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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.1(二)


1.1.1(二)

1.1.1 正弦定理(二)
学习要求 1.熟记正弦定理的有关变形公式.
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2.探究三角形面积公式的表现形式,能结合正弦定理解与面 积有关的斜三角形问题. 3.能根据条件,判断三角形解的个数. 学法指导 1.已知两边及其中一边对角解三角形,其解不一定唯一,应 注意运用大边对大角的理论判断解的情况. 2.判断三角形形状时,不要在等式两边轻易地除以含有边角 的因式,造成漏解.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1(二)

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a b c 1.正弦定理: = = =2R的常见变形: sin A sin B sin C a∶b∶c (1)sin A∶sin B∶sin C=________; a+b+c a b c 2R (2) = = = =______; sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C

2Rsin A 2Rsin B (3)a=________,b=________,c=________; 2Rsin C
a b c (4)sin A=______,sin B=______,sin C=______. 2R 2R 2R 1 1 1 acsinB absinC bcsinA 2 2.三角形面积公式:S=__________=__________=__________. 2 2

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1(二)

3.在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系为( A ) A.A>B
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B.A<B C.A≥B D.A,B的大小关系不能确定
解析 由sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1(二)

4.在△ABC中,a=10,b=8,C=30° ,则△ABC的面积S 20 . =
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1 1 解析 S=2absinC=2×10×8×sin30° =20.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.1.1(二)

探究点一 已知两边及其中一边的对角,判断三角形解的个数
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问题

我们应用正弦定理解三角形时,已知三角形的两边及其

中一边的对角往往得出不同情形的解,有时一解,有时两 解,有时又无解,这究竟是怎么回事?

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1.1.1(二)

探究1 在△ABC中,已知a,b和A,若A为直角,讨论三角形 解的情况.(请完成下表) 关系式
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a≤b

a>b

图形 解的 个数

无解

一 解

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1.1.1(二)

探究2 在△ABC中,已知a,b和A,若A为钝角,讨论三角形 解的情况.(请完成下表) 关系式
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a≤b

a>b

图形

解的 个数

无 解

一 解

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探究3

1.1.1(二)

在△ABC中,已知a,b和A,若A为锐角,讨论三角形

解的情况.(请完成下表) 关系式
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a<bsinA

a=bsinA

bsinA<a <b

a≥b

图形 解的 个数

无解

一解

两解

一 解

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1.1.1(二)

探究点二 三角形的面积公式 1 1 1 问题 我们已经知道 S△ ABC= aha= bhb= chc(其中 ha,hb,hc 2 2 2 分别为 a,b,c 边上的高).学习了正弦定理后,你还能得到哪 些计算三角形面积的公式?
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1 探究 1 当△ABC 为锐角三角形时,证明:S△ ABC= absinC= 2 1 1 bcsinA= acsinB. 2 2

证明 作AD⊥BC,垂足为D, 则AD=AB· sinB,又AD=AC· sinC,
∴csinB=bsinC.

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1.1.1(二)

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1 ∴S△ ABC= BC· AD 2 1 1 = acsinB= absinC. 2 2 1 1 同理S△ABC=2absinC=2bcsinA. 1 1 1 ∴S△ABC= absinC= bcsinA= acsinB. 2 2 2

研一研·问题探究、课堂更高效

1.1.1(二)

1 探究 2 当△ABC 为钝角三角形时,证明:S△ABC= absinC= 2 1 1 bcsinA= acsinB. 2 2

证明 不妨设B为钝角,如图所示,过A作CB边
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上的高线AD,则AD=AB· sin∠ABD =AB· sin(180° -B) =ABsinB=csinB.
又AD=AC· sinC=bsinC, ∴csinB=bsinC, 1 1 1 ∴S△ABC= BC· AD= acsinB= absinC. 2 2 2 1 1 同理S△ABC= bcsinA= acsinB. 2 2 1 1 1 所以S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB.

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典型例题

1.1.1(二)

例1 已知一三角形中a=2 3 ,b=6,A=30° ,判断三角形是 否有解,若有解,解该三角形.
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解 a=2 3,b=6,a<b,A=30° <90° .
又因为bsinA=6sin30° =3,a>bsinA, 所以本题有两解,由正弦定理得, bsin A 6sin 30° 3 sinB= = = 2 ,故B=60° 或120° . a 2 3 当B=60° 时,C=90° ,c= a2+b2=4 3; 当B=120° 时,C=30° ,c=a=2 3. 所以B=60° ,C=90° ,c=4 3或 B=120° ,C=30° ,c=2 3.

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1.1.1(二)

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小结

已知三角形两边和其中一边的对角,解三角形时,首先

求出另一边的对角的正弦值,根据该正弦值求角时,需对角的 情况加以讨论.

