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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 12.4离散型随机变量及其分布列教案 理 新人教A版



§12.4
2014 高考会这样考 分布的简单应用. 复习备考要这样做

离散型随机变量及其分布列

1.考查离散型随机变量及其分布列的概念;2.考查两点分布和超几何

1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列; 2.掌握两点

分布与超几何分布的特点,并会应用.

r />1. 离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示, 那么这样的变量叫做随机变量; 按一定 次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi(i =1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

为随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列,具有性质: ①pi__≥__0,i=1,2,?,n;②p1+p2+?+pi+?+pn=__1__. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2. 如果随机变量 X 的分布列为

X P

1

0

p

q

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布. 3. 超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}发生的概 CMCN-M 率: P(X=k)= n (k=0,1,2, ?, m), 其中 m=min{M, n}, 且 n≤N, M≤N, n、 M、 N∈N*, CN 则称分布列
k n-k

X
0

0 CM·CN-M n CN
n-0

1 CMCN-M n CN
1 n-1

? ?

m
CMCN-M n CN
m n-m

P
为超几何分布列. [难点正本 疑点清源] 1. 随机变量的本质

1

(1)所谓随机变量, 就是试验结果和实数之间的一个对应关系, 这与函数概念本质上是相 同的,只不过在函数概念中,函数 f(x)的自变量是实数 x,而在随机变量的概念中,随 机变量 X 的自变量是试验结果. (2)随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断言随机变量取什么值,即具有随机 性;其二,在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量,即存在统计规律性. 2. 离散型随机变量的分布列的作用 (1)对于随机变量 X 的研究, 需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内 的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布列正是指出了随机变量 X 的取值范围以及 取这些值的概率. (2)利用离散型随机变量的分布列,可以求其期望和方差.

1. 设随机变量 X 的分布列如下:

X P
则 p=________. 答案 1 3

1 1 6

2 1 3

3 1 6

4

p

1 解析 由分布列的性质知:所有概率之和为 1,所以 p= . 3 2. 设某运动员投篮投中的概率为 0.3,则一次投篮时投中次数 X 的分布列是________. 答案

X P

0 0.7

1 0.3

3. 在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一 球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数 η 的分布列为__________. 答案 η 0 1 4 1 1 2 2 1 4

P
解析 η 的所有可能值为 0,1,2.

P(η =0)= P(η =2)=

C1C1 1 C1C1×2 1 1 1= ,P(η =1)= 1 1 = , C2C2 4 C2C2 2 C1C1 1 1 1= . C2C2 4
2
1 1

1 1

1 1

∴η 的分布列为 η 0 1 4 1 1 2 2 1 4

P

1 4. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于 2 ( A. 3 16 ) 1 B. 4 C. 1 16 D. 5 16

答案 A 1 1 3 解析 P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 3+ 4= . 2 2 16 5. 随机变量 X 的分布列如下:

X P

-1

0

1

a

b


c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)等 ( A. 1 6 ) 1 B. 3 C. 1 2

D.

2 3

答案 D 解析 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 2 又 a+b+c=1,∴b= ,∴P(|X|=1)=a+c= . 3 3

题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例1

? ? 设随机变量 ξ 的分布列为 P?ξ = ?=ak(k=1,2,3,4,5), 则常数 a 的值为________, 5? ?
k
3? ? P?ξ ≥ ?=________.

?

5?

思维启迪:直接根据分布列的性质求解. 答案 1 4 15 5

解析 随机变量 ξ 的分布列为

3

ξ

1 5

2 5 2a

3 5 3a

4 5 4a

1 5a

P

a

1 由 a+2a+3a+4a+5a=1,解得 a= . 15 3? ? 3? 4? ? ? P?ξ ≥ ?=P?ξ = ?+P?ξ = ?+P(ξ =1)

?

5?

?

5?

?

5?

4 =3a+4a+5a=12a= 5

?或P?ξ ≥3?=1-P? ξ ≤2? =1-3a=4?. ? ? ? ? 5? 5 5? ? ?
探究提高 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值, 此时要注意检验, 以保证每 个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的取值概率时, 根据分布列, 将所求范围内随机变量对应的 取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式. 若离散型随机变量 X 的分布列为

X P

0 9c -c
2

1 3-8c

则常数 c=________,P(X=1)=________. 答案 1 1 3 3

解析 由离散型随机变量分布列的性质可知: 9c -c+3-8c=1 ? ? 2 ?0≤9c -c≤1 ? ?0≤3-8c≤1
2

1 ,解得 c= . 3

P(X=1)=3-8× = .

