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12.求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学案



2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 学案
【预习要点及要求】 1.理解变号零点的概念 。 2.用二分法求函数零点的步骤及原理。 3.了解二分法的产生过程,掌握二分法求方程近似解的过程和方法。 4.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。 【知识再现】 1.函数零点的概念 2.函数零点的性质 【概念探究】 阅读课本 72 页完成下列

问题。 1.一个函数 y ? f (x) ,在区间 ?a, b ? 上至少有一个零点的条件是
-------------------------------

异号,即

<0 ,即存在一点

x0 ? (a, b)

使

----------

,这样的零点常称作--------------。有时曲线通

过零点时不变号,这样的零点称作------------------ 。 2.能否说出变号零点与不变号零 点的区别与联系? 阅读课本 73 页完成下列问题。 3.求函数变号零点的近似值的一种计算方法是-------------------- , 其 定 义 是 : 已 知 函 数

y ? f (x) 定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个变号零点 x 0 的近 似值 x ,使它与零点的误差
----------------

,即使得---------------------- 。

4.用二分法求函数零点的一般步骤是什么? 5.二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点? 【例题解析】
3 例1:求 2 近似值(精确到0.01)

?x 例2:求方程 x
5

3

?3x ? 3 ? 0
2

的无理根(精确到0.01)

参考答案:
3 3 3 3 例 1 解:设x= 2 ,则 x =2,即 x -2=0,令f(x)= x -2,则函数f(x)

零点的近似值就是得近似值,以下用二分法求其零点. 由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始 区间.用二分法逐次计算.列表如下:
-1-

端点(中点)坐 标 f(1)=-1 <0

计算中点的函数值 f(2)=6>0

取区间 [1,2] [1,1.5]

x =1.5
1

f( f( f( f(

x1 x2 x3 x4

)=1.375>0 [1.25,1.5] )=-0.0469<0 [1.25,1.375] )=0 .5996>0 [1.25,1.3125] )=0.2610>0 [1.25,1.281125] )=0.1033>0 [1.25,1.26562] )=0.0273>0 [1.25781,1.26562] )=-0.01<0 [1.25781,1.26171] )<0

x
x

2

=1. 25

3 =1. 375

x
x

4

=1.31

25
5 =1. 281

f(

x5

25

x x x

6

=1.26

f(

x6

562
7

=1.25

f(

x7

781
8 =1. 261

f(

x8

71 由上表的计算可知,区间[1.25781,1.26171]的左右端点按照精确度 要求的近似值都是1.26,因此1.26可以作为所求的近似值. 评析:学会用二分法求近似值的主要步骤. 例 2 解:由于

x ?x
5

3

? 3 x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3)
2 2 3

所以原方程的两个有理根为1,-
3

1,而其无理根是方程 近似零点为1.44

x

3

-3=0的根,令g(x)=

x

-3,用二分法求出g(x )的

评析:通过因式分解容易看出无理根为方程 x 只需求出g(x)的零点即可. 【达标检测】

3

-3=0的根,所以令g(x)= x

3

-3,

1.方程 x ? 2 x ? 4 x ? g ? 0 在区间 ?? 2,4? 上的根必定属于区间(
3 2



A. (?2,1)

5 ( , 4) B. 2

(1, ) C. 4

?

7 5 ( , ) D. 4 2

2.若函数 f (x) 的图象是连续不间断的,且 f (0) ? 0, f (1) ? f (2) ? f (4) ? 0 ,则下列 命题正确
-2-

的是(

) B.函数 f (x) 在区间 ?1,2? 内有零点 D.函数 f (x) 在区间 ?0,4?内有零点 ) D. (2,3)

A.函数 f (x) 在区间 ?0,1? 内有零点 C.函数 f (x) 在区间 ?0,2?内有零点 3.函数 y ? x 与 y ? A. (?1,0)

x ? 1 图象交点横坐标的大致区间为(
B. (0,1) C. (1,2)

4.下图 4 个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是 y y y y 1 0 ① x 0 ② x 0 ③ x -1 ④ x

3 2 5.写出两个至少含有方程 x ? x ? 2 x ? 1 ? 0 一个根的单位长度为 1 的区间




2 6.求证:方程 5x ? 7 x ? 1 ? 0 的根一个在区间 (?1,0) 上,另一个在区间 (1,2) 上。 2 7.求方程 x ? 2 x ? 1的一个近似解(精确到 0.1)

-3-

参考答案: 1.D 2.D 3.C
2

4.①②④

5. ?? 1,0? 或 ?1,2?

6.证明:设 f ( x) ? 5 x ? 7 x ? 1 则 f (?1) ? f (0) ? 11? (?1) ? ?11 ? 0, f (1) ? f (2) ? (?3) ? 5 ? ?15 ? 0 而二次函数 f ( x) ? 5 x ? 7 x ? 1 是连续的,∴ f (x) 在 (?1,0) 和 (1,2) 上分别有零点。即
2
2 方程 5 x ? 7 x ? 1=0 的根一个在 (?1,0) 上,另一个在 (1,2) 上。

7.解:设 f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

∵ f (2) ? ?1 ? 0 , f (3) ? 2 ? 0 记为 x 。取 2 与 3 的平均数 2.5

2 ∴在区间 (2,3) 上,方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有一解,

2 ? x0 ? 2.5 ∵ f (2.5) ? 0.25 ? 0 ,∴
再取 2 与 2.5 的平均数 2.25 ∵

f (2.25) ? ?0.4375 ? 0 , ∴ 2.25 ? x0 ? 2.5 如 此 继 续 下 去 , 得

f (2) ? 0, f (3) ? 0 ? x0 ? (2,3) f (2) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x0 ? (2,2.5)
; ; ;

f (2.25) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x0 ? (2.25,2.5)

f (2.375 ) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x0 ? (2.375,2.5)

f (2.375 ) ? 0, f (2.4375 ) ? 0 ? x0 ? (2.375,2.4375 )

2.375 ? 2.4375 ? 0.0625 ? 0.1

,2.4375≈2.4

∴ 方程 的一个精确到 0.1 的近似解为 2.4

-4-



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