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1.2.2组合(二)



——组合应用题

复习巩固:
1、组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成 一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 m Cn 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n ? 1)(

n ? 2)?(n ? m ? 1) m m n Cn ? Cn ? m ? Am m! m !( n ? m)!

我们规定:Cn ? 1.
0

定理 1:

C

m n

?Cn

n?m

定理 1:

C
m

m n

?Cn

n?m

性质2

? ? cn?1 cn cn

m

m ?1

一、等分组与不等分组问题 例3.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;

解:(1)根据分步计数原理得到:

C C C ? 90 种
2 6 2 4 2 2

例3.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (2)分为三份,每份2本; 2 2 2 解析:(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C6 C4 C2 种
方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每 份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、 丙三名同学有 A
2 6 2 4 2 2

3 所以. 3 种方法.根据分步计数原理 2 2 2
3 3

可得: C C C ? xA

C6 C4 C2 x? ? 15 所以. 3 A3

因此,分为三份,每份两本一共有15种方法

点评:
本题是分组中的“平均分组”问题.
一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元 素),共有 m m m

Cmn ? Cmn?m ???? Cm n An

种方法

例3.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本; 解:(3)这是“不均匀分组”问题,一共有

C C C ? 60种方法.
1 6 2 5 3 3

(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有

C C C A ? 360 种方法.
1 6 2 5 3 3 3 3

例3.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法:
(5)将6本书分给甲乙丙三人,甲四本,乙丙各一本; (6)将6本书分成三堆,一堆四本,其余两堆各一本;
4 1 解:(5)一共有 C6 种方法. C2 ? 30

(6)这是“不均匀分组”问题,设分成1:1:4三堆有x种,
2 甲选四本,乙丙各一本,选法有 x?A2 ,于是有:

x?A ? C C
2 2 4 6

1 2

C C 4 ?x ? ? 15 法二: C 6 ? 15 2 A2

4 6

1 2

例3.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (7)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本 解:(7)可以分为三类情况:
2 2 2 ①“2、2、2型” 的分配情况,有 C6 C4 C2 ? 90 种方法; 1 2 3 3 C6C5 C3 A3 ? 360 ②“1、2、3型” 的分配情况,有 种方法; 4 3 ③“1、1、4型”,有 C6 A3 ?种方法, 90

所以,一共有90+360+90=540种方法.

变式:若10本不同的书,分成6:2:2三堆,有 多少种分法?

C ?C ?C A
6 10 2 4 2 2

2 2

练习:
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?

解: (1) C ? C ? C ? C ? 3150 2 2 C ? C ? C (2) 6 4 ? C ? 18900
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2

二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯,为了节 省用电而不影响正常的照明,可以熄灭其中三盏 灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两 盏灯,可以熄灭的方法共有( A ) 3 3 3 3 A C C11 种 C 9 种 ( D) (A) 8 种(B) 8 种 (C)

三、混合问题,先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,直到区分出所有次品为止,若所有 次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方 法有多少种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 3 1 4 次测试是次品。故有: C C A ? 576 种可能。
4 6 4

练习:1、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1 人参加,则有不同参赛方法______种.
3 1 2 3 解:采用先组后排方法: C5 ? C3 ? C4 ? A3 ? 1080

2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体

检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法
共有多少种?

解法一:先组队后分校(先分堆后分配) C 6C 4 ? A3 ? 540
解法二:依次确定到第一、第二、第三所学 2 1 2 校去的医生和护士. (C1 3 C 6 ) ? (C 2 C 4 ) ? 1 ? 540

2

2

3

四、分类组合,隔板处理 例4.有10个运动员名额,再分给7个班,每班至少一个, 有多少种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相 邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7 份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种 6 分法共有___________ 种分法。 9

C

将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一 个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个 m ?1 空隙中,所有分法数为 一 二 三 四 五 六 七 n ?1 班 班 班 班 班 班 班

C

练习、 (1)10个优秀指标分配给6个班级,每个班级至少 一个,共有多少种不同的分配方法? (2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班,若名 额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?

分析:(1)这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可 构造数学模型 ,用5个隔板插入10个指标中的9个空隙,
5 9 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的

即有 C

指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指

标,以此类推,因此共有

种分法 C ? 126 .
5 9

(2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班,若名 额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?

解:(2)先拿3个指标分给二班1个,三班2个, 然后,问题转化为7个优秀指标分给三个班, 2 每班至少一个.由(1)可知共有 C6 种分法 ? 15
注:第一小题也可以先给每个班一个指标, 然后,将剩余的4个指标按分给一个班、两 个班、三个班、四个班进行分类,共有

C ? 3C
1 6

2 6

3 4 种分法 . ? 3C ? C 6 6

? 126

例5.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,

一共有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有 一个空盒的放法有多少种?
解:(1)根据分步计数原理:一共有 种方法; 44 ? 256

(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个
2 “捆绑”在一起看成一个元素有 种方法;第二步:从 4 3 四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法,所以, 4 一共有 2 =3 144种方法 4 4

C

A

C A

多面手问题
例6.有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?

参考答案:2174

练习: 在11名工人中,有5人只能当钳工, 4人只能当车工,另外2人既能当钳工,又能 当车工,现从11人中选出4人当钳工,4人当 车工,问有多少种不同的选法? 参考答案:185

例7:10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中, 从中任意抽取4只,试求各有多少种情况出现如 下结果: (1)4只鞋子没有成双; (2) 4只鞋子恰好成双;
(3) 4只鞋子有2只成双,另2只不成双。

参考答案(1)3360;(2)45;(3)1440

课堂练习: 在如图7x4的方格纸上(每小方格均为正方形) (1)其中有多少个矩形? (2)其中有多少个正方形?

参考答案 (1):280;(2)60

●思悟小结 1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合 中常见的问题有:选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题,解答组合问题的关键 是用好组合的定义和两个基本原理,只选不排, 合理分类、分步. 2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题,通常有直接法(合 理分类)和间接法(排除法).

小结:
1. 解应用题,首先要确定是排列问题,还 是组合问题。 2. 许多排列应用题的解题思路,可迁移到组 合应用题中。 3. 既有排列又有组合的混合应用题,一般先 取后排。 4. “至多至少”问题,容易出错。要用分 类解决,或用排除法解决。

5. 涉及“多面手”的问题,一般分类解决。



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