1 1 3 3

题型二 离散型随机变量的分布列的求法及应用 例2 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三

等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、 1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ . (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?
4

思维启迪:本题在求解时,一定要分清求解的是哪一个变量的均值,理清随机变量取值 时的概率. 解 (1)由于 1 件产品的利润为 ξ , 则 ξ 的所有可能取值为 6,2,1, -2, 由题意知 P(ξ 126 50 20 4 =0.63,P(ξ =2)= =0.25,P(ξ =1)= =0.1,P(ξ =-2)= = 200 200 200 200

=6)= 0.02.

故 ξ 的分布列为 ξ 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02

P

(2)1 件产品的平均利润为 E(ξ )=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万 元). (3)设技术革新后三等品率为 x,则此时 1 件产品的平均利润为 E(ξ )=6×0.7+2×(1 -0.7-x-0.01)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x. 由 E(ξ )≥4.73,得 4.76-x≥4.73,解得 x≤0.03,所以三等品率最多为 3%. 探究提高 (1)求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤: ①理解 X 的意义, 写出 X 可能取 的全部值;②求 X 取每个值的概率;③写出 X 的分布列. 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意 应用计数原理、古典概型等知识. (2)求解离散型随机变量 X 的均值与方差时,只要在求解分布列的前提下,根据均值、方 差的定义求 E(X),D(X)即可. (2011·湖南)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变), 设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 , ...3 件,否则不进货 ... 将频率视为概率. (1)求当天商店不进货 的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的概率分布列和数学期望. 解 (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件)=

1 5 3 + = . 20 20 10 (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3.

P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商品销售量为
5

5 1 20 4

1 9 5 3 3 件)= + + = . 20 20 20 4 所以 X 的概率分布列为

X P

2 1 4

3 3 4

1 3 11 故 X 的数学期望为 E(X)=2× +3× = . 4 4 4 题型三 超几何分布 例3 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1

7 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列. 思维启迪:(1)列出符合题意的关于袋中白球个数 x 的方程; (2)随机变量 X 服从超几何分布. 解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,设袋中白球的个数
2

C10-x 7 为 x,则 P(A)=1- 2 = , C10 9 得到 x=5.故白球有 5 个. (2)X 服从超几何分布,其中 N=10,M=5,n=3, C5C5 其中 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10 于是可得其分布列为
k 3-k

X P

0 1 12

1 5 12

2 5 12

3 1 12

探究提高 对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应用公式给出.超几 何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的 概率实质上是古典概型. 2013 年 10 月 1 日,为庆祝中华人民共和国成立 64 周年,来自北京大学和 清华大学的 6 名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维 3 持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水岗位至少有 1 名北京大学志愿者的概率是 . 5 (1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概率; (2)设随机变量 ξ 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数,求 ξ 的分布列.
6



(1)记“至少有 1 名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A, 则事件 A 的

对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”, 设有北京大学志愿者 x 名, C6-x 3 1≤x<6,那么 P(A)=1- 2 = ,解得 x=2,即来自北京大学的志愿者有 2 名,来自清 C6 5 华大学的志愿者有 4 名. C2C4 记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、 清华大学志愿者各 1 名”为事件 B, 则 P(B)= 2 = C6 8 , 15 8 所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概率是 . 15 (2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 ξ 服从超几何分布, 其中 N=6, M=2,
1 1 2

n=2,于是
C2C4 P(ξ =k)= 2 ,k=0,1,2, C6 C2C4 2 ∴P(ξ =0)= 2 = , C6 5
0 2

k 2-k

P(ξ =1)= P(ξ =2)=

C2C4 8 , 2 = C6 15 C2C4 1 . 2 = C6 15
2 0

1 1

所以 ξ 的分布列为 ξ 0 2 5 1 8 15 2 1 15

P

分类讨论思想在概率中的应用

典例:(12 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ =|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列. 审题视角 (1)根据 x,y 的取值,随机变量 ξ 的最大值为 3,当 ξ =3 时,只能 x=1,

y=3 或 x=3,y=1;(2)根据 x,y 的取值,ξ 的所有取值为 0,1,2,3,列举计数计算其
相应的概率值即可.

7

规范解答 解 (1)∵x,y 可能的取值为 1,2,3,

∴|x-2|≤1,|y-x|≤2, ∴ξ ≤3,且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,ξ =3. 因此,随机变量 ξ 的最大值为 3.[3 分] ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9(种), 2 ∴P(ξ =3)= . 9 2 故随机变量 ξ 的最大值为 3,事件“ξ 取得最大值”的概率为 .[6 分] 9 (2)ξ 的所有取值为 0,1,2,3. ∵ξ =0 时,只有 x=2,y=2 这一种情况, ξ =1 时,有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种情况, ξ =2 时,有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况, ξ =3 时,有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 两种情况.[8 分] 1 4 2 ∴P(ξ =0)= ,P(ξ =1)= ,P(ξ =2)= , 9 9 9

P(ξ =3)= .[10 分]
则随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 9 1 4 9 2 2 9 3 2 9 [12 分] 温馨提醒 (1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率. (2)随机变量 ξ 的值是 x,y 的函数,所以要对 x,y 的取值进行分类讨论. (3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.

