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排列、组合、二项式定理、概率1-2



第 15 讲

排列组合二项式定理和概率

一、知识整合 二、考试要求: 1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. 3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应 用问题. 4.掌握二项式定理和二项

展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概 率. 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的 概率乘法公式计算一些事件的概率. 8.会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.

Ⅰ、随机事件的概率
例1 某商业银行为储户提供的密码有 0,1,2,?,9 中的 6 个数字组成. (1)某人随意按下 6 个数字,按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少? (2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字,随意按下一个数字进行试验,按对自己的密码的概 率是多少? 解 (1)储蓄卡上的数字是可以重复的,每一个 6 位密码上的每一个数字都有 0,1,2,?,9 这

1 6 ,随意按下 6 个数字相当于随意按下 10 个,随意 10 6 1 6 按下 6 个数字相当于随意按下 10 个密码之一,其概率是 6 . 10
10 种,正确的结果有 1 种,其概率为 (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前 5 个正确的前提下,随意按下一个数字,等可能性 的结果为 0,1,2,?,9 这 10 种,正确的结果有 1 种,其概率为

1 . 10

例 2 一个口袋内有 m 个白球和 n 个黑球,从中任取 3 个球,这 3 个球恰好是 2 白 1 黑的概率是多 少?(用组合数表示) 解 设事件 I 是“从 m 个白球和 n 个黑球中任选 3 个球” ,要对应集合 I1,事件 A 是“从 m 个白球 中任选 2 个球,从 n 个黑球中任选一个球” ,本题是等可能性事件问题,且 Card(I1)=

C

3 m?n

, Card( A) ? C ? C
2 m

1 n ,于是

2 1 Card ( A) Cm ? Cn P(A)= . ? 3 Card ( I1 ) Cm?n

1

Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率
例 3 在 20 件产品中有 15 件正品,5 件次品,从中任取 3 件,求: (1)恰有 1 件次品的概率; (2)至少有 1 件次品的概率.
2 1 3 解 (1)从 20 件产品中任取 3 件的取法有 C20 ,其中恰有 1 件次品的取法为 C15C5 。
2 1 C15C5 35 . ? 恰有一件次品的概率 P= 3 ? C20 76

(2)法一 从 20 件产品中任取 3 件,其中恰有 1 件次品为事件 A1,恰有 2 件次品为事件 A2,3 件全是次品为事件 A3,则它们的概率 P(A1)=
2 1 3 C 2C1 2 C5 2 C15C5 105 = , P( A2 ) ? 5 3 15 ? , P( A3 ) ? 3 ? , 3 C20 228 C20 228 C20 228

而事件 A1、A2、A3 彼此互斥,因此 3 件中至少有 1 件次品的概率 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

137 . 228
3 C15 137 ? 3 C20 228

法二 记从 20 件产品中任取 3 件,3 件全是正品为事件 A,那么任取 3 件,至少有 1 件次品为

A ,根据对立事件的概率加法公式 P( A )= 1 ? P( A) ? 1 ?

例 4 1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色,每种 13 张,共 52 张,从 1 副洗好的牌中 任取 4 张,求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率. 解
4 从 52 张牌中任取 4 张,有 C52 种取法.“4 张中至少有 3 张黑桃” ,可分为“恰有 3 张黑桃”
3 1 4 C13 ? C39 ? C13 和“4 张全是黑桃” ,共有 C ? C ? C 种取法? 4 C52

3 13

1 39

4 13



研究至少情况时,分类要清楚。

Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率
例 5 猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为 0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二 次射击,但距离 150 米. 如果第二次射击又未中,则猎人进行第三次射击,并且在发射瞬间 距离为 200 米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件 A,B,C,其中 P( A) ?

1 1 k ,由 ? P ( A) ? ,求得 k=5000。 2 2 100 2

? P(B) ?

5000 2 5000 1 ? , P(C) ? ? ,? 命中野兔的概率为 2 150 9 200 2 8
2

P(A)? P(A ? B) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) P(C ) 1 1 2 1 2 1 95 ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 2 2 9 2 9 8 144
例 6 要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05,而乙机床废品率为 0.1,而它们的生产是独立 的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率. 解: 设事件 A 为“从甲机床抽得的一件是废品” 为“从乙机床抽得的一件是废品”. ;B 则 P(A)=0.05, P(B)=0.1, (1)至少有一件废品的概率

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P(B) ? 1 ? 0.95? 0.90 ? 0.145
(2)至多有一件废品的概率

P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05? 0.9 ? 0.95? 0.1 ? 0.95? 0.9 ? 0.995

Ⅳ、概率内容的新概念较多,本课时就学生易犯错误作如下归纳总结:
类型一 “非等可能”与“等可能”混同

例 1 掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率. 错解 掷两枚骰子出现的点数之和 2,3,4,?,12 共 11 种基本事件,所以概率为 P=

1 11

剖析 以上 11 种基本事件不是等可能的,如点数和 2 只有(1,1),而点数之和为 6 有(1,5)、(2, 4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共 5 种.事实上,掷两枚骰子共有 36 种基本事件,且是等可 能的,所以“所得点数之和为 6”的概率为 P=

5 . 36

类型二

“互斥”与“对立”混同

例 2 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人,每个人分得 1 张,事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上均不对 错解 A 剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同,二者的联系与区别主要体现在 : (1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥概念适用于多个事件,但对立概念 只适用于两个事件;(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其 中一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生. 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有 一个发生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应选 C.
3

类型三

“互斥”与“独立”混同

例 3 甲投篮命中率为 O.8,乙投篮命中率为 0.7,每人投 3 次,两人恰好都命中 2 次的概率是多 少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件 A,“乙恰好投中两次”为事件 B,则两人都恰好投中两次为
2 2 事件 A+B,P(A+B)=P(A)+P(B): c3 0.82 ? 0.2 ? c3 0.72 ? 0.3 ? 0.825

