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高考数学中涂色问题的常见解法及策略


高考数学中涂色问题的常见解法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现, 其中包含着丰富 的数学思想。 解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变,因而这类问题有利于培养 学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。本 文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法 一.区域涂色问题 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1、 根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方 法。 例1、 用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只 涂一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种?
① ② ③



分析:先给①号区域涂色有 5 种方法,再给②号涂色有 4 种方法,接着给③号涂 色方法有 3 种,由于④号与①、②不相邻,因此④号有 4 种涂法,根据分步计数 原理,不同的涂色方法有 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 4 0 2、根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用 加法原理求出不同的涂色方法种数。 例 2、 四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域, 且相邻两个区域不能同色。 分析:依题意只能选用 4 种颜色,要分四类: ⑤ (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A 44 ; ④ (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A 44 ; (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A 44 ; (4)③与⑤同色、② 有 A 44 ; 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A 44 =120
⑥ ② ① ③

与④同色,则有 A 44 ; (5)②与④同色、③与⑥同色,则
2 2

例 3、如图所示,一个地区分为 5 个行政区域, 1 5 3 现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色, 4 现有 4 种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种? 分析:依题意至少要用 3 种颜色 1) 当先用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色, 2) 区域 3 与 5 必须同色,故有 A 43 种; 3) 当用四种颜色时,若区域 2 与 4 同色, 4) 则区域 3 与 5 不同色,有 A 44 种;若区域 3 与 5 同色,则区域 2 与 4 不同色,有 A 44 种,故用四种颜色时共有 2 A 44 种。由加法原理可知满 足题意的着色方法共有 A 43 +2 A 44 =24+2 ? 24=72

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与 不同色入手,分别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法 总数。 例 4 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一 种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同 的涂色方法? 分析:可把问题分为三类: (1) 四格涂不同的颜色,方法种数为 A 54 ; (2) 有且仅两个区域相同的颜色, 2 1 (3) 即只 有一组对角小方格涂相 4 3 同的颜色,涂法种数为 1 2 2 C 5 A4 ; 5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 A 52 , 因此,所求的涂法种数为 A52
? 2 C 5 A 4 ? A5 ? 2 6 0
1 2 2

4、 根据相间区使用颜色的种类分类 例 5 如图, 6 个扇形区域 A、B、C、D、E、F,现给这 6 个区域着色, 要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现 有 4 种不同的颜色可 A1 解(1)当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时, 有 4 种着色方法,此时, B、D、F 各有 3 种着色方法, 此时,B、D、F 各有 3 种着色方法 故有 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 1 0 8 种方法。
C D E F B A

(2)当相间区域 A、C、E 着色两不同的颜色时,有 C 32 A 42 种着色方法, 此时 B、D、F 有 3 ? 2 ? 2 种着色方法,故共有 C 32 A 42 ? 3 ? 2 ? 2 ? 4 3 2 种着色 方法。 (3)当相间区域 A、C、E 着三种不同的颜色时有 A 43 种着色方法,此 时 B、D、F 各有 2 种着色方法。此时共有 A 43 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 9 2 种方法。 故总计有 108+432+192=732 种方法。 说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 如:如图,把一个圆分成 n ( n ? 2 ) 个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑 四色之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法? A1 A 2 解:设分成 n 个扇形时染色方法为 a n 种 (1) 当 n=2 时 A1 、 A 2 有 A 42 =12 种,即 a 2 =12 (2)当分成 n 个扇形,如图, A1 与 A 2 不同色, A 2 与 A 3 不同⑤ 色, ? , A n ? 1 与 A n 不同色,共有 4 ? 3 n ? 1 种染色方法, 但由于 A n 与 A1
⑤ ⑤
An A3


A4 A3

⑤?



邻,所以应排除 A n 与 A1 同色的情形; A n 与 A1 同色时,可把 A n 、 推关系:
an ? 4 ? 3
n ?1

A1 看成一个扇

形,与前 n ? 2 个扇形加在一起为 n ? 1 个扇形,此时有 a n ? 1 种染色法,故有如下递
? a n ?1 ? a n ? ? a n ?1 ? 4 ? 3
n? 3

n ?1

? ? (? an?2 ? 4 ? 3
n? 1

n?2

)? 4?3

n ?1

? an?2 ? 4 ? 3
? ? ? 4 ? [3
n

n?2

? 4?3
n?2

n? 1

? ? an?3 ? 4 ? 3
n

? 4?3

n?

