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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第四章 平面向量 第1讲 平面向量及其线性运算课件 理



第四章 平面向量
第1讲 平面向量及其线性运算

1.平面向量的实际背景及基本概念. (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算. (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算

的性质及其几何意义.

3.平面向量的基本定理及坐标表示. (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1.向量的有关概念 名称 向量 定义 备注

方向 的量;向量 平面向量是自由向 既有大小又有______ 的大小叫做向量的长度(或称模) 量 长度为零的向量;其方向是任意 的 0 记作____

零向量

(续表) 名称 单位向量 定义 长度等于 1 个单位 的向量 备注

a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

共线向量 方向相同或______ 相反 零向量与任一向量平行或共 (平行向量) 的非零向量 相等向量 长度相等且方向 相同 的向量 ______ 线 记作 a=b

2.向量的线性运算 向量运算 定义

法则(或几何意义)

运算律

(1)交换律:
求两个向量 和的运算 三角形法则

a+b=b+a.
(2)结合律: (a+b)+c =a+(b+c)

加法

平行四边形法则

(续表) 向量运算 定义 求a与b的 相反向量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差

法则(或几何意义)

运算律

减法

a-b=a+ (-b)

数乘

三角形法则 |λ||a| (1)|λa|=________ (2)当λ>0 时,λa 的方向 求实数λ与向 与 a 的方向相同;当λ<0 量 a 的积的 时,λa 的方向与 a 的方 运算 相反 ;当λ=0 时, 向______ λa=______ 0

λ(μa)=_____; λμa (λ+μ)a=λa +μa; λ(a+b) a+λb =λ ________

3.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1

+λ2e2,其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底.

4.平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘及向量的模:

设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),
2 (λx1,λy1) a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=____________ ,|a|= x2 + y 1 1.

(2)向量坐标的求法: ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

→ =(x2-x1,y2-y1),|AB →| ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB = ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

5.共线向量及其坐标表示
(1)向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得 b=λa.

(2)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,当且仅当 x1y2 -x2y1=0 时,向量 a,b 共线.

1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b=( A )
A.(7,3) C.(1,7) B.(7,7) D.(1,3)

→ → → → 2.化简AC-BD+CD-AB=( D ) → A.AB → C.BC → B.DA D.0

→ +CD → +EF → =( D ) 3. 如图 411,在正六边形 ABCDEF 中,BA

图 4-1-1 A.0 → B.BE → C.AD → D.CF

4.已知把向量 a=(1,1)向右平移 2 个单位,再向下平移 1 (1,1) . 个单位得到向量 b,则 b 的坐标为______ 解析:因为向量 b=a,所以 b=(1,1).

考点 1 平面向量的基本概念
例 1:已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线 → =OA → +λ(AB → +AC → ),λ∈[0,+∞),则 的三点,动点 P 满足OP 点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( A.外心 ) B.垂心 C.内心 D.重心 → +AC → =AD → ,则可知四边形 BACD 是平行四边 解析:设AB

→ =λAD → ,得 A,P,D 三点共线.又点 D 在边 BC 的 形,而由AP 中线所在的直线上,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心.
答案:D

【互动探究】
1. (2014 年新课标Ⅰ)设 D, E, F 分别为△ABC 的三边 BC, ??? ? ??? ? CA,AB 的中点,则 EB + FC =( C )

??? ? A. BC

? 1 ??? B.2 AD

??? ? C. AD

? 1 ??? D.2 BC

→ |=|OB → 2.已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且|OA → |, → +NB → +NC → =0, →· → =PB →· → =PC →· →, |=|OC NA 且PA PB PC PA 则点 O, N,P 依次是△ABC 的( C ) A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心

→ |=|OB → |=|OC → |知,O 为△ABC 的外心;由NA →+ 解析:由|OA → +NC → =0 知, →· → =PB →· →, →- NB N 为△ABC 的重心; ∵PA PB PC ∴(PA → )· → =0.∴CA →· → =0.∴CA → ⊥PB → .同理, PC PB PB PA⊥BC.∴P 为△ABC 的垂心.

考点 2 向量共线或平行问题

例 2:(1)(2013年广东惠州二模)已知向量a=(-1,1),b=(3,

m),若 a∥(a+b),则 m=(
A.2
C.-3

)

B.-2
D.3

解析:a=(-1,1),b=(3,m),a+b=(2,m+1).

