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2.2.2直线与椭圆的位置关系



2.2.2直线与椭圆 的位置关系
D

问题1:椭圆与直线的位置关系?

问题2:怎么判断它们之间的位置关系?能用几何法吗? 不能! 因为他们不像圆一样有统一的半径。

所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线有关问题的通法

一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法

>Ax+By+C=0 由方程组: x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b

这是求解直线与二 mx2+nx+p=0(m≠ 0) 次曲线有关问题的 通法。 2
= n -4mp
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离

>0 =0 <0

题型一:公共点问题
x y 例1:判断直线kx-y+3=0与椭圆 ? ? 1 的 16 4
2 2

位置关系

?y ? kx? 3 ? 2 2 2 ? ? 解 :由? x 2 ? 4 x ? 1 x ? 24 k x ? 20 ? 0 y ? ?1 ? 4 ?16 ? ? ? 16 ?16 k 2 ? 5? 5 (1) ? ? 0,即k ? 或k ? 4 5 ( 2) ? ? 0,即k ? 或k 4 5 (3) ? ? 0,即 ?k ? 4 5 ? 时,相交 4 5 ?? 时,相切 4 5 时,相离 4

题型一:公共点问题
2 2

x y ? ? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆上 例 2:已知椭圆 25 9 y 是否存在一点 ,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ?
解:设直线m平行于l,

则l可写成: 4x ? 5 y ? k ? 0

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 2 消去y,得25x ? 8kx ? k - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 (k 2 - 225) ?0
解得k1 =25,k 2 =-25

o

x

由图可知k ? 25.

题型一:公共点问题
2 2

x y ? ? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆上 例 2:已知椭圆 25 9 是否存在一点 ,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ? y
?直线m为: 4 x ? 5 y ? 25 ? 0

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25

o

x

dmax

思考:最大的距离是多少?

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

知识点2:弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 直线AB的斜率为k. 弦长公式:
? AB ? 1 ? k · a
2

题型二:弦长问题
例3:已知斜率为1的直线l过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a ? 4, b ? 1, c ? 3.
2 2 2

的右焦点,

右焦点F ( 3,0).
?y ? x ? 3 ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? ?4

直线l方程为: y ? x ? 3. 消y得: 5x2 ? 8 3x ? 8 ? 0
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

题型二:弦长问题

x2 y2 ? ? 1 的左、右 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x2 y2 ? ? 1 的左、右 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 2
x ? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 解:∵椭圆 2

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

3x ? 4x ? 0

4 2 ? 2 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ? = ( x ? x ) ? 4 x x 2 1 2? ? 1 3

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ S F1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

题型三:中点弦问题
x2 y2 例5、已知椭圆 ? ? 1过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 16 4
平分,求此弦所在直线的方程. 解 法 一

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式: |AB|=
? 1? k 2 · a

相交

(适用于任何二次曲线)

3、中点弦问题的两种处理方法: (1)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率(点差法) (2)利用对称性构造关于中点的对称曲线方程,并且能够形成公共 弦,将对称曲线方程联立消去二次项,即得到公共弦所在的直线方程 (中心对称)



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