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1.1.1(二)

跟踪训练1 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、 c,已知A=60° ,a= 3,b=1,则c等于 A.1 B.2 ( B )

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C. 3-1 D. 3 a b 3 1 解析 由正弦定理 = ,可得sin 60° = , sin A sin B sin B
1 ∴sinB=2,故∠B=30° 或150° .由a>b, 得∠A>∠B,∴∠B=30° ,故∠C=90° , 由勾股定理得c=2.

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1.1.1(二)

例2 在△ABC中,若∠A=120° ,AB=5,BC=7,求△ABC 的面积.
解 如图,由正弦定理, 7 5 得sin 120° = , sin C
5 3 11 ∴sinC= 14 ,且∠C为锐角(∠A=120° ).∴cosC=14.

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∴sinB=sin(180° -120° -∠C)=sin(60° -∠C) 3 1 3 11 1 5 3 3 3 = cosC- sinC= × - × = . 2 2 2 14 2 14 14 1 1 3 3 15 3 ∴S△ABC=2AB· sinB=2×5×7× 14 = 4 . BC·

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1.1.1(二)

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小结

题目条件或结论中若涉及三角形的面积,要根据题意灵

活选用三角形的面积公式.

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1.1.1(二)

跟踪训练2 在△ABC中,已知a=3 4 3,则b=
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1 2 ,cosC= ,S△ ABC= 3

2 3

.

1 2 2 解析 ∵cosC= ,∴sinC= , 3 3 1 ∴2absinC=4 3,∴b=2 3.

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1.1.1(二)

例3 在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.

解 设三角形外接圆半径为R,
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a2sin B b2sin A 则a2tanB=b2tanA? = cos B cos A 4R2sin2Asin B 4R2sin2Bsin A ? = cos B cos A ?sinAcosA=sinBcosB?sin2A=sin2B π ?2A=2B或2A+2B=π?A=B或A+B=2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

小结 条件是边角混合关系式,应用正弦定理化边为角,再由角 的关系判断三角形的形状.

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1.1.1(二)

跟踪训练3 已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于 两根之和,且a、b为△ABC的两边,A、B为两内角,试判断这 个三角形的形状.
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解 设方程的两根为x1、x2,
?x +x =bcos A, ? 1 2 ? 由根与系数的关系得 ?x1x2=acos B, ?

∴bcosA=acosB. 由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB, ∴sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0.

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1.1.1(二)

∵A、B为△ABC的内角,
∴0<A<π,0<B<π,-π<A-B<π.
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∴A-B=0,即A=B. 故△ABC为等腰三角形.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1(二)

1.已知△ABC 的面积为 3且 b=2,c=2,则∠A 等于( D ) A.30°
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B.30° 150° 或 D.60° 120° 或

C.60°

1 1 解析 S=2bcsinA=2×2×2×sinA= 3, 3 ∴sinA= ,∴A=60° 或120° . 2

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1(二)

2.在△ABC中,AC= 6,BC=2,B=60° ,则C=

75° .

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2 6 解析 由正弦定理得 =sin 60° , sin A 2 ∴sinA= . 2
∵BC=2<AC= 6,∴A为锐角.∴A=45° .∴C=75° .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1(二)

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2π 3.在△ABC中,b=1,c= 3,C= ,则a= 3 3 1 解析 由正弦定理,得 = , 2π sin B sin 3 1 ∴sinB=2.∵C为钝角,
π π ∴B必为锐角,∴B=6,∴A=6.∴a=b=1.

1

.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1(二)

4.不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120° ;
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(2)a=9,b=10,A=60° ; (3)c=50,b=72,C=135° . b 4 3 3 解 (1)sinB= sin120° 5× 2 < 2 , = a
所以三角形有一解.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
b 10 3 5 3 (2)sinB= sin60° = × = , a 9 2 9 3 5 3 而 < <1,所以当B为锐角时, 2 9 5 3 满足sinB= 的角有60° <B<90° , 9 故对应的钝角B有90° <B<120° , 也满足A+B<180° ,故三角形有两解. bsin C 72 2 (3)sinB= = sinC>sinC= ,所以 B>45° , 50 2 c 所以 B+C>180° ,故三角形无解.

1.1.1(二)

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1.1.1(二)

1.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时 三角形解的情况比较复杂, 可能无解, 也可能一解或两解. 例
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如:已知 a、b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种情况. a<bsinA a=bsinA A 为锐角 A 为直角 或钝角 无解 角) a≤b 无解 bsinA<a<b 一钝角) a>b 一解(锐角) a≥b (锐角) 一解(直 两解(一锐角, 一解

1.1.1(二)

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2.判断三角形的形状,最终目的是判断三角形是否是特殊三角 形,当所给条件含有边和角时,应利用正弦定理将条件统一 为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.



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