? 4?3
2

n ?1

?3

? ? ? ( ? 1) ? 3]

? ( ? 1) ? 3 ? 3

n

二.点的涂色问题 方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论, (2)根据相对顶点是否同 色分类讨论, (3)将空间问题平面化,转化成区域涂色问题。 例 6、 将一个四棱锥 S ? A B C D 的每个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱的两 端点异色, 如果只有 5 种颜色可供使用, 那么不同的染色方法的总数是多少? 解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下 的四种颜色中任选两种涂 A、B、C、D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C 51 A 42 ? 6 0 种方法。 (2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S, 再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B, 由于 A、 颜色可以交换, B 故有 A 42 种 染法;再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 与 C 中另一 1 1 个只需染与其相对顶点同色即可,故有 C 51 A 42 C 2 C 2 ? 2 4 0 种方法。 (3)若恰用五种颜色染色,有 A 55 ? 1 2 0 种染色法 综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 解法二:设想染色按 S—A—B—C—D 的顺序进行,对 S、A、B 染色,有 5 ? 4 ? 3 ? 6 0 种染色方法。 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法 数,故分类讨论: C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一) 应与 A(C) 不同 ,D 、S 色,有 3 种选择;C 与 A 不同色时,C 有 2 种选择的颜色,D 也有 2 种颜色可供 选择,从而对 C、D 染色有 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 7 种染色方法。由乘法原理,总的染色方 法是 6 0 ? 7 ? 4 2 0 解法三:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图, D A 对这五个区域用 5 种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法? S 二.线段涂色问题 C B 对线段涂色问题,要注意对各条线段依次涂色,主要方法有: 6) 根据共用了多少颜色分类讨论 7) 根据相对线段是否同色分类讨论。 例 7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形 ABCD 的四条边,每条边只涂 一种颜色 ,且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共 有多少种不同的涂色方法? 解法一: (1)使用四颜色共有 A 44 种;

1 1 (2)使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同色,故有 C 4 C 2 A32 种,

(3)使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有 A 42 种
1 1 因此,所求的染色方法数为 A 44 ? C 4 C 2 A32 ? A 42 ? 8 4 种 解法二:涂色按 AB-BC-CD-DA 的顺序进行,对 AB、BC 涂色有 4 ? 3 ? 1 2 种涂色方法。 由于 CD 的颜色可能与 AB 同色或不同色,这影响到 DA 颜色的选取方 法数,故分类讨论: 当 CD 与 AB 同色时,这时 CD 对颜色的选取方 法唯一,则 DA 有 3 种颜色可供选择 CD 与 AB 不同色时,CD 有两种 可供选择的颜色,DA 也有两种可供选择的颜色,从而对 CD、DA 涂色 有 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 7 种涂色方法。 由乘法原理,总的涂色方法数为 1 2 ? 7 ? 8 4 种 例 8、用六种颜色给正四面体 A ? B C D 的每条棱染色,要求每条棱只染 一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色,问有多少种不同的涂色方法? 解: (1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间 的颜色不同,故有 A 63 种方法。

(2)若恰用四种颜色涂色,则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色,但组 与组之间不同色,故有 C 63 A 64 种方法。 (3)若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色,故有 C 31 A 65 种方法。 (4)若恰用六种颜色涂色,则有 A 66 种不同的方法。 综上,满足题意的总的染色方法数为 A 63
? C 3 A 6 ? C 3 A 6 ? A 6 ? 4080
2 4 1 5 6

种。

三.面涂色问题 例 9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的 6 个面涂色, 每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种? 分析:显然,至少需要 3 三种颜色,由于有多种不同情况,仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论 解:根据共用多少种不同的颜色分类讨论 (1)用了六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有 5 种 选择,在上、下底已涂好后,再确定其余 4 种颜色中的某一种所涂面为左侧 面,则其余 3 个面有 3!种涂色方案,根据乘法原理 n 1 ? 5 ? 3! ? 30 (2)共用五种颜色,选定五种颜色有 C 65 ? 6 种方法,必有两面同色(必为 相对面) ,确定为上、下底面,其颜色可有 5 种选择,再确定一种颜色为左 侧面,此时的方法数取决于右侧面的颜色,有 3 种选择(前后面可通过翻转 交换) 5 n 2 ? C 6 ? 5 ? 3 ? 90 ;(3)共用四种颜色,仿上分析可得 ;(4)共用三种颜色, n 4 ? C 63 ? 20 例 10、四棱锥 P ? A B C D ,用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求 相邻不同色,有多少种涂法?
n 3 ? C 6 C 4 ? 90
4 2

P
?

D C A B 4

1 5

2 3

解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区域 1、2、3、4 相当 于四个侧面,区域 5 相当于底面;根据共用颜色多少分类: (1) 最少要用 3 种颜色,即 1 与 3 同色、2 与 4 同色,此时有 A 43 种; (2) 当用 4 种颜色时,1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色,此 1 时 有 C 2 A 44 ; 故 满 足 题 意 总 的 涂 色 方 法 总 方 法 交 总 数 为
A4 ? C 2 A4 ? 7 2
3 1 4

用三种不同的颜色填涂如右图 3 ? 3 方格中的 9 个区域,要求 每行、每列的三个区域都不同色,则不同的填涂方法种数共有( D ) A、48、 B、24 C、12 D、6


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