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09对数、对数函数(1)



第9节 对数——知识点归纳:

对数、对数函数

1. 对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,
b

那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作: b ? log a N ( a —底数, N —真数, log a N —对数) . 说明: ○ 1 注意底数的限制 a ?

0, a ? 1 ; ○ 2 ab ? N ? b ? loga N ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 为底的对数 ln N .
loga N

loga N

2.重要公式:(1) loga 1 ? 0 ;(2) loga a ? 1 ;(3)对数恒等式 a (4) lg 2 ? lg 5 ? 1
王新敞
奎屯 新疆

?N;

注意:要把上下两处化为同底数才可用对数恒等式

王新敞
奎屯

新疆

3.对数的运算法则:如果 a ? 0, a ? 1, N ? 0, M ? 0 有

loga (MN ) ? loga M ? loga N ;
log a M ? log a M ? log a N ; N
王新敞
奎屯 新疆

loga M m ? m loga M
4.对数换底公式:

log a N ?

log c N ( a > 0,a ? 1,c > 0,c ? 1,N > 0) logc a

王新敞
奎屯

新疆

两个常用的推论: ① loga b ? logb a ? 1 , ② log a m b ?
n

n log a b ( a b > 0 且均不为 1) m

王新敞
奎屯

新疆

对数函数——知识点归纳: y ? loga x(a ? 0, a ? 1)
29

a> 1
y

0<a<1

y=logax

a>1

图 象

O

x

x=1

a<1

(1)定义域: (0,+∞) 性 质 (2)值域:R (3)过定点(1,0) (4)在(0,+∞)上是增函数 注意:.对数函数的性质:
2 (1) loga x ? 2 loga x ?(2 loga x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R).

在(0,+∞)上是减函数

(2)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称. (3)画指数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 或由其变化所得的新函数的图像时,应该抓住两 点:一是过定点(1,0) ,二是其渐近线. (4)当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反. (5)单调性的作用:①比较同底数对数式的大小;②求形如 loga f ( x) 函数的值域;③解 与 对 数 相 关 的 不 等 式 (一 般 步 骤 是 将 不 等 式 左右 两 边 化 为 同 底 数 , 同时 要 注 意

f ( x) ? 0 ) .
(6)性质(4)的作用:通过估计范围比较不同底数的对数式的大小. 6.指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1) af(x)=b?f(x)=logab logaf(x)=b?f(x)=ab; (定义法) (2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x) logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0. (转化法) (3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb.(取对数法) (4) logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab(换底法) 典型例题 1.对数式的化简和运算 题型①指数式与对数式的互化
30

例 1.将下列指数式改写成对数式;

2 ? 16 ;
4

3

?3

1 ? ; 27

5 ? 20 ;
a

?1? ? ? ? 0.45 ?2?
lg a ? ?1.699

b

例 2.将下列对数式改写成指数式;

log5 125 ? 3 ;

log 1 3 ? ?2 ;
3

题型②利用运算法则计算或化简(需熟练运用) 例 5.计算: (1) log a 2 ? log a 1 ; (2) log3 18 ? log3 2 ; (3) lg 1 ? lg 25 ;
2 4

(4) 2log5 10 ? log5 0.25 ; (5) 2log5 25 ? 3log 2 64 ;(6) log2 (log2 16) 。

例 6.用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式:

xy (1)log a ; z

(2) loga

x2 y
3

z

例7.已知 lg( x ? y) ? lg( x ? 2 y) ? lg 2 ? lg x ? lg y ,求

x 的值. y

题型③利用对数恒等式化简和运算 例 8.求值: (1) 10
lg3

(2) 2

log 4 3

(3) 5

log 1 2
5

1

(4) 100 2

lg9 ? lg 2

题型④ 例 9.计算 (1) (lg5) ? lg 50 ? lg 2
2

(2) lg 5 ? lg 20 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25

(3) 2(lg 2 ) ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ) ? lg 2 ? 1
2 2

31

2.换底公式及应用 例 10.求值 (1) log64 32 (2) log8 9 ? log27 32 (3) log3 7 ? log2 9 ? log49

2

例 11.设 lg 2 ? a lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 .

