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专题--数列求和的基本方法和技巧及其答案


数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q 2、等比数列求和公式: S n ? ? ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、 S n ?

1 ? k ? 2n(n ? 1) k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2
?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

例 1 已知 log 3 x ?

解:由 log 3 x ?

?1 1 ? log 3 x ? ? log 3 2 ? x ? log 2 3 2
Sn ? x ? x2 ? x3 ? ? ? ? ? xn
(利用常用公式)

由等比数列求和公式得

1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) 2 2 =1- 1 = = 1 1? x 2n 1? 2
n

3a 练习 1 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 2,a3 ? 4
构成等差数列. (1)求数列 {an } 的等差数列.

, ? 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . (2)令 bn ? ln a3n ?1,n ? 1 2, ,

1

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 例 2 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n ?1

………………………①
n ?1

解:由题可知,{ (2n ? 1) x
2

n ?1

}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x
4 n

}的通项之积

设 xS n ? 1x ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x ………………………. ②
3

(设制错位) (错位相减)

①-②得 (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? ? ? ? ? 2 x
2 3 4

n ?1

? (2n ? 1) x n

再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

小结:错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以等比数列 ?cn ? 的公比 q ;②将两个等式相减; ③利用等比数列的前 n 项和的公式求和.

练习 2 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

练习 3: (07 高考全国Ⅱ文 21)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,

a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

2

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 3 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a

(分组) (分组求和)

练习 4:数列{an}的前 n 项和 S n ? 2a n ? 1 ,数列{bn}满 b1 ? 3, bn ?1 ? a n ? bn (n ? N ? ) . (Ⅰ)证明数列{an}为等比数列; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

3

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1)

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

( 2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
n?2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

(6) a n ?

例 4 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 练习 5 在数列{an}中, an ?

2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. ? ? ??? ? a n ? a n?1 n ?1 n ?1 n ?1

4

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . 例 5 求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2
0 1 2 n 0 1 2 n n

证明: 设 S n ? C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ………………………….. ① 把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ?1 ? ? ? ? ? 3C n ? C n

(反序)

又由 Cn ? Cn
m

n?m

可得

0 1 n n S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ?1 ? C n …………..…….. ② 0 1 n n 2S n ? (2n ? 2)(C n ? C n ? ? ? ? ? C n ?1 ? C n ) ? 2(n ? 1) ? 2 n

①+②得 ∴
2 ?

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n
2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

练习 6 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值

5

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

例6

已知数列{an}: a n ?

? 8 , 求? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) 的值. (n ? 1)( n ? 3) n ?1

解:∵ (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)( n ? 3) (n ? 2)( n ? 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)( n ? 4) (n ? 3)( n ? 4)

(设制分组)

=4?(

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4

(裂项)



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

?

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(分组、裂项求和)

= 4?( ? ) ? 8? =

1 3

1 4

1 4

13 3

练习 7

求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? 之和. ??? ?1
n个1

答案
?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 1、解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? ( a ? 4) 解得 a2 ? 2 . 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

6

又 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , q
1 .由题意得 q ? 1 ? q ? 2 . , 2

解得 q1 ? 2,q2 ?

? a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n ?1 . , ? 由(1)得 a3n?1 ? 23n (2)由于 bn ? ln a3n ?1,n ? 1 2, ,
? bn ? ln 23n ? 3n ln 2 ,
又 bn?1 ? bn ? 3ln 2n

?{bn } 是等差数列.

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

n(b1 ? bn ) 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) ? 2 3n( n ? 1) ? ln 2. 2 ?
3n(n ? 1) ln 2 . 2 2n 1 2、解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n (设制错位) S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 ∴ S n ? 4 ? n ?1 2
故 Tn ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 3、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13, ?
解得 d ? 2 , q ? 2 . (Ⅱ) 所以 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,

bn ? q n ?1 ? 2n ?1 .

an 2n ? 1 ? n ?1 . bn 2

Sn ? 1 ?

3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 ,① 1 2 2 2 2

7

5 2n ? 3 2 n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?3 ? n?2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 2 2 2 2

1 1 ? n ?1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2 ? 2n ? 1 ? 6 ? 2n ? 3 . ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? 2 ? 2 ? 1 2 ? 2 2n ?1 2n ?1 ? 2 2 1? 2
4、解析: (Ⅰ)由 S n ? 2a n ? 1, n ? N ? ,? S n ?1 ? 2a n ?1 ? 1, 两式相减得: a n ?1 ? 2a n ?1 ? 2a n , ? a n?1 ? 2a n , n ? N ? .同a1 ? 1知a n ? 0 ,

?

a n ?1 ? 2, 同定义知 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. an

(Ⅱ) a n ? 2 n ?1 , bn ?1 ? 2 n ?1 ? bn

bn ?1 ? bn ? 2 n ?1 ,

b2 ? b1 ? 2 0 , b3 ? b2 ? 21 , b4 ? b3 ? 2 2 , ?

bn ? bn?1 ? 2 n?2 , 等式左、右两边分别相加得:
bn ? b1 ? 2 0 ? 21 ? ? ? 2 n ?2 ? 3 ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 2, 1? 2

? Tn ? (2 0 ? 2) ? (21 ? 2) ? (2 2 ? 2) ? ? ? (2 n?1 ? 2) ? (2 0 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? 2n
=

1 ? 2n ? 2n ? 2 n ? 2n ? 1. 1? 2

5、解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2
∵ an ?

(裂项)



数列{bn}的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n = 8(1 ? ) = n ?1 n ?1
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

(裂项求和)

6、解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ① 将①式右边反序得

S ? sin 2 89 ? ? sin 2 88 ? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②
又因为 sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1
? 2 2

(反序)

①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2 ? ? cos2 2 ? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89 ? ? cos2 89 ? ) =89
8

∴ S=44.5

7、解:由于 111 ? ? ? 1 ? ???
k个1

1 1 ? 999 ??9 ? (10 k ? 1) ? ??? 9 ? ? 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? ??? ?1 =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9
1 1 1 (10 ? 10 2 ? 10 3 ? ? ? ? ? 10 n ) ? (1 ?? 1 ??? ? 1) 1?? ?? ? 9 9 ? ?个1 ? n

(分组求和)





1 10(10 n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n?1 ? 10 ? 9n) 81

9


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