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1.2.1任意角的三角函数课件


1.2.1任意角的三角函数

锐角三角函数的定义:
?
sin ? ? _____; cos ? ? _____; tan ? ? _____
y r

P(x,y)
x

α
o M

sin ? ?

y r

; cos ? ?

x r

; tan ? ?

y x

问:比值 r , r , x 是否因为P(x,y)点在 ? 终边上的位置发生变化而变化?
sin ? ? y r ; cos ? ? x r ; tan ? ? y x
y
P(x,y) α A(1,0)

y

x

y

当点P(x,y)满足x2 + y2 =1 时,正弦函数值,余弦函数 值,正切函数值会有什么 样的结果?

O M

x

任意角的三角函数定义:
如图,设α 是一个任意角,它的终边与单位圆 (在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为 半径的圆)交于点P(x,y),那么:

(1)y叫做α 的正弦,记作sinα ,即 sinα =y; y (2)x叫做α 的余弦, 记作cosα ,即 cosα =x;
y

P(x,y)

α
O

A(1,0) x

(3)

叫做α 的正切,记作tanα ,即 y x tanα = (x≠0)。

例1、求

5? 3

的正弦、余弦和正切值。
y

α
O
P

y A(1,0) x
M0 M

α
O

A(1,0) x

例2、已知角α的终边经过 点P0(-3,-4),求角α 的正弦、余弦和正切值。

P(x,y) P0(x,y)

练习:已知角α 的终边经过点p(2,-3), 求角α 的正弦、余弦和正切值。
三角函数 sinα cosα tanα 定义域 R R {α|α≠
π 2 ? kπ ,k?Z}

正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号?

三角函数值的符号问题

正弦值y对于第一、二象限的角是正的,对于第三、四 象限的角是负的。 余弦值x 对于第一、四象 限的角是正的,对于第二、 三象限的角是负的。

正切值

y x

对于第一、三象限的角是正的,

对于第二、四象限的角是负的。

三角函数值的符号问题
y

正弦为正
o

三角函数全为 正
x

正切为正

余弦为正

Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦
意为:第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余 割为正,其余均为负 第三象限正切、余切为正,其余为负,第四象限余弦及与之相关 的正割为正,其余皆为负。



确定下列各三角函数值的符号:
(1) sin( ?
? 4 );

(2)cos1300
? Ⅳ,
? 4 )?0

; (3) tan( ?

4? 3

).

解: (1) ? ?

?
4

(2) ∵1300∈Ⅱ ∴ cos1300 <0
? tan( ? 4? 3 )?0

? sin( ?

(3) ? ?

4? 3

?



例、 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ 为第三象限角.

?sin ? ? 0 ? ?tan ? ? 0

终边相同的角的同一三角函数值相等。
公式一:

sin(α + k· )=sinα 2π cos(α + k· )=cosα 2π
tan(α + k·2π)=tanα

(k∈Z)

1 运用公式时, k∈Z不能省略!
2

α + k·2π, k∈Z表示任意 与 α终边相同的角。 此公式表明求任意角的三角函数 值的问题,可以转化为求0°~360°

3

(0~2π)间角的三角函数值的问题。

应用举例 例 1、 确定下列三角函数值的符号: ① cos2500 ③ tan(-672°) ② tan3π ④
? π ? sin ? ? ? 4 ? ?

2、求下列三角函数值:

?1 ?sin1480
(2)cos 9π 4

? 10 ?; ;

? 11π ? (3)tan ? ? ?. 6 ? ?

1 下列各式为正号的是(C) A cos2-sin2 B cos2?sin2 C tan2?sec2 D sin2?tan2
2 若lg(sin??tan?)有意义,则?是( C ) A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知?的终边过点(3a-9,a+2),且cos??0, sin?>0,则a的取值范围是 -2<a?3 。

例3 若?是是第二象限角, 且|cos(?/2)|=- cos(?/2), 问?/2是第几象限角? 练习 已知?是第三象限角,且sin(?/2)<0, 则( B ) A cos(?/2)<0 B cos(?/2)>0 C tan(?/2)>0 D cot(?/2)>0


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