剖析

本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑,将两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.互斥事件是指两个事件不可能 同时发生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响,它 们虽然都描绘了两个事件间的关系,但所描绘的关系是根本不同. 解: 设“甲恰好投中两次”为事件 A,“乙恰好投中两次”为事件 B,且 A,B 相互独立, 则两人都恰好投中两次为事件 A·B,于是 P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169

四、高考题选讲
1 甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、 乙二人依次各抽一题. (Ⅰ)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (Ⅱ)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

2 如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2.当元件 A、B、C 都正常工作时,系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时,系统 N2 正常工作.已知元 件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90.分别求系统 N1、N2 正常工作的概率 P1、 P2.

4

3

某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立). (Ⅰ)求至少 3 人同时上网的概率; (Ⅱ)至少几人同时上网的概率小于 0.3?

4

有三种产品,合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件进行检验. (Ⅰ)求恰有一件不合格的概率; (Ⅱ)求至少有两件不合格的概率.(精确到 0.001)

5. 从 10 位同学 (其中 6 女, 男) 4 中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 每位男同学能通过测验的概率均为

4 , 5

3 .试求: 5

(Ⅰ)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; (Ⅱ)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 解:本小题主要考查组合,概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)随机选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率为 1-
3 C6 5 ? ;??????6 分 3 C10 6

(Ⅱ)甲、乙被选中且能通过测验的概率为
1 C8 4 3 4 ? ? ? . ;??????12 分 3 C10 5 5 125

6. 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支.求: (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率.

5

解: (Ⅰ)解法一:三支弱队在同一组的概率为

1 1 C5 C5 1 ? 4 ? . C84 C8 7

故有一组恰有两支弱队的概率为 1 ?

1 6 ? . 7 7

C32 C52 C32 C52 6 解法二:有一组恰有两支弱队的概率 ? ? . 7 C84 C84
3 1 C32 C52 C3 C5 1 ? ? 2 C84 C84

(Ⅱ)解法一:A 组中至少有两支弱队的概率

解法二:A、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1,由于对 A 组和 B 组来说,至少有两 支弱队的概率是相同的,所以 A 组中至少有两支弱队的概率为 .

1 2

7.某同学参加科普知识竞赛,需回答 3 个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、 0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求这名同学得 300 分的概率; (Ⅱ)求这名同学至少得 300 分的概率.

8. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (Ⅰ)求所选 3 人都是男生的概率; (Ⅱ)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (Ⅲ)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.

6

9. 某地区有 5 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电 (选哪一天是等可能的).假定工厂之间的选择互不影响. (Ⅰ)求 5 个工厂均选择星期日停电的概率; (Ⅱ)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.

10. 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能 答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合 格. (Ⅰ)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

11. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床 加工的零件不是一等品的概率为

1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一 4

等品的概率为

1 2 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9

(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率; (Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.

7

12.为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、 乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为 P)和所需费用如下: 预防措施 P 费用(万元) 甲 0.9 90 乙 0.8 60 丙 0.7 30 丁 0.6 10

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过 120 万元的前 提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大. 解:方案 1:单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元.由表可知,采用甲措施,可使 此突发事件不发生的概率最大,其概率为 0.9. 方案 2:联合采用两种预防措施,费用不超过 120 万元,由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使 此突发事件不发生的概率最大,其概率为 1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97. 方法 3:联合采用三种预防措施,费用不超过 120 万元,故只能联合乙、丙、丁三种预防措施,此 时突发事件不发生的概率为 1—(1—0.8)(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知,在总费用不超过 120 万元的前提下,联合使用乙、丙、丁三种 预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.

13. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5. (Ⅰ)三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率; (Ⅱ) 若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率.

14.从数字 1,2,3,4,5,中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之 和等于 9 的概率为 A. ( B. D )

13 125

16 125

C.

18 125

D.

19 125

15. (本小题满分 12 分) 一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5,电话 C、D 占线的概率均为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ 部电话占线.试 求随机变量ξ 的概率分布和它的期望. 解:本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的 能力.满分 12 分.
8

解:P(ξ =0)=0.5 ×0.6 =0.09.
1 1 P(ξ =1)= C 2 ×0.5 ×0.6 + C 2 ×0.5 ×0.4×0.6=0.3 2 1 1 2 P(ξ =2)= C 2 ×0.5 ×0.6 + C 2 C 2 ×0.5 ×0.4×0.6+ C 2 ×0.5 ×0.4 =0.37. 2 1 1 2 P(ξ =3)= C 2 C 2 ×0.5 ×0.4×0.6+ C 2 C 2 ×0.5 ×0.4 =0.2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

P(ξ =4)= 0.5 ×0.4 =0.04 于是得到随机变量ξ 的概率分布列为: ξ P 0 0.09 1 0.3 2 0.37 3 0.2 4 0.04

2

2

所以 Eξ =0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 16. 1, ??, 这九个数中, 从 2, 9 随机抽取 3 个不同的数, 则这 3 个数的和为偶数的概率是 (C A. )

5 9

B.

4 9

C.

11 21

D.

10 21

17.在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有 ( C ) A.56 个 B.57 个 C.58 个 D.60 个 18.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2 : 3 : 5 ,现用分层抽样方法 抽出一个容量为 n 的样本, 样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= .(答案: 80) 19.标号为 1,2,?,10 的 10 个球放入标号为 1,2,?,10 的 10 个盒子内,每个盒内放一个 球,则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 240 种.(以数字作答) 20.某校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取 一个容量为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n= 192 .

9



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