∽△ECN
1

所以 MD:CE=MN:NE=DN:NC=1/2 故 BE=BC+CE=3-2x, MN=1/3ME=1/3BE=3-2x/3 由勾股定理得 (1-x)2+(1/3)2=(3-2x/3)2 解得 x1=1(舍去)x2=1/5 即 tan∠ABM=1/5 质疑:由 N 为中点得 x=1/3,由 DN=1/3DC 得 x=1/5,总觉得数据 有“特殊性” ,于是再次变式。 变式 2:把原题“N 为 DC 边的中点”改为“DN=1/nDC(n 为不小 于 2 的正整数),求 tan∠ABM。 ”
A M E N D

仍由△MDN∽△ECN 得 CE=(n-1)MD

B

C 图二

所以 MN=1/nME=1/nBE=1-x+x/n 在 Rt△MDN 中,由 MD2+DN2=MN2 得: (1-x)2+(1/n)2=(1-x+x/n)2

解得 x1=1(舍去)x2=1/2n-1 故 tan∠ABM=1/2n-1 解法二:如图二,作 BE⊥MN 于 E,则∠AMB=∠BMN,AB=EB=BC, 不难证得 AM=EM,CN=EN。设 AM=x,则 MN=1/2+x,在 RT△MND 中,由 勾股定理可解得 x=1/3. 反思:1.此题由中点到三等分点,由三等分点到 n 等分点,体现 了由特殊到一般的思想方法,同时由结果 1/2n-1 亦正好解释了此前 质疑的结果的特殊性。 2.此题考察了运用相似三角形、正方形、等腰梯形、勾股
2

定理、解一元二次方程及三角函数诸多知识,综合性极强,若把原题 及两个变式设计为以正方形为背景的综合题, 不失为一道考察学生数 学能力的一道好题。

3


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