9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014高考数学专题——椭圆与双曲线的常见性质



2014 高考数学专题——椭圆与双曲线常见的经典性质

1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去 长轴的两个端点. 3. 4. 5. 6. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的

圆必与以长轴为直径的圆内切.



7.

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直 a b xx y y 线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1 PF2 ? ? ,则椭 a b
若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b tan
2

?

2

.

8.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的焦半径公式: a 2 b2 | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
椭圆 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相 应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 ( x , y ) k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 , ? ? 1 0 0 OM AB a2 a 2 b2 b2 x ?? 2 0 。 a y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 . ? ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a2 b a b a 2 b2

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . ? ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a b a 2 b2

双曲线
1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.
第 1页 交流 提高 进步

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

6.

7.

x2 y2 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b x2 y2 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 a b xx y y P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 a b
?F1 PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b2co t

?

2

.

8.

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线

K OM ? K AB

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 a 2 b2 b 2 x0 b 2 x0 ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a y0 a y0

x2 y2 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a b 2 2 x0 x y0 y x0 y ? 2 ? 2 ? 02 . 2 a b a b x2 y2 ( x , y ) 13. 若 P 在双曲线 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 0 0 0 a 2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

1. 椭圆



x2 y 2 ? ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 a 2 b2 x2 y2 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b
2

2.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C a 2 b2 b2 x 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ? 2 0 (常数). a y0
过椭圆 若 P 为椭圆

3.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a 2 b2
sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

在△PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

5.

若椭圆

x2 y 2 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 左准线为 L, 则当 0<e≤ 2 ? 1 时, ? ? 1(a>b>0) a 2 b2

可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a ? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a ? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭圆

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a2 b2 A2 a 2 ? B 2b 2 ? ( Ax0 ? By0 ? C )2 .

8.

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) a 2 b2 4a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ;(3) S ?OPQ 的最小值是 ? ? ? a2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

9.

a 2b 2 . a2 ? b2 x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平 a b | PF | e 分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 交于点 P ( x0 , 0) , 则 ? . a a

10. 已知椭圆

第 3页

交流 提高 进步

x2 y 2 11. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记 ?F1 PF2 ? ? , a b
则(1) | PF1 || PF2 |? 12. 设 A、B 是椭圆

2b 2 ? .(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . 1 ? cos ? 2

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2 2ab 2 | cos ? | .(2) ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 a ? c co s 2 ?
tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭 a 2 b2

圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
双曲线
1.

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交 a 2 b2 x2 y 2 双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b
双曲线

4

2.

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双 a 2 b2 b2 x 曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ? ? 2 0 (常数). a y0
过双曲线 若 P 为双曲线

3.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, a 2 b2

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设双曲线

c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任 a 2 b2

意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a
5.

x2 y2 若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e a b
≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. P 为双曲线

6.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 a 2 b2

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时, 等号成
立.

x2 y2 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a b 2 2 2 2 A a ? B b ? C2 . x2 y2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) , O 为坐标原点, P、 Q 为双曲线上两动点, 且 OP ? OQ . a b 4a 2b 2 1 1 1 1 2 2 (1) ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ;(3) S ?OPQ 的最小值 ? ? ? b2 ? a 2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
是 9.

a 2b 2 . b2 ? a 2 x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 a 2 b2 | PF | e MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
过双曲线

第 5页

交流 提高 进步

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a b 2b2 ? .(2) S?PF1F2 ? b2 cot . ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 1 ? cos ? 2 2 2 x y 12. 设 A、 B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 的长轴两端点, P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有
10. 已知双曲线 (1) | PA |?

2ab 2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s 2 ? |
2

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ?PAB ? 13. 已知双曲线

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

x2 y2 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过双曲线右焦点 F 的 ? ? 1(a>0,b>0) a 2 b2

直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦 点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半 径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

6



更多相关文章:
2014高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第十六讲 ...
2014高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线(含新题详解)第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线 曲线与方程 椭圆的几何性质 双曲线的几何...
...第2讲 椭圆双曲线、抛物线 理(含2014高考真题)
【步步高】2015届高考数学二轮复习 专题突破训练六 第2讲 椭圆双曲线、抛物线 理(含2014年高考真题)_高考_高中教育_教育专区。第2讲考情解读 椭圆双曲线、抛...
2014高考数学(理)二轮专题突破训练 第1部分 专题5 第2...
2014高考数学(理)二轮专题突破训练 第1部分 专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 Word版含解析]考点椭圆 考情 1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质...
2014年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
2014年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析_高考_高中教育_教育专区。...专题: 分析: 解答: 椭圆的简单性质;余弦定理;双曲线的简单性质. 圆锥曲线的...
2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十六 椭圆、双曲...
2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十六 椭圆双曲线、抛物线_高三数学_数学_...2 答案 y2=3x 椭圆双曲线、抛物线的几何性质 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥...
2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题五 第二...
2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题五 第...(2014· 山东高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>...与圆锥曲线性质有关问题的解题策略及方法 (1)椭圆...
【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套...
【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套...要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围...2 D. 3 (2)(2014· 课标全国Ⅰ)已知 F 为双...
2014高考数学专题——直线与双曲线的位置关系
2014高考数学专题——直线与双曲线的位置关系_数学_高中教育_教育专区。高三数学...2013-8-26 直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对...
2014高三数学二轮复习专题5 第2讲 圆锥曲线 理 教师版
2014高三数学二轮复习专题5 第2讲 圆锥曲线 理 教师版_高三数学_数学_高中教育...|PF1|-|PF2| 4-2 2 反思归纳 (1)求椭圆双曲线的离心率的方法: c ...
2017年全国卷高考数学复习专题——双曲线及其性质
2017年全国卷高考数学复习专题——双曲线及其性质_高三数学_数学_高中教育_教育...3 答案 A 3.(2014 山东,10,5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2 +...
更多相关标签:
双曲线的性质    双曲线的几何性质    双曲线性质    双曲线几何性质    椭圆与双曲线    双曲线的简单几何性质    双曲线的几何性质ppt    椭圆双曲线    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图