2 9

P

方法与技巧 1. 对于随机变量 X 的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内 的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取 这些值的概率. 2. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定 ξ 的取值情况,然后利用排列、

8

组合与概率知识求出 ξ 取各个值的概率. 失误与防范 掌握离散型随机变量的分布列,须注意 (1)分布列的结构为两行, 第一行为随机变量 X 所有可能取得的值; 第二行是对应于随机 变量 X 的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的 概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求 一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为

X P
则 q 等于 A.1 答案 C B.1± 2 2

-1 1 2

0 1-2q

1

q2
( )

C.1-

2 2

D.1+

2 2

解析

1 q +1-2q+ =1 ? 2 ? 由分布列的性质得:? 1-2q≥0 ? ?q ≥0
2 2



∴q=1-

2 . 2

2. 某射手射击所得环数 X 的分布列为

X P

4 0.02

5 0.04

6 0.06

7 0.09

8 0.28

9 0.29

10 0.22 ( D.0.51 )

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为 A.0.28 答案 C 解析 P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) B.0.88 C.0.79

9

=0.28+0.29+0.22=0.79. 3. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则

P(X=0)等于
A.0 答案 C 1 B. 2 C. 1 3 D. 2 3

(

)

4. 在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄 C7C8 中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是 C15 A.P(X=2) C.P(X=4) 答案 C C7C8 解析 X 服从超几何分布 P(X=k)= 10 ,故 k=4. C15 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,那么 n=______. 答案 10 解析 由于随机变量 X 等可能取 1,2,3,?,n. 1 所以取到每个数的概率均为 .
k 10-k
4 6

(

)

B.P(X≤2) D.P(X≤4)

n

3 ∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= =0.3,

n

∴n=10. 6. 已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取值 范围是________.

? 1 1? 答案 ?- , ? ? 3 3?
解析 设 ξ 取 x1,x2,x3 时的概率分别为 a-d,a,a+d, 1 则(a-d)+a+(a+d)=1,∴a= , 3 1 ? ?3-d≥0 由? 1 ? ?3+d≥0

1 1 得- ≤d≤ . 3 3

7. 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的概率分布列为

10

X P
答案 0.1 0.6 0.3 C2 解析 P(X=0)= 2=0.1, C5
2

0

1

2

P(X=1)=

C3·C2 6 C3 = =0.6,P(X=2)= 2=0.3. 2 C5 10 C5

1

1

2

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)从一批含有 13 件正品与 2 件次品的产品中,不放回地任取 3 件,求取得次品数 的分布列. 解 设随机变量 ξ 表示取出次品的个数, 则 ξ 服从超几何分布, 它的可能取值为 0,1,2,

其相应的概率为

P(ξ =0)=

C2C13 22 C2C13 12 ,P(ξ =1)= 3 = , 3 = C15 35 C15 35
2 1

0 3

1 2

C2C13 1 P(ξ =2)= 3 = . C15 35 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 22 35 1 12 35 2 1 35

P

9. (12 分)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概 1 1 2 率分别为 , , . 2 3 3 (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列; (2)若球队获得冠军,则给其所在学校加 5 分,否则加 2 分,求该高中得分 η 的分布列. 解 (1)∵X 的可能取值为 0,1,2,3,取相应值的概率分别为

P(X=0)=?1- ?×?1- ?×?1- ?= , 2 3 3

? ?

1? ?

? ?

1?

? ? ?

2? 1 ? 9 1?

P(X=1)= ×?1- ?×?1- ?+?1- ?× ×?1- ?+?1- ?×?1- ?× = , 3 3 2 3 2 3

1 ? 2 ?

1?

? ? ?

2? ?

? ?

?

1 ? 3 ?

2?

? ? ?
1?

1? ?

? ?

1?

?

2 7 3 18

P(X=2)= × ×?1- ?+?1- ?× × + ×?1- ?× = , 3 2 3

1 1 2 3 1 1 2 3

? ?

2? ?

? ?

1?

1 2 1 ? ? 3 3 2 ?

2

7

? 3 18

P(X=3)= × × = .
∴X 的分布列为

2 1 3 9

X

0

1

2

3

11

P

1 9

7 18

7 18

1 9

(2)∵得分 η =5X+2(3-X)=6+3X, ∵X 的可能取值为 0,1,2,3. ∴η 的可能取值为 6,9,12,15,取相应值的概率分别为

P(η =6)=P(X=0)= ,P(η =9)=P(X=1)= , P(η =12)=P(X=2)= ,P(η =15)=P(X=3)= .
∴得分 η 的分布列为 η 6 1 9 9 7 18 12 7 18 15 1 9 7 18 1 9

1 9

7 18

P

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)=

a n? n+1?

