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二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 (1)


二次函数y 系数a, b, c的关系

2 =ax +bx+c的图象与

贺胜中学初三数学组

回顾知识点:`
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关? a 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 (0,c) 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
b x=- 2a

.

.

探索发现
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。 |a|越大,抛物线的开口越窄;|a|相同,抛物线的开口大小相同

1.a的符号
抛物线开口向上 抛物线开口向下

a>0

a<0

2. b的符号
由于对称轴是x= -b/2a;a,b共同决定对称轴 的位置.

x= -b/2a
交点在y轴左侧

x= -b/2a
ab>0 a、b 同号 交点在y轴右侧

ab<0

a、 b

异号

左同右异

3.c的符号
决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,

c)

交点在y轴正半轴

C>0
抛物线过原点

交点在y轴负半轴

C<0

C=0

4.b2-4ac的符号
抛物线与x轴的交点纵坐标为0,所以由y=ax2+bx+c (a≠ 0),方程解的个数显示抛物线与x 轴交点的个数。 0)得0=ax2+bx+c(a≠

抛物线与x轴有两个交点
抛物线与x轴有一个交点 抛物线与x轴无交点

b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0

5.抛物线与x轴有两个交点, 两个交点间的距离为
(x1 ,0) (x2 ,0) (x1 ,0) (x2 ,0) (x1 ,0) (x2 ,0)

d=∣x1-x2∣
x1 ? x2 由交点横坐标还可以得到抛物线的 对称轴x ? 2

例题学习
已知,y=ax2+bx+c的图象如下,试判断a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c 的符号。
y

解:

∵开口向上

∴a>0
抛物线与y轴交于负半轴
b 在y轴右侧 2a b ?? >0,而a>0
2a


-1

∴c<0

· 1

x

对称轴x ? ?

∴b<0 由图象可知抛物线与x轴有两个交点

∴b2-4ac>0

b 4ac ? b 2 顶点(, )在第四象限 2a 4a 4ac ? b 2 ? ? 0, 又a ? 0, 4a ? b 2 ? 4ac ? 0

y

当x=1时,y=a +b+ c
由图象可知,点(1,a+ b+ c)在第四象限 a+ b+ c<0 -1



· 1

x

又x=-1时,y=a- b+ c 由图象可知,点(1,a- b+ c)在第二象限

∴a- b+ c>0

归纳: (1)a+ b+ c的符号
由x=1时抛物线上的点的位置确定。

(2)a- b+ c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 (3)b2-4ac的符号
由抛物线与x轴的交点个数确定,也可以由顶点的位置确 定。

你还想到啥?

1.根据图象判断a、b、c及 2 > a____0 < b____0 < c_____0

b -4ac的符号
< a____0 = b____0 c_____0 = = b2-4ac_____0 < a____0 > b____0 < c_____0

> b2-4ac_____0

> a____0
> b____0 = c_____0 > b2-4ac_____0

< b2-4ac_____0

2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,那么a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c中 值小于零的有( c ) ●
-1



1

A 5个; B 4个; C 3个;D 2个。

3.如果函数y=k x + b的图象在第一、二、 三象限内,那么函数y=kx2+bx-1的图象大 致是( B )
1 -1 1 -1

A

B

C

D

4.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如

图所示,下列结论中:①abc>0;② b=2a;③a+ b+ c<0;④a+ b- c>0; ⑤a-b+ c>0正确的个数是 ( C ) A 、 2个 B 、 3个 C 、 4个 D 、 5个
y

- o 1

1 x

y

5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,下列判断不正确的是( ④) ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、a-b+c<0, ④、4a+2b+c>0.

-1

2

o

x

6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同 C) 一坐标系内的大致图象是(
y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

(A)

(B)

(C)

(D)

7.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(C )

8.不论k 取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 ( B) A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 9.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的 值是 ( A) A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1

小结

拓展
抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的 位置决定。它们具有等价的关系。
(3 的符号由抛物线与y轴的交点确定。 (1 ))c a的符号由抛物线的开口确定。 开口向上 交点在 y轴正半轴上 交点是原点 开口向下 交点在y轴负半轴上

a>0 c>0 a<0 c=0 c<0
b2-4ac>0 a, b同号

2-4ac (2) b 的符号由对称轴的位置确定。 (4)b 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定。

抛物线与 x 轴 有两个交点 对称轴在 y 轴左侧 抛物线与 对称轴是 x轴 y轴 有1个交点 对称轴在x 抛物线与 y轴右侧 轴 无交点

b=0

b2-4ac=0

你还能用其他方法确定b -4ac吗?

b2-4ac<0 a, b 异号 2

(5)a+ b+ c的符号
由x=1时抛物线上的点(1,a+b+c )所在象限位置确定。

(6)a- b+ c的符号
由x=-1时抛物线上的点(1,a+b+c)所在象限位置确定。

(7)b2-4ac的符号

拓展

(1)你会判断 4a+2b+c,9a+3b+c的符号吗?

(2)你还想到啥?

愿大家在共同学习中成长!


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