∵a∥(a+b),∴-(m+1)=2,m=-3.故选 C.
答案:C

π (2)(2013 年上海闵行二模)已知 e1, e2 是两个夹角为 的单位 2 向量,向量 a=e1-2e2,b=ke1+e2.若 a∥b,则实数 k 的值为 ____________.
解 析 : 方 法 一 : a ∥ b ? a = λb ? e1 - 2e2 = λ(ke1 + e2) ?
? ?1=λk, ? ? ?-2=λ

1 ?k=- . 2

方法二:利用坐标表示向量,则 a=(1,-2),b=(k,1),a 1 ∥b,x1y2-x2y1=1+2k=0,解得 k=-2.
1 答案:-2

【规律方法】(1)用坐标给出的两个向量平行或共线问题的 处理方法:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0. (2)一般的两个向量平行或共线问题的处理方法:向量 b 与 非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=λa, 即 b∥a?b=λa(a≠0).
→ → → (3)OP=xOA+yOB,P,A,B 三点共线?x+y=1; → → 若PA=λPB,则 P,A,B 三点共线.

【互动探究】 3.(2013 年陕西)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,

则实数 m=( C )
A.- 2 B. 2 C.- 2或 2 D.0

解析:a∥b,有m2=2,m=±. 4.(2012 年广东广州调研)已知向量 a=(2,1),b=(x,-2), 若 a∥b,则 a+b=( A ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)

解析:因为a∥b,有 2×(-2)=1×x,x=-4,则a+b= (-2,-1).

考点3

向量的应用

例3:在平面直角坐标系 xOy 中,已知点A(-1,-2),B(2,3),

C(-2,-1).
(1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

→ -tOC → )· → =0,求 t 的值. (2)设实数 t 满足(AB OC

→ =(3,5),AC → =(-1,1), 解:(1)由题设知,AB → +AC → =(2,6),AB → -AC → =(4,4). 则AB → +AC → |=2 10,|AB → -AC → |=4 所以|AB 故所求的两条对角线的长分别为 4 2. 2,2 10.

→ =(-2,-1), (2)由题设知,OC → -tOC → =(3+2t,5+t). 则AB → -tOC → )· → =0, 由(AB OC 得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0. 11 所以 t=- 5 .
【规律方法】以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条 → ,AC → 的和与差,其长度分别为|AB →+ 对角线分别为两个向量AB → |与|AB → -AC → |. AC

【互动探究】 5.如图 4-1-2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.

→ =xAB → +yAC → ,则 x=______,y=______. 若AD

图 4-1-2

解析:以 AB 所在直线为 x 轴、A 为原点建立平面直角坐标 系,如图 D13,过点 D 作 DF⊥AB,交 AB 的延长线于 F.令 AB → =(2,0),AC → =(0,2).由已知,得 DE=BC=2 =2,则AB ∴BD=2 2,

→ =(2+ 3, 3). 2sin60° = 6.∴DF=BF= 3, 则AD

→ =xAB → +yAC → ,∴(2+ 3, 3)=(2x,2y), 方法一:∵AD ? ?x=1+ 3, ? 2 ?2+ 3=2x, ? 即有? 解得? ? 3 ? 3=2y. ? y= 2 . ? ?

? → =AF → +FD → =? 方法二:AD ? 1+ ?

3→ 3? ?→ AB+ 2 AC, 2? ?

3 3 ∴x=1+ ,y= . 2 2

图 D13
3 答案:1+ 2 3 2

●易错、易混、易漏● ⊙利用方程的思想求解平面向量问题
1→ → 1→ → 例题:如图 413,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → =a, → =b, →. 与 BC 相交于点 M, 设OA OB 试用 a 和 b 表示向量OM

图 4-1-3

→ =ma+nb, 正解:设OM → =OM → -OA → =ma+nb-a=(m-1)a+nb, 则AM 1→ → 1 → → → AD=OD-OA=2OB-OA=-a+2b. → 与AD → 共线. 又∵A,M,D 三点共线,∴AM → =t1AD →, ∴存在实数 t1,使得AM
? 1 ? 即(m-1)a+nb=t1?-a+2b?. ? ?

1 ∴(m-1)a+nb=-t1a+ t1b. 2

m-1=-t1, ? ? ∴? t1 消去 t1,得 m-1=-2n. n= 2 . ? ? ∴m+2n=1.①
? ? 1 1 → =OM → -OC → =ma+nb- a=?m- ?a+nb, 又∵CM 4? 4 ?

1 1 → → → CB=OB-OC=b-4a=-4a+b, → 与CB → 共线. 又∵C,M,B 三点共线,∴CM → =t2CB →. ∴存在实数 t2,使得CM
? ? 1 ? 1? ∴?m-4?a+nb=t2?-4a+b?. ? ? ? ?

1 1 ? ?m- =- t2, 4 4 ∴? 消去 t2,得 4m+n=1.② ? ?n=t2. 1 3 1 3 → 由①②,得 m= ,n= .∴OM= a+ b. 7 7 7 7

【失误与防范】(1)学生的易错点是:找不到问题的切入口, 即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、

减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此
在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、

求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易
忽视点 A,M,D 共线和点 B,M,C 共线这两个几何特征.



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