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人教版高中数学必修1课件-1.3.2 奇偶性 (共17张PPT)



1.3.2 函数的奇偶性

思考
观察下图,思考并讨论以下问题: (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这 些特征的? 2 f ( x ) ? x f ( x) ? x

f (-2)=4=f (2)

f (-1)=1=f (1)

理论<

br />实际上,对于R内任意的一个x,都
有 f (-x)=(-x)2=x2=f (x),则称函数 y = x2 为偶函数. 一般地,对于函数 f (x)的定义域内的 任意一个x,都有f (-x)=f (x),那么 f (x) 就叫做偶函数 (even function) .

举例
例如
2 函数 f ( x) ? x ? 1, f ( x) ? 2 是偶 x ?1
2

函数吗? 图象有什么特点?如下图(1),(2)所示.

1 观察函数f(x)=x和 f ( x ) ? x

的图象(下图),
1 f ( x) ? x

你能发现两个函数图象有什么共同特征吗?
f ( x) ? x
f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

理论
实际上,对于R内任意的一个x,都 有f(-x)=-x = -f(x),则称函数y=f(x)为奇函数.

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任
意一个x,都有f(-x)= -f(x),那么f(x)就叫做

奇函数(odd function ) .

注意

1.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶
性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2.由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性 的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即 定义域关于原点对称).

注意
3.奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立. 4.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.

举例 例1 判断下列函数的奇偶性:
(1) f ( x ) ? x 4 ; ( 2) f ( x ) ? x ;
5

1 (3) f ( x ) ? x ? ; x 1 ( 4) f ( x ) ? 2 . x

解:(1) 定义域为R, ∵ f(-x)=(-x)4=f(x), 即f(-x)=f(x),

(2) 定义域为R, ∵ f(-x)=(-x)5=-f(x), 即f(-x)=-f(x), ∴f(x)奇函数;

∴f(x)偶函数;

(3) 定义域为{x|x≠0}, (4) 定义域为{x|x≠0}, ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x), ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x), 即f(-x)=-f(x), ∴f(x)奇函数; 即f(-x)=f(x), ∴f(x)偶函数.

用定义判断函数奇偶性的步骤: (1) 首先确定函数的定义域,并且判断其 定义域是否关于原点对称; (2) 确定f(-x)与f(x)的关系; (3) 作出相应结论: 若有f(-x)= f(x), 则f(x)是偶函数; 若有f(-x)= -f(x), 则f(x)是奇函数.

奇偶函数图象的性质
1.奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个 函数的图象关于原点对称,那么就称这个函数为 奇函数. 2.偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函 数的图象关于y轴对称,那么就称这个函数为偶函 数.

说明:奇偶函数图象的性质可用于:

a.简化函数图象的画法; b.判断函数的奇偶性.

举例
例2 已知函数y=f(x)是偶函数,

它在y轴右边的图象如下图,画出在y轴左边
的图象.
解:画法略
y

相等 0

x

举例
例3 已知函数y =f (x)是奇函数,它
在y轴右边的图象如下图,画出在 y 轴左边的

图象.
相等

y

0

x

小结
1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,

f(x)为奇函数; ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数. 如果都有f(-x)=-f(x) 2.两个性质:
它的图象关于原点对称; ? 一个函数为偶函数? 它的图象关于y轴对称. 一个函数为奇函数

作业

习题1.3
A组 第6题 B组 第3题



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