例 12.若 log3 4 ? log8 m ? log4 8 ? log4 16 ,则 m=

例 13.设 log14 7 ? a 14 ? 5 ,试用 a 、 b 表示 log35 28
b

例 3.设 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a

m? n



例 4.已知 xyz 为正数,满足 3 ? 4 ? 6
x y

z

① 求证:

1 1 1 ? ? 2y z x

②比较 3x、4y、6z 的大小

例 14.(1)已知 log5 35 ? m, 求 log7 1.4

(2)若 log 12 27 ? a, 求证 : log 6 16 ?

4(3 ? a) 3? a

例 14. 已知 a、b、c 均是不等于 1 的正数,且 a ? b ? c
x y

z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

32

3.对数函数 题型一:解含对数式的方程(要注意底数,真数的范围) 例 15.求下列各式中的 x . (1) log 4 x ? ?
5

1 ; 2

(2) log x 5 ?

3 ; 2

(3) logx?2 ( x 2 ? 2 x ? 2) ? 0 .

题型二:解含对数式的不等式. (对数函数单调性的应用,抓住底数 a 的取值范围分类,两 边换成同底,脱去底数利用单调性求解) 例 16.(1)若 log a 3 ? 1 ,则 a 的取值范围是
4



题型二:利用单调性比较大小(同底的利用底数区分单调性比较,不同形式采取中间变量 0 或 1) 例 16.比较下列各组数的大小,并说明理由. (1) log1 0.7与log1 0.8 .
3 3

(2) log8 ?与log8 3.

(3) log 0.6

1 与 log 0.8 3. 4

(4) log6 7,log7 6

(5) p ? 0.9

5.1

, m ? 5.1

0.9

, n ? log0.9 5.1

(6) log3 0.2,log4 0.2,log0.4 0.2,log0.3 0.2

(7) log1.1 2.3,log1.2 2.2

题型三:对数函数性质的应用 例 17.求下列函数的定义域、值域、单调区间. (1) y ?

log0.5 (3x ? 2) ;

(2)y ? lg(1 ? x) ;

(3) y ? log1 (? x ? 4 x ? 5) .
2 3

33

(4) y ? (log 1 x)2 ? log 1 x
2 2

例 18. 已知函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2 x ? 1) , (1)若 f ( x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

题型四:对数型函数过定点的问题(真数部分令为 1 即可) 例 19.函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1 ( a ? 0且a ? 1)一定经过点 例 20.函数 y ? loga ( x 2 ? 2x ? 2) ? 2 ( a ? 0且a ? 1)过定点

题型五:含对数式的函数的奇偶性的判断. 例 21. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? log 2

x ?1 x ?1

(2) f ( x) ? lg( x 2 ? 1 ? x)

题型六:与 f ( x) ? loga x 相关的问题(掌握此函数图象很重要) 例 22. (1)已知 f ( x) ? loga x ,当 x ? [3, ??) 上都有 f ( x) ? 1 ,则 a 的取值范围 .

34

(2)设 f ( x) ? lg x ,若 0 ? a ? b ? c 时,有 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则正确的为 A. ac ? 1 B. bc ? 1 C. (a ? 1)(b ? 1) ? 0 D. ac ? 1



4.综合提升 例 23.对于函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 2ax ? 3) ,解答下述问题:
2

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (3)若函数在 [?1,??) 内有意义,求实数 a 的取值范围; (4)若函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) ,求实数 a 的值; (5)若函数的值域为 (??,?1] ,求实数 a 的值; (6)若函数在 (??,1] 内为增函数,求实数 a 的取值范围.

例 24.设关于 x 的方程 4 ? 2
x

x ?1

, ? b ? 0(b ?R)

(1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解.

例 25. (1)若函数 f ( x) ? 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

27 在区间[0,2]上的最大值为 9,求实数 a 的值. 2

35

(2) A ? {x | 2 log 1 x ? 21 log 8 x ? 3 ? 0} ,当 x ? A 时,函数 f ( x) ? log 2
2

2

x x ? log 2 的 a 4 2

最大值为 2,求实数 a 的值.

例 26.已知 f ( x ) ? log a (1)求 m 的值;

1 ? mx 是奇函数 (其中 a ? 0, a ? 1) , x ?1

(2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)当 f ( x) 定义域区间为 (1, a ? 2) 时, f ( x) 的值域为 (1,??) ,求 a 的值.

36



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