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2012年3月五校联考数学文科试卷



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学校___________ 班 级___________ 姓 名___________

考 号___________ 分 数___________

五校联考高三数学(文)试卷

2012.03

A.

?
2

B.

?
3

C.

?
4

D.

3? 4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的。 1. 若 i 是虚数单位, 则复数 A.
1? i
2i i ?1

6.已知 f ( x ) ? ? A.2

? x ? 3 , ( x ? 1) ? ? x ? 2 x ? 3 , ( x ? 1)
2

,则函数 g ( x ) ? f ? x ? ? 3 x 的零点个数为( C.4 D.1
x a
2 2



的共轭复数是 C. ? 1 ? i
x x

( D. ? 1 ? i
? 2



B.3
9 2

B.

1? i

7.两个正数 a、 的等差中项是 b 的离心率为 A.
41 4

, 一个等比中项是 2 5 , a ? b , 则双曲线 且

?

y b

2 2

?1

2.已知命题 p: ? x ? ( ? ? , 0) , 2 ? 3 ; 为真命题的是 A. (﹁p)∧q B. p∨(﹁q)

命题 q: ? x ? ( 0 ,

), cos x ? 1 ,则下列命题

( B.
41 5



( C. p∧q D. p∧ (﹁q) ( D. ? 5

) C.
5 4

D.

5 3

? x? y?0 ? 3.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ? 0? x? 4 ?

,则 z ? 3 x ? y 的最小值是 C. ? 4



8. 定义方程 f ( x ) ? f ?( x ) 的实数根 x 0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点” ,若函数 g ( x ) ? 2 x ,
h ( x ) ? ln x

A. ? 2

B. ? 3

, ? ( x ) ? x 3 ( x ? 0 ) 的“新驻点”分别为 a , b , c ,则 a , b , c 的大小关系为 ( )

4. 下图是统计高三年级 1000 名同学某次数学考试成绩的程序框图,若输出的结果是 280,则这次考试数学分数不低于 90 分的同学的频率是 ( ) A.0.28 B.0.38 C.0.62 D.0.72

A. a

?b ?c

B. c

?b ? a

C. a

?c ?b

D. b

? a ?c

二、填空题: (本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知 p : A ? ?x x ? a ? 4 ?; q : B ? ?x ( x ? 2 )( 3 ? x ) ? 0 ? ,且非 p 是非 q 的充分条件, 则实数 a 的取值范围是 10.某个几何体的三视图如图所示, 根据图中标出的长度,那么这个几 何体的体积是 . _。

11、如图,圆 O 是 ? ABC 的外接圆,过点 C 的切线
第 4 题图

5. 若将函数 y ? 2 sin ( x ? ? ) 的图像上每个点的横坐标缩短为原来的 再向右平移
?
4

1 3

倍 (纵坐标不变) , ( )

交 A B 的延长线于点 D , C D ? 2 7 , A B ? B C ? 3 , 则 A C 的长为 .

C D O B A

个单位后得到的图像关于点 (

?
3

, 0 ) 对称,则 ? 的最小值是

五校联考数学(文)试卷 第 1 页(共 4 页)

五校联考数学(文)试卷 第 2 页(共 4 页)

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12. 若等边△ABC 的边长为 2 3, 平面内一点 M 满足 CM ? ________. 13. 已知正数 x,y 满足 x ? y ? 1, 则
2 2

1 6

CB ?

2 3

CA 则 MA ? MB =

18.(本小题满分 13 分) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 公比是正数的等比数列 {b n } 的前 n 项和为 T n , 已 知。 a1 ? 1, b1 ? 3, a 2 ? b 2 ? 8, T3 ? S 3 ? 15

xy x? y

的最大值为 ________. (Ⅰ)求 { a n },{b n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 { c n } 满足 a1 c n ? a 2 c n ? 1 ? ? ? a n ? 1c 2 ? 2
n ?1

14.一个三角形数阵如下:
1
2
2 2
3 6

? n ? 2 对任意 n ? N

*

都成立;求

2 2 2

2

4 7

2 2

5 8

证:数列 { c n } 是等比数列。
2
9

?? 按照以上排列的规律,第 n 行从左向右的第 3 个数为 . 三.解答题(本大题共 6 个小题,满分 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步 骤) 15. (本小题满分 13 分) 2011 年 2 月始发生的利比亚内战引起了全球人民的关注,联合国为此多次召开紧急 会议讨论应对措施.在某次分组研讨会上,某组有 6 名代表参加, A 、 B 两名代表来自亚 洲, C 、 D 两名代表来自北美洲, E 、 F 两名代表来自非洲,小组讨论后将随机选出两名 代表发言. (1)代表 A 不被选中的概率是多少? (2)选出的两名代表“恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲”的概率是多少? 16. (本小题满分 13 分) 已知向量 m ? ( 2 co s x ,1) ,向量 n ? (co s x , 3 sin 2 x ) ,函数 f ( x ) ? m ? n ? 2010 。 (1)化简 f ( x ) 的解析式,并求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间;
C a (2) △ A B C 中, , b , c 分别是角 A 、B 、 的对边, 在 已知 f ( A ) ? 2012, b ? 1 , A B C △

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 F (1, 0 ) ,M 为椭圆的上顶点,O 为坐

标原点,且△ OMF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心(垂心:三角 形三边高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

??

?

20.(本小题共 14 分) 已知函数: f ( x ) ? a ln x ? ax (1)讨论函数 (2)若函数 y ?
f ( x)

? 3( a ? R )

.

的单调性; 的图象在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线的倾斜角为 45 ,对于任意的 t ? ?1, 2 ? ,函


的面积为

3 2

,求

1005(a ? c ) sin A ? sin C

的值.

f (x)

17. (本小题满分 13 分) 如图, ? B C D 所在的平面垂直于正 ? A B C 所在 的平面, ? B C D ? 90 ? , P A ? 平面 ABC,DC=BC=2PA, E、F 分别为 DB、CB 的中点。 (Ⅰ)证明:PE//平面 ABC; (Ⅱ)证明:AE ? BC; (Ⅲ)求直线 PF 与平面 BCD 所成的角的大小。 五校联考数学(文)试卷 第 3 页(共 4 页)

数 g ( x) ? x3 ? x 2[ f '( x) ? (3)求证:
ln 2 2 ? ln 3 3 ?

m 2

] 在区间 (t , 3 )
? ln 5 5 ??

上总不是单调函数,求 m 的取值范围;
? 1 n ( n ? 2 , n ? N* )

ln 4 4

ln n n



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