(n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 ( )

?1 5? P? <X< ?的值为 ?2
2? A. 2 3 3 B. 4 C. 4 5 D. 5 6

答案 D 解析 ∵P(X=n)=

a n? n+1?

(n=1,2,3,4),

a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4

?1 5? ∴P? <X< ?=P(X=1)+P(X=2) ?2 2?
5 1 5 1 5 = × + × = . 4 2 4 6 6 2. 袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红球放 回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ξ ,则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( A.ξ =4 答案 C
12

)

B.ξ =5

C.ξ =6

D.ξ ≤5

解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故 ξ =6. 3. 设随机变量 X 的概率分布列如下表所示:

X P

0

1 1 3

2 1 6

a

F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)等于
( A. 1 3 ) 1 B. 6 C. 1 2 D. 5 6

答案 D 1 1 1 解析 ∵a+ + =1,∴a= . 3 6 2 1 1 5 ∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)= + = . 2 3 6 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 4.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =k)= k-1, k=1,2,3, ?, n, 则 P(2<ξ ≤5)=________. 2 答案 7 16

1 1 1 7 解析 P(2<ξ ≤5)=P(ξ =3)+P(ξ =4)+P(ξ =5)= + + = . 4 8 16 16 5. 设随机变量 X 的概率分布列为

X P
则 P(|X-3|=1)=________. 答案 5 12

1 1 3

2

3 1 4

4 1 6

m

1 1 1 1 解析 由 +m+ + =1,解得 m= , 3 4 6 4

P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= + = .
6. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最 大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都 通 过的最大信息总量为 ξ ,则 P(ξ ≥8)=_______.

1 1 4 6

5 12

13

答案

4 5

解析 方法一 由已知,ξ 的取值为 7,8,9,10, C2C2 1 ∵P(ξ =7)= 3 = , C5 5 C2C1+C2C2 3 P(ξ =8)= = , 3 C5 10
2 1 2 1 2 1

P(ξ =9)=

C2C2C1 2 3 = , C5 5 C2C1 1 , 3 = C5 10
2 1

1 1 1

P(ξ =10)=

∴ξ 的分布列为 ξ 7 1 5 8 3 10 9 2 5 10 1 10

P

∴P(ξ ≥8)=P(ξ =8)+P(ξ =9)+P(ξ =10) = 3 2 1 4 + + = . 10 5 10 5
2 1

C2C2 4 方法二 P(ξ ≥8)=1-P(ξ =7)=1- 3 = . C5 5 三、解答题 7. (13 分)某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与 视觉记忆能力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表 中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 偏低 听觉 记忆 能力 中等 偏高 超常 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1

b
1 1

a
2

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一人,视觉记忆能力恰为中等,且 2 听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 . 5 (1)试确定 a,b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常 的学生的概率;

14

(3)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人 数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列. 解 (1)由表格数据可知, 视觉记忆能力恰为中等, 且听觉记忆能力为中等或中等以上的

学生共有(10+a)人. 记“视觉记忆能力恰为中等, 且听觉记忆能力为中等或中等以上” 10+a 2 为事件 A,则 P(A)= = ,解得 a=6. 40 5 所以 b=40-(32+a)=40-38=2. 答

a 的值为 6,b 的值为 2.

(2)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人. 方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B,则 “没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , C32 124 123 所以 P(B)=1-P( B )=1- 3 =1- = . C40 247 247 答 从这 40 人中任意抽取 3 人, 其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常
3

123 的学生的概率为 . 247 方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B, C8C32+C8C32+C8 123 所以 P(B)= = . 3 C40 247 答 从这 40 人中任意抽取 3 人, 其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常
1 2 2 1 3

123 的学生的概率为 . 247 (3)由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 C40, 其中具有听觉记忆能力或视觉记忆 能力偏高或超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉 记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 C24C16 , 所以从 40 位学生中任意抽取 3 位, 其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高 或超常的概率为 C24C16 P(ξ =k)= 3 (k=0,1,2,3), C40 C24C16 14 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,因为 P(ξ =0)= 3 = , C40 247
0 3 3

k

3-k

k

3-k

P(ξ =1)= P(ξ =3)=

C24C16 72 C24C16 552 ,P(ξ =2)= 3 = , 3 = C40 247 C40 1 235 C24C16 253 , 3 = C40 1 235
3 0

1

2

2

1

所以 ξ 的分布列为

15

ξ

0 14 247

1 72 247

2 552 1 235

3 253 1